第1 章函數、圖像和直線… … … … … … … …1 
1．1　函數… … … … … … … …1 
1．1．1　區(qū)間表示法… … … … … … … …3 
1．1．2　求定義域… … … … … … … …3 
1．1．3　利用圖像求值域… … … … … … … …4 
1．1．4　垂線檢驗… … … … … … … …5 
1．2　反函數… … … … … … … …6 
1．2．1　水平線檢驗… … … … … … … …7 
1．2．2　求反函數… … … … … … … …8 
1．2．3　限制定義域… … … … … … … …　8 
1．2．4　反函數的反函數… … … … …　9 
1．3　函數的復合… … … … … … … … … … … … …　10 
1．4　奇函數和偶函數… … … … … … … … … …　12 
1．5　線性函數的圖像… … … … … … … … … …　14 
1．6　常見函數及其圖像… … … … … … … … …　16 
第2　章三角學回顧… … … … … … … … … … … … …　21 
2．1　基本知識… … … … … … … … … … … … … … …　21 
2．2　擴展三角函數定義域… … … … … … …　23 
2．2．1　ASTC 方法… … … … … … … …　25 
2．2．2　[0， 2π] 以外的三角函數… … … … … … … … … … … … …　27 
2．3　三角函數的圖像… … … … … … … … … …　29 
2．4　三角恒等式… … … … … … … … … … … … …　32 
第3　章極限導論… … … … … … … … … … … … … … …　34 
3．1　極限：基本思想… … … … … … … … … …　34 
3．2　左極限與右極限… … … … … … … … … …　36 
3．3　何時不存在極限… … … … … … … … … …　37 
3．4　在∞和-∞處的極限… … … … …　38 
3．5　關于漸近線的兩個常見誤解… … …　41 
3．6　三明治定理… … … … … … … … … … … … …　43 
3．7　極限的基本類型小結… … … … … … …　45 
第4　章求解多項式的極限問題… … … … … …　47 
4．1　x → a 時的有理函數的極限… … …　47 
4．2　x → a 時的平方根的極限… … … …　50 
4．3　x → ∞時的有理函數的極限… …　51 
4．4　x → ∞時的多項式型函數的極限… …　56 
4．5　x → -∞ 時的有理函數的極限… … … … …　59 
4．6　包含絕對值的函數的極限… … … …　61 
第5　章連續(xù)性和可導性… … … … … … … … … …　63 
5．1　連續(xù)性… … … … … … … … … … … … … … … …　63 
5．1．1　在一點處連續(xù)… … … … … … …　63 
5．1．2　在一個區(qū)間上連續(xù)… … … …　64 
5．1．3　連續(xù)函數的一些例子… …　65 
5．1．4　介值定理… … … … … … … … … …　67 
5．1．5　一個更難的介值定理 
例子…　… … … … … … … … … … … …　69 
5．1．6　連續(xù)函數的最大值和 
最小值…　… … … … … … … … … …　70 
5．2　可導性… … … … … … … … … … … … … … … …　71 
5．2．1　平均速率… … … … … … … … … …　72 
5．2．2　位移和速度… … … … … … … …　72 
5．2．3　瞬時速度… … … … … … … … … …　73 
5．2．4　速度的圖像闡釋… … … … …　74 
5．2．5　切線… … … … … … … … … … … … …　75 
5．2．6　導函數… … … … … … … … … … …　77 
5．2．7　作為極限比的導數… … … …　78 
5．2．8　線性函數的導數… … … … …　80 
5．2．9　二階導數和更高階導數… … … … … … … … … … … … …　80 
5．2．10　何時導數不存在… … … … …　81 
5．2．11　可導性和連續(xù)性… … … … …　82 
第6　章求解微分問題… … … … … … … … … … …　84 
6．1　使用定義求導… … … … … … … … … … … …　84 
6．2　用更好的辦法求導… … … … … … … … …　87 
6．2．1　函數的常數倍… … … … … … …　88 
6．2．2　函數和與函數差… … … … …　88 
6．2．3　通過乘積法則求積函數的導數… … … … … … … … … …　88 
6．2．4　通過商法則求商函數的導數… … … … … … … … … …　90 
6．2．5　通過鏈式求導法則求復合函數的導數… … … …　91 
6．2．6　那個難以處理的例子… …　94 
6．2．7　乘積法則和鏈式求導法則的理由… … … … … … …　96 
6．3　求切線方程… … … … … … … … … … … … …　98 
6．4　速度和加速度… … … … … … … … … … … …　99 
