《現(xiàn)代數(shù)值分析》是為高等院校理工科研究生各專業(yè)開設(shè)的“數(shù)值分析”課程編寫的教材, 內(nèi)容包括函數(shù)插值、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程求根、矩陣特征值與特征向量、常微分方程初值問題的數(shù)值解法、傅里葉變換與小波變換、偏微分方程數(shù)值解初步. 全書注重算法數(shù)學(xué)理論的建立和應(yīng)用, 最終實(shí)現(xiàn)工程問題的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題的數(shù)值化.
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目錄
前言
第1章 科學(xué)計(jì)算引論 1
1.1 科學(xué)計(jì)算背景 1
1.1.1 科學(xué)計(jì)算與計(jì)算數(shù)學(xué) 1
1.1.2 計(jì)算數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算 1
1.1.3 計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)技術(shù) 2
1.2 科學(xué)計(jì)算的誤差 3
1.2.1 科學(xué)計(jì)算誤差的產(chǎn)生 3
1.2.2 誤差的基本概念 3
1.2.3 有效數(shù)字 4
1.3 科學(xué)計(jì)算中的算法優(yōu)化和誤差估計(jì) 6
1.3.1 數(shù)值運(yùn)算時(shí)誤差的傳播 6
1.3.2 算法中應(yīng)避免的問題 7
1.3.3 算法設(shè)計(jì)中的基本思想 8
1.3.4 數(shù)值計(jì)算的收斂性與穩(wěn)定性 12
習(xí)題1 13
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 13
第2章 函數(shù)插值 14
2.1 引言 14
2.1.1 插值問題 14
2.1.2 插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性 14
2.2 拉格朗日插值 15
2.2.1 線性插值與拋物線插值 15
2.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 16
2.2.3 插值余項(xiàng)與誤差估計(jì) 17
2.3 牛頓插值 21
2.3.1 插值多項(xiàng)式的逐次生成 21
2.3.2 均差及其性質(zhì) 22
2.3.3 牛頓插值公式 23
2.3.4 牛頓向前插值公式 25
2.4 埃爾米特插值 28
2.4.1 重節(jié)點(diǎn)均差與泰勒插值 28
2.4.2 典型的埃爾米特插值 28
2.4.3 一般形式與插值余項(xiàng) 31
2.5 分段多項(xiàng)式插值 32
2.5.1 高次多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象 32
2.5.2 分段線性插值 33
2.5.3 分段三次埃爾米特插值 34
2.6 三次樣條插值 35
2.6.1 基本概念 35
2.6.2 三次樣條函數(shù) 35
2.6.3 樣條插值函數(shù)的建立 36
2.6.4 誤差界與收斂性 40
習(xí)題2 40
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 41
第3章 函數(shù)逼近 42
3.1 引言 42
3.1.1 函數(shù)逼近問題 42
3.1.2 范數(shù)與賦范線性空間 43
3.1.3 內(nèi)積與內(nèi)積空間 44
3.2 正交多項(xiàng)式 46
3.2.1 正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式 46
3.2.2 勒讓德多項(xiàng)式 49
3.2.3 切比雪夫多項(xiàng)式 50
3.2.4 其他常用的正交多項(xiàng)式 51
3.3 最佳平方逼近 52
3.3.1 最佳平方逼近及其計(jì)算 52
3.3.2 用正交函數(shù)族作最佳平方逼近 54
3.4 最佳一致逼近 56
3.4.1 基本概念及其理論 56
3.4.2 用插值余項(xiàng)最小化作最佳一致逼近 59
3.5 最小二乘擬合 62
3.5.1 最小二乘法及其計(jì)算 62
3.5.2 用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合 66
3.6 有理逼近 67
3.6.1 有理函數(shù)逼近與插值 67
3.6.2 帕德逼近 69
