本書是江西省高校精品課程“微積分”的配套教材。本書主要包括了函數、極限與連續(xù)，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分，二元函數微積分，微分方程與差分方程，無窮級數，微積分學中的數學實驗，微積分學中的數學模型共10章內容。每章有習題，書末附有考研模擬試題及答案。本書結構清晰，邏輯關系清楚，內容由淺人深，語言表述流暢，過渡自然，例題豐富，可讀性強。
本書可作為理工類及經管類專業(yè)的教材，也可供相關人員參考使用。
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目錄
第1章 函數、極限與連續(xù) 1
1.1 函數 1
1.1.1 區(qū)間與鄰域 1
1.1.2 函數 2
1.1.3 函數的特性 4
1.1.4 復合函數、反函數、隱函數、分段函數 7
1.1.5 初等函數 9
1.1.6 函數關系的建立 9
1.2 極限 11
1.2.1 數列的極限 11
1.2.2 函數的極限 15
1.2.3 極限的運算法則 20
1.2.4 極限存在準則、兩個重要極限 22
1.2.5 無窮小與無窮大 28
1.3 函數的連續(xù)性 35
1.3.1 函數連續(xù)性的概念 35
1.3.2 函數的間斷點 37
1.3.3 初等函數的連續(xù)性 38
1.3.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 39
1.4 經濟學上的應用 41
1.4.1 常見的經濟函數 42
1.4.2 函數在經濟學中的應用 44
習題1 44
第2章 導數與微分 49
2.1 導數的概念 49
2.1.1 引例 49
2.1.2 導數的定義 50
2.1.3 由定義求簡單函數的導數 51
2.1.4 導數的幾何意義與物理意義 53
2.1.5 可導與連續(xù)的關系 54
2.2 一階導數基本求法 55
2.2.1 四則運算法 55
2.2.2 反函數求導法 57
2.2.3 復合函數求導法 58
2.2.4 公式法 59
2.2.5 隱函數求導法 60
2.2.6 對數求導法 61
2.2.7 參數方程求導法 61
2.3 高階導數 62
2.3.1 初等函數的高階導數 62
2.3.2 兩個函數乘積的高階導數 63
2.3.3 隱函數的二階導數 64
2.3.4 由參數方程所確定函數的二階導數 64
2.4 微分 65
2.4.1 引例 65
2.4.2 微分的定義 65
2.4.3 微分與導數的關系 66
2.4.4 微分的幾何意義 67
2.4.5 微分的基本公式及運算法則 67
2.4.6 微分在近似計算中的應用 69
習題2 70
第3章 微分中值定理與導數的應用 72
3.1 微分中值定理 72
3.1.1 羅爾(Rolle)定理 72
3.1.2 拉格朗日(La-ran-e)中值定理 73
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 76
3.1.4 微分中值定理間的關系 76
3.2 洛必達法則 77
3.2.1 或不定型 77
3.2.2 0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0 不定型 80
3.3 利用導數研究函數的性態(tài)與作圖 81
3.3.1 函數的單調性 81
3.3.2 函數的極值 83
3.3.3 函數的最值 86
3.3.4 曲線的凹凸性與拐點 87
3.3.5 曲線的漸近線 90
3.3.6 描繪簡單函數的圖形 92
3.4 曲率與曲率半徑 94
3.4.1 弧微分 94
3.4.2 曲率 95
3.4.3 曲率半徑 96
3.5 導數的經濟應用 97
3.5.1 邊際 97
3.5.2 彈性 100
3.5.3 最值問題 103
習題3 105
第4章 不定積分 107
4.1 不定積分的概念 107
4.1.1 原函數的概念 107
4.1.2 不定積分的概念 108
4.1.3 不定積分的幾何意義 109
4.1.4 不定積分的性質 109
4.1.5 不定積分的基本公式 109
4.2 不定積分的計算方法 111
4.2.1 第一換元積分法——湊微分法 112
4.2.2 不定積分第二換元積分法 114
4.2.3 不定積分分部積分法 115
4.3 有理函數的積分 117
4.3.1 有理函數的積分 118
4.3.2 可化為有理函數的積分 119
習題4 121
第5章 定積分 124
5.1 定積分的概念 124
5.1.1 定積分的概念 124
5.1.2 定積分的性質 128
5.2 變上限積分 130
5.2.1 變上限積分與原函數存在定理 130
5.2.2 對變上限積分的積分上限求導的有關問題 131
5.3 牛頓-萊布尼茨公式 133
5.4 定積分的計算方法 134
5.4.1 第一換元積分法 135
5.4.2 第二換元積分法 135
5.4.3 分部積分法 137
5.5 廣義積分 138
5.5.1 無窮限廣義積分 138
5.5.2 無界函數的廣義積分 140
5.6 定積分的應用 142
5.6.1 幾何應用 142
5.6.2 物理應用 151
5.6.3 經濟應用 155
習題5 156
第6章 二元函數微積分 161
6.1 二元函數的基本概念 161
6.1.1 平面點集 161
6.1.2 二元函數概念 162
6.1.3 二元函數的極限 163
6.1.4 二元函數的連續(xù)性 164
6.2 二元函數微分法 165
6.2.1 二元函數偏導數的定義 165