6．5　導數偽裝的極限… … … … … … … … … …　101 
6．6　分段函數的導數… … … … … … … … … …　103 
6．7　直接畫出導函數的圖像… … … … … …　106 
第7　章三角函數的極限和導數… … … … … …　111 
7．1　三角函數的極限… … … … … … … … … …　111 
7．1．1　小數的情況… … … … … … … …　111 
7．1．2　問題的求解——小數的情況… … … … … … … … … … …　113 
7．1．3　大數的情況… … … … … … … …　117 
7．1．4　其他的" 情況… … … … … …　120 
7．1．5　一個重要極限的證明… …　121 
7．2　三角函數的導數… … … … … … … … … …　124 
7．2．1　求三角函數導數的例子… … … … … … … … … … … … …　127 
7．2．2　簡諧運動… … … … … … … … … …　128 
7．2．3　一個有趣的函數… … … … …　129 
第8　章隱函數求導和相關變化率… … … …　132 
8．1　隱函數求導… … … … … … … … … … … … …　132 
8．1．1　技巧和例子… … … … … … … …　133 
8．1．2　隱函數求二階導… … … … …　137 
8．2　相關變化率… … … … … … … … … … … … …　138 
8．2．1　一個簡單的例子… … … … …　139 
8．2．2　一個稍難的例子… … … … …　141 
8．2．3　一個更難的例子… … … … …　142 
8．2．4　一個非常難的例子… … … …　144 
第9　章指數函數和對數函數… … … … … … …　148 
9．1　基礎知識… … … … … … … … … … … … … … …　148 
9．1．1　指數函數的回顧… … … … …　148 
9．1．2　對數函數的回顧… … … … …　149 
9．1．3　對數函數、指數函數及反函數… … … … … … … … … …　150 
9．1．4　對數法則… … … … … … … … … …　151 
9．2　e 的定義… … … … … … … … … … … … … … …　153 
9．2．1　一個有關復利的問題… …　153 
9．2．2　問題的答案… … … … … … … …　154 
9．2．3　更多關于e 和對數函數的內容… … … … … … … …　156 
9．3　對數函數和指數函數求導… … … …　158 
9．4　求解指數函數或對數函數的極限… … … … … … …… … … …　161 
9．4．1　涉及e 的定義的極限… …　161 
9．4．2　指數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …　162 
9．4．3　對數函數在1 附近的行為… … … … … … … … … … … … …　164 
9．4．4　指數函數在∞或-∞附近的行為… … … … …　164 
9．4．5　對數函數在∞附近的行為… … … … … … … … … … … … …　167 
9．4．6　對數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …　168 
9．5　取對數求導法… … … … … … … … … … … …　169 
9．6　指數增長和指數衰變… … … … … … …　173 
9．6．1　指數增長… … … … … … … … … …　174 
9．6．2　指數衰變… … … … … … … … … …　176 
9．7　雙曲函數… … … … … … … … … … … … … … …　178 
第10　章反函數和反三角函數… … … … … …　181 
10．1　導數和反函數… … … … … … … … … … …　181 
10．1．1　使用導數證明反函數存在… … … … … … … … … … … …　181 
10．1．2　導數和反函數：可能出現的問題… … … … … … … …　182 
10．1．3　求反函數的導數… … … … …　183 
10．1．4　一個綜合性例子… … … … …　185 
10．2　反三角函數… … … … … … … … … … … …　187 
10．2．1　反正弦函數… … … … … … … …　187 
10．2．2　反余弦函數… … … … … … … …　190 
10．2．3　反正切函數… … … … … … … …　192 
10．2．4　反正割函數… … … … … … … …　194 
10．2．5　反余割函數和反余切函數… … … … … … … … … … … …　195 
10．2．6　計算反三角函數… … … … …　196 
10．3　反雙曲函數… … … … … … … … … … … …　199 
第11　章導數和圖像… … … … … … … … … … … …　202 
11．1　函數的極值… … … … … … … … … … … …　202 
11．1．1　全局極值和局部極值… …　202 
11．1．2　極值定理… … … … … … … … …　203 