習(xí)題3 72
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 74
第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 75
4.1 數(shù)值積分概論 75
4.1.1 數(shù)值積分的基本思想 75
4.1.2 代數(shù)精度的概念 76
4.1.3 插值型的求積公式 77
4.1.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 79
4.1.5 求積公式的余項(xiàng) 79
4.2 牛頓-科茨公式 82
4.2.1 科茨系數(shù) 82
4.2.2 偶階求積公式的代數(shù)精度及其余項(xiàng) 84
4.3 復(fù)合求積公式 85
4.3.1 復(fù)合梯形公式 86
4.3.2 復(fù)合辛普森求積公式 86
4.4 龍貝格求積公式 89
4.4.1 梯形公式的遞推化 89
4.4.2 龍貝格算法 89
4.4.3 理查森外推加速法 90
4.5 高斯型求積公式 92
4.5.1 一般理論 92
4.5.2 高斯-勒讓德求積公式 96
4.5.3 高斯-切比雪夫求積公式 98
4.6 數(shù)值微分 98
4.6.1 中點(diǎn)方法與誤差分析 98
4.6.2 插值型的求導(dǎo)公式 100
習(xí)題4 101
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 102
第5章 線性方程組的直接解法 103
5.1 高斯消去法 103
5.1.1 回代過程與消元過程 103
5.1.2 高斯消去法的矩陣描述 107
5.1.3 選主元的高斯消去法 108
5.2 矩陣的三角分解 111
5.2.1 直接三角分解法 111
5.2.2 平方根法 112
5.2.3 追趕法 115
5.3 向量和矩陣范數(shù) 117
5.3.1 向量的極限定義 118
5.3.2 矩陣范數(shù) 119
5.4 誤差分析 122
5.4.1 條件數(shù)與誤差分析 122
5.4.2 病態(tài)檢測(cè)與改善 125
習(xí)題5 127
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 128
第6章 解線性代數(shù)方程組的迭代法 130
6.1 迭代法的基本思想 130
6.2 雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法 131
6.2.1 雅可比迭代法 131
6.2.2 高斯-賽德爾迭代法 133
6.3 迭代法及其收斂性 135
6.3.1 矩陣序列的極限 135
6.3.2 迭代法的收斂性 136
6.3.3 特殊方程組迭代法的收斂性 139
6.3.4 誤差估計(jì) 141
6.3.5 迭代法的收斂速度 143
6.4 逐次超松弛迭代法 144
6.4.1 超松弛迭代法的基本思想 144
6.4.2 超松弛迭代法的矩陣形式 144
6.4.3 超松弛法的收斂性 145
習(xí)題6 148
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 149
第7章 非線性方程求根 150
7.1 方程求根問題 150
7.1.1 方程求根簡(jiǎn)介 150
7.1.2 二分法 150
7.2 線性插值方法 154
7.2.1 割線法 154
7.2.2 牛頓法 155
7.3 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 157
7.3.1 不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)迭代法 157
7.3.2 不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性 160
7.4 迭代法的誤差分析及牛頓法收斂性再討論 162
7.4.1 迭代法的誤差分析 162
7.4.2 牛頓法收斂性再討論 166
7.5 迭代法收斂的加速方法 170
7.5.1 艾特肯加速收斂方法 170
7.5.2 斯特芬森迭代法 172
7.6 多項(xiàng)式零點(diǎn)與拋物線法 174
7.6.1 秦九韶算法 174
7.6.2 多項(xiàng)式全部根求解問題 177
7.6.3 拋物線法 178
7.7 非線性方程組的解法 182
7.7.1 非線性方程組 182
7.7.2 非線性方程組的牛頓迭代法 183
7.7.3 多變量方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法 185
習(xí)題7 187
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 188