6.2.2 二元函數偏導數的計算方法 166
6.2.3 二元函數的二階偏導數 169
6.2.4 二元函數的全微分 169
6.3 二元函數微分法的應用 172
6.3.1 數學應用 172
6.3.2 經濟應用 177
6.4 二元函數積分法 178
6.4.1 二重積分的概念與性質 179
6.4.2 二重積分的計算方法 182
習題6 188
第7章 微分方程與差分方程 190
7.1 微分方程的基本概念 190
7.1.1 引例 190
7.1.2 微分方程的概念 191
7.2 一階微分方程的解法 192
7.2.1 可分離變量的微分方程 192
7.2.2 齊次微分方程 195
7.2.3 一階線性微分方程 197
7.3 可降階的高階微分方程 201
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 201
7.3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程 201
7.3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 202
7.4 二階常系數線性微分方程 203
7.4.1 二階線性微分方程解的性質 203
7.4.2 二階常系數齊次線性微分方程的解 204
7.4.3 二階常系數非齊次線性微分方程的解 206
7.5 差分方程的基本概念 209
7.5.1 差分的概念 209
7.5.2 差分方程的基本概念 210
7.6 一階常系數線性差分方程 211
7.6.1 線性差分方程解的結構與性質 211
7.6.2 一階常系數齊次線性差分方程的求解 212
7.6.3 一階常系數非齊次線性差分方程的求解 213
7.7 微分方程與差分方程的簡單經濟應用 216
習題7 220
第8章 無窮級數 223
8.1 常數項級數的概念與性質 223
8.1.1 常數項級數的概念 223
8.1.2 無窮級數的基本性質 227
8.2 常數項級數的審斂法 228
8.2.1 正項級數 229
8.2.2 交錯級數 234
8.2.3 任意項級數 235
8.3 冪級數 237
8.3.1 冪級數及其斂散性 237
8.3.2 冪級數的運算性質 241
8.4 泰勒級數 243
8.4.1 泰勒公式 243
8.4.2 泰勒級數 245
8.4.3 初等函數的冪級數展開 246
8.4.4 冪級數的應用 250
習題8 253
第9章 微積分學中的數學實驗 256
9.1 Matlab簡介 256
9.1.1 Matlab窗口環(huán)境 256
9.1.2 Matlab命令形式 257
9.1.3 基本數學運算 257
9.1.4 M 文件與函數調用 260
9.1.5 符號工具箱的使用 261
9.2 Matlab求解微積分問題 264
9.2.1 函數的計算 264
9.2.2 函數作圖 264
9.2.3 函數極限的計算 268
9.2.4 導數的計算 270
9.2.5 函數極值的計算 272
9.2.6 積分的計算 272
9.2.7 方程的求解 275
9.2.8 無窮級數 279
習題9 281
第10章 微積分學中的數學模型 283
10.1 數學模型的基本概念和主要方法 283
10.1.1 原型與模型 283
10.1.2 數學模型 283
10.1.3 數學模型與數學 283
10.1.4 評價數學模型的標準 284
10.1.5 數學建模常用方法 284
10.2 連續(xù)函數性質的應用舉例 285
10.2.1 問題的提出 285
10.2.2 模型假設 285
10.2.3 模型建立 285
10.2.4 模型求解 286
10.3 導數與微分方程的應用舉例 286
10.3.1 問題背景 286
10.3.2 問題的提出 287
10.3.3 模型的構建 287
10.3.4 模型的求解 288
10.4 導數與微分的應用舉例 288
10.4.1 問題背景 288
10.4.2 問題分析與求解 288
10.5 導數與微分的應用舉例 289
10.5.1 問題的提出 289
10.5.2 模型的構建 289
10.5.3 模型的應用 290
10.6 積分的應用舉例 291
10.6.1 問題背景 291
10.6.2 問題分析 292
10.6.3 模型建立與求解 292
10.7 微分方程的應用舉例 296
10.7.1 問題的提出 296
10.7.2 模型假設 296
10.7.3 模型構成 297
10.7.4 模型應用 298
10.8 差分方程的應用舉例 298
10.8.1 問題的提出 298
10.8.2 模型的構建和求解 298
10.8.3 模型的應用 302
習題10 302
數學二考研模擬試題一 304
數學二考研模擬試題二 307
數學二考研模擬試題三 310
數學二考研模擬試題四 313
數學二考研模擬試題五 316
數學三考研模擬試題一 319
數學三考研模擬試題二 322
數學三考研模擬試題三 325
數學三考研模擬試題四 328
數學三考研模擬試題五 332
習題參考答案 335
數學考研模擬試題答案 348
參考文獻 357
附錄 358
A.1 常用數學公式 358
A.2 基本初等函數的圖形和主要性質 361
A.3 幾種常用的曲線 363
A.4 導數與微分的基本公式和法則 364
A.5 基本的積分表 365
A.6 幾個初等函數的高階導數公式 366
A.7 幾個初等函數的麥克勞林公式 366
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