11．1．3　求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … …　204 
11．2　羅爾定理… … … … … … … … … … … … … …　206 
11．3　中值定理… … … … … … … … … … … … … …　209 
11．4　二階導數和圖像… … … … … … … … …　212 
11．5　對導數為零點的分類… … … … … …　215 
11．5．1　使用一次導數… … … … … …　215 
11．5．2　使用二階導數… … … … … …　217 
第12　章繪制函數圖像… … … … … … … … … … …　219 
12．1　建立符號表格… … … … … … … … … … …　219 
12．1．1　建立一階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …　221 
12．1．2　建立二階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …　222 
12．2　繪制函數圖像的全面方法… … …　224 
12．3　例題… … … … … … … … … … … … … … … … …　225 
12．3．1　一個不使用導數的例子… … … … … … … … … … … …　225 
12．3．2　完整的方法：例一… … …　227 
12．3．3　完整的方法：例二… … …　229 
12．3．4　完整的方法：例三… … …　231 
12．3．5　完整的方法：例四… … …　234 
第13　章最優(yōu)化和線性化… … … … … … … … …　239 
13．1　最優(yōu)化… … … … … … … … … … … … … … …　239 
13．1．1　一個簡單的最優(yōu)化例子… … … … … … … … … … … …　239 
13．1．2　最優(yōu)化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …　240 
13．1．3　一個最優(yōu)化的例子… … …　241 
13．1．4　另一個最優(yōu)化的例子… …　242 
13．1．5　在最優(yōu)化問題中使用隱函數求導… … … … … … … …　246 
13．1．6　一個較難的最優(yōu)化例子… … … … … … … … … … … …　246 
13．2　線性化… … … … … … … … … … … … … … …　249 
13．2．1　線性化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …　251 
13．2．2　微分… … … … … … … … … … … …　252 
13．2．3　線性化的總結和例子… …　254 
13．2．4　近似中的誤差… … … … … …　256 
13．3　牛頓法… … … … … … … … … … … … … … …　258 
第14　章洛必達法則及極限問題總結… …　263 
14．1　洛必達法則… … … … … … … … … … … …　263 
14．1．1　類型A：0/0 … … … … … … …　263 
14．1．2　類型A：±∞/±∞ … …　266 
14．1．3　類型B1： (∞-∞) … …　267 
14．1．4　類型B2： (0 x±∞) … …　269 
14．1．5　類型C： 1±∞，00 或∞0… … … …　270 
14．1．6　洛必達法則類型的總結… … … … … … … … … … … …　272 
14．2　關于極限的總結… … … … … … … … …　273 
第15　章積分… … … … … … … … … … … … … … … …　276 
15．1　求和符號… … … … … … … … … … … … … …　276 
15．1．1　一個有用的求和… … … … …　279 
15．1．2　伸縮求和法… … … … … … … …　280 
15．2　位移和面積… … … … … … … … … … … …　283 
15．2．1　三個簡單的例子… … … … …　283 
15．2．2　一段更常規(guī)的旅行… … …　285 
15．2．3　有向面積… … … … … … … … …　287 
15．2．4　連續(xù)的速度… … … … … … … …　288 
15．2．5　兩個特別的估算… … … … …　291 
第16　章定積分… … … … … … … … … … … … … … …　293 
16．1　基本思想… … … … … … … … … … … … … …　293 
16．2　定積分的定義… … … … … … … … … … …　297 
16．3　定積分的性質… … … … … … … … … … …　301 
16．4　求面積… … … … … … … … … … … … … … …　305 
16．4．1　求通常的面積… … … … … …　306 
16．4．2　求解兩條曲線之間的面積… … … … … … … … … … … …　308 
16．4．3　求曲線與y 軸所圍成的面積… … … … … … … … … … …　310 
16．5　估算積分… … … … … … … … … … … … … …　313 