第8章 矩陣特征值與特征向量 190
8.1 基本概念與特征值分布 190
8.2 乘冪法與反冪法 196
8.2.1 乘冪法 196
8.2.2 乘冪法的加速技術(shù) 200
8.2.3 反冪法 203
8.3 矩陣的正交三角化 205
8.3.1 豪斯霍爾德變換 206
8.3.2 吉文斯變換 208
8.4 QR分解與QR算法 210
8.4.1 QR分解 211
8.4.2 QR算法 213
習(xí)題8 215
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 216
第9章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 218
9.1 引言 218
9.1.1 常微分方程初值問題 218
9.1.2 什么是常微分方程數(shù)值解法 219
9.2 歐拉法與梯形方法 220
9.2.1 歐拉法 220
9.2.2 梯形方法 222
9.2.3 梯形公式的預(yù)估-校正方法 223
9.2.4 單步法的局部截?cái)嗾`差及其階 224
9.3 龍格-庫塔方法 226
9.3.1 顯式龍格-庫塔方法的一般形式 226
9.3.2 二級(jí)二階顯式龍格-庫塔方法 227
9.3.3 三級(jí)三階與四級(jí)四階顯式龍格-庫塔方法 228
9.4 初值問題單步法的相容性、收斂性與穩(wěn)定性 230
9.4.1 相容性 230
9.4.2 收斂性 231
9.4.3 穩(wěn)定性 232
9.5* 線性多步法 233
9.5.1 亞當(dāng)斯方法 234
9.5.2 漢明方法 237
9.5.3 預(yù)估-校正方法 239
9.6 線性多步法的相容性、收斂性與穩(wěn)定性 240
9.6.1 相容性 240
9.6.2 收斂性 241
9.6.3 穩(wěn)定性 241
習(xí)題9 241
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 243
第10章 傅里葉變換與小波變換 244
10.1 傅里葉級(jí)數(shù) 244
10.2 傅里葉變換 245
10.2.1 連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換 245
10.2.2 δ-函數(shù)的定義及其性質(zhì) 246
10.2.3 離散函數(shù)的傅里葉變換 248
10.3 傅里葉變換的性質(zhì) 250
10.3.1 傅里葉變換的基本性質(zhì) 250
10.3.2 離散快速傅里葉變換 253
10.4 尺度空間與小波空間 254
10.4.1 L2(R)空間及其特性 254
10.4.2 尺度函數(shù)與小波函數(shù)、尺度空間與小波空間 255
10.5 小波變換及其應(yīng)用 258
10.5.1 小波變換 258
10.5.2 快速小波變換 259
習(xí)題10 264
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 265
第11章 偏微分方程數(shù)值解初步 267
11.1 偏微分方程的基本概念與分類 267
11.1.1 偏微分方程的基本概念 267
11.1.2 線性偏微分方程的分類 269
11.1.3 一些典型的偏微分方程 269
11.2 偏微分方程的定解問題 271
11.2.1 橢圓型偏微分方程的定解問題 271
11.2.2 拋物型偏微分方程的定解問題 272
11.2.3 雙曲型偏微分方程的定解問題 272
11.3 偏微分方程有限差分方法 273
11.3.1 有限差分方法網(wǎng)格剖分 274
11.3.2 有限差分格式 274
11.3.3 隱式差分格式 276
11.3.4 有限差分格式的相容性、收斂性和穩(wěn)定性 276
11.4 拋物型偏微分方程有限差分方法 278
11.4.1 向前差分格式、向后差分格式 278
11.4.2 數(shù)值算例 279
11.5 橢圓型偏微分方程有限差分方法 281
11.5.1 泊松方程的五點(diǎn)差分格式 281
11.5.2 差分格式的性質(zhì) 282
11.5.3 數(shù)值算例 282
11.6 雙曲型偏微分方程有限差分方法 286
11.6.1 迎風(fēng)格式 286
11.6.2 拉克斯-弗里德里希斯格式 287
11.6.3 拉克斯-溫德羅夫格式 287
11.6.4 雙曲型方程差分格式收斂的必要條件 287
11.6.5 數(shù)值算例 288
習(xí)題11 288
數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 290
參考文獻(xiàn) 291
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