16．6　積分的平均值和中值定理… … …　316 
16．7　不可積的函數… … … … … … … … … … …　319 
第17　章微積分基本定理… … … … … … … … …　321 
17．1　用其他函數的積分來表示的函數… … … … … … … … … …… …　321 
17．2　微積分的第一基本定理… … … … …　324 
17．3　微積分的第二基本定理… … … … …　328 
17．4　不定積分… … … … … … … … … … … … … …　329 
17．5　怎樣解決問題：微積分的第一基本定理… … … … … … … … … … … …　331 
17．5．1　變形1：變量是積分下限… … … … … … … … … … … …　332 
17．5．2　變形2：積分上限是一個函數… … … … … … … … …　332 
17．5．3　變形3：積分上下限都為函數… … … … … … … … …　334 
17．5．4　變形4：極限偽裝成導數… … … … … … … … … … … …　335 
17．6　怎樣解決問題：微積分的第二基本定理… … … … … … … … … … … …　336 
17．6．1　計算不定積分… … … … … …　336 
17．6．2　計算定積分… … … … … … … …　339 
17．6．3　面積和絕對值… … … … … …　341 
17．7　技術要點… … … … … … … … … … … … … …　344 
17．8　微積分第一基本定理的證明… …　345 
第18　章積分的方法I… … … … … … … … … … …　347 
18．1　換元法… … … … … … … … … … … … … … …　347 
18．1．1　換元法和定積分… … … … …　350 
18．1．2　如何換元… … … … … … … … …　353 
18．1．3　換元法的理論解釋… … …　355 
18．2　分部積分法… … … … … … … … … … … …　356 
18．3　部分分式… … … … … … … … … … … … … …　361 
18．3．1　部分分式的代數運算… …　361 
18．3．2　對每一部分積分… … … … …　365 
18．3．3　方法和一個完整的例子… … … … … … … … … … … …　367 
第19　章積分的方法II … … … … … … … … … …　373 
19．1　應用三角恒等式的積分… … … … …　373 
19．2　關于三角函數的冪的積分… … …　376 
19．2．1　sin 或cos 的冪… … … … …　376 
19．2．2　tan 的冪… … … … … … … … …　378 
19．2．3　sec 的冪… … … … … … … … … …　379 
19．2．4　cot 的冪… … … … … … … … … …　381 
19．2．5　csc 的冪… … … … … … … … … …　382 
19．2．6　約化公式… … … … … … … … …　382 
19．3　關于三角換元法的積分… … … … …　384 
19．3．1　類型1：pa2 ? x2 … … …　384 
19．3．2　類型2：px2 + a2 … … …　386 
19．3．3　類型3：px2 ? a2 … … …　387 
19．3．4　配方和三角換元法… … …　388 
19．3．5　關于三角換元法的總結… … … … … … … … … … … …　389 
19．3．6　平方根的方法和三角換元法… … … … … … … … … … …　389 
19．4　積分技巧總結… … … … … … … … … … …　391 
第20　章反常積分：基本概念… … … … … …　393 
20．1　收斂和發(fā)散… … … … … … … … … … … …　393 
20．1．1　反常積分的一些例子… …　395 
20．1．2　其他破裂點… … … … … … … …　397 
20．2　關于無窮區(qū)間上的積分… … … … …　398 
20．3　比較判別法(理論)… … … … … … … …　400 
20．4　極限比較判別法(理論)… … … … …　402 
20．4．1　函數互為漸近線… … … … …　402 
20．4．2　關于判別法的陳述… … …　404 
20．5　p 判別法(理論) … … … … … … … … …　405 
20．6　絕對收斂判別法… … … … … … … … …　407 
第21　章反常積分：如何解題… … … … … …　410 
21．1　如何開始… … … … … … … … … … … … … …　410 
21．1．1　拆分積分… … … … … … … … …　410 
21．1．2　如何處理負函數值… … …　411 
21．2　積分判別法總結… … … … … … … … …　413 
21．3　常見函數在∞ 和-∞附近的表現… … … … … … … … … …　414 
21．3．1　多項式和多項式型函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … … … … … … …　415 
21．3．2　三角函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … …　417 
21．3．3　指數在∞和-∞附近的表現… … … … … … … … …　419 
21．3．4　對數在∞ 附近的表現… … … … … … … … … … … …　422 
21．4　常見函數在0 附近的表現… … …　426 
21．4．1　多項式和多項式型函數在0 附近的表現… … …　426 
21．4．2　三角函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …　427 
21．4．3　指數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …　429 
21．4．4　對數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …　430 
21．4．5　更一般的函數在0 附近的表現… … … … … … … … …　431 
21．5　如何應對不在0 或1 處的瑕點… … … … … … … … … … …… … …　432 
第22　章數列和級數：基本概念… … … … …　434 
22．1　數列的收斂和發(fā)散… … … … … … … …　434 
22．1．1　數列和函數的聯系… … …　435 
22．1．2　兩個重要數列… … … … … …　436 
22．2　級數的收斂與發(fā)散… … … … … … … …　438 
22．3　第n 項判別法(理論) … … … … … …　442 
22．4　無窮級數和反常積分的性質… …　443 
22．4．1　比較判別法(理論) … … …　443 
22．4．2　極限比較判別法(理論) … … … … … … … … … … …　444 
22．4．3　p 判別法(理論)… … … … …　444 
22．4．4　絕對收斂判別法… … … … …　445 
22．5　級數的新判別法… … … … … … … … …　447 
22．5．1　比式判別法(理論) … … …　447 
22．5．2　根式判別法(理論) … … …　449 
22．5．3　積分判別法(理論) … … …　450 
22．5．4　交錯級數判別法(理論) … … … … … … … … … … …　453 
第23　章求解級數問題… … … … … … … … … …　455 
23．1　求幾何級數的值… … … … … … … … …　455 
23．2　應用第n 項判別法… … … … … … …　457 
23．3　應用比式判別法… … … … … … … … …　457 
23．4　應用根式判別法… … … … … … … … …　461 
23．5　應用積分判別法… … … … … … … … …　462 
23．6　應用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法… … … … … … … …　463 
23．7　應對含負項的級數… … … … … … … …　468 
第24　章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論… … … … … … … … …　472 
24．1　近似值和泰勒多項式… … … … … …　472 
24．1．1　重訪線性化… … … … … … … …　472 
24．1．2　二次近似… … … … … … … … …　473 
24．1．3　高階近似… … … … … … … … …　474 
24．1．4　泰勒定理… … … … … … … … …　475 
24．2　冪級數和泰勒級數… … … … … … … …　478 
24．2．1　一般冪級數… … … … … … … …　479 
24．2．2　泰勒級數和麥克勞林級數… … … … … … … … … … … …　481 
24．2．3　泰勒級數的收斂性… … …　481 
24．3　一個有用的極限… … … … … … … … …　485 
第25　章求解估算問題… … … … … … … … … …　487 
25．1　泰勒多項式與泰勒級數總結… …　487 
25．2　求泰勒多項式與泰勒級數… … …　488 
25．3　用誤差項估算問題… … … … … … … …　491 
25．3．1　第一個例子… … … … … … … …　492 
25．3．2　第二個例子… … … … … … … …　494 
25．3．3　第三個例子… … … … … … … …　495 
25．3．4　第四個例子… … … … … … … …　496 
25．3．5　第五個例子… … … … … … … …　497 
25．3．6　誤差項估算的一般方法… … … … … … … … … … … …　499 
25．4　誤差估算的另一種方法… … … … …　499 
第26　章泰勒級數和冪級數：如何解題… … … … … … … …… … … … …　502 
26．1　冪級數的收斂性… … … … … … … … …　502 
26．1．1　收斂半徑… … … … … … … … …　502 
26．1．2　求收斂半徑和收斂區(qū)域… … … … … … … … … … … …　504 
26．2　合成新的泰勒級數… … … … … … … …　508 
26．2．1　代換和泰勒級數… … … … …　509 
26．2．2　泰勒級數求導… … … … … …　511 
26．2．3　泰勒級數求積分… … … … …　512 
26．2．4　泰勒級數相加和相減… …　514 
26．2．5　泰勒級數相乘… … … … … …　515 
26．2．6　泰勒級數相除… … … … … …　516 
26．3　利用冪級數和泰勒級數求導… …　517 
26．4　利用麥克勞林級數求極限… … …　519 
第27　章參數方程和極坐標… … … … … … …　523 
27．1　參數方程… … … … … … … … … … … … … …　523 
27．2　極坐標… … … … … … … … … … … … … … …　528 
27．2．1　極坐標與笛卡兒坐標互換… … … … … … … … … … … …　529 
27．2．2　極坐標系中畫曲線… … …　530 
27．2．3　求極坐標曲線的切線… …　534 
27．2．4　求極坐標曲線圍成的面積… … … … … … … … … … … …　535 
第28　章復數… … … … … … … … … … … … … … … …　538 
28．1　基礎… … … … … … … … … … … … … … … … …　538 
28．2　復平面… … … … … … … … … … … … … … …　541 
28．3　復數的高次冪… … … … … … … … … … …　544 
28．4　解zn = w … … … … … … … … … … … … …　545 
28．5　解ez = w … … … … … … … … … … … … …　550 
28．6　一些三角級數… … … … … … … … … … …　552 
28．7　歐拉恒等式和冪級數… … … … … …　554 
第29　章體積、弧長和表面積… … … … … …　556 
29．1　旋轉體的體積… … … … … … … … … … …　556 
29．1．1　圓盤法… … … … … … … … … … …　557 
29．1．2　殼法… … … … … … … … … … … …　558 
29．1．3　總結和變式… … … … … … … …　560 
29．1．4　變式1：區(qū)域在曲線和y 軸之間… … … … … … …　561 
29．1．5　變式2：兩曲線間的區(qū)域… … … … … … … … … … … …　562 
29．1．6　變式3：繞平行于坐標軸的軸旋轉… … … … …　565 
29．2　一般立體體積… … … … … … … … … … …　567 
29．3　弧長… … … … … … … … … … … … … … … … …　571 
29．4　旋轉體的表面積… … … … … … … … …　574 
第30　章微分方程… … … … … … … … … … … … …　578 
30．1　微分方程導論… … … … … … … … … … …　578 
30．2　可分離變量的一階微分方程… …　579 
30．3　一階線性方程… … … … … … … … … … …　581 
30．4　常系數微分方程… … … … … … … … …　585 
30．4．1　解一階齊次方程… … … … …　586 
30．4．2　解二階齊次方程… … … … …　586 
30．4．3　為什么特征二次方程適用… … … … … … … … … … … …　587 
30．4．4　非齊次方程和特解… … …　588 
30．4．5　求特解… … … … … … … … … … …　589 
30．4．6　求特解的例子… … … … … …　590 
30．4．7　解決yP 和yH 間的沖突… … … … … … … … … … … …　592 
30．4．8　IVP … … … … … … … … … … … …　593 
30．5　微分方程建模… … … … … … … … … … …　595 
附錄A　極限及其證明… … … … … … … … … …　598 
A．1　極限的正式定義… … … … … … … … … …　598 
A．2　由原極限產生新極限… … … … … … …　602 
A．3　極限的其他情形… … … … … … … … … …　606 
A．4　連續(xù)與極限… … … … … … … … … … … … …　611 
A．5　再談指數函數和對數函數… … … …　616 
A．6　微分與極限… … … … … … … … … … … … …　618 
A．7　泰勒近似定理的證明… … … … … … …　627 
附錄B　估算積分… … … … … … … … … … … … …　629 
B．1　使用條紋估算積分… … … … … … … …　629 
B．2　梯形法則… … … … … … … … … … … … … …　632 
B．3　辛普森法則… … … … … … … … … … … … …　634 
B．4　近似的誤差… … … … … … … … … … … … …　636 
符號列表…　… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …　640 
索引…　… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …　643