譯者序
前言
第0章　基礎(chǔ)知識(shí)1
　0.1　多項(xiàng)式求值1
　0.2　二進(jìn)制數(shù)字5
　　0.2.1　將十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制5
　　0.2.2　將二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制6
　0.3　實(shí)數(shù)的浮點(diǎn)表示7
　　0.3.1　浮點(diǎn)格式7
　　0.3.2　機(jī)器表示10
　　0.3.3　浮點(diǎn)數(shù)加法12
　0.4　有效數(shù)字缺失14
　0.5　微積分回顧18
　軟件與進(jìn)一步閱讀21
第1章　求解方程22
　1.1　二分法22
　　1.1.1　把根括住22
　　1.1.2　多準(zhǔn)？多快25
　1.2　不動(dòng)點(diǎn)迭代27
　　1.2.1　函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)27
　　1.2.2　不動(dòng)點(diǎn)迭代幾何30
　　1.2.3　不動(dòng)點(diǎn)迭代的線性收斂31
　　1.2.4　終止條件36
　1.3　精度的極限39
　　1.3.1　前向與后向誤差39
　　1.3.2　威爾金森多項(xiàng)式42
　　1.3.3　根搜索的敏感性43
　1.4　牛頓方法46
　　1.4.1　牛頓方法的二次收斂47
　　1.4.2　牛頓方法的線性收斂49
　1.5　不需要導(dǎo)數(shù)的根求解54
　　1.5.1　割線方法及其變體54
　　1.5.2　Brent方法57
　事實(shí)驗(yàn)證1　Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)59
　軟件與進(jìn)一步閱讀61
第2章　方程組62
　2.1　高斯消去法62
　　2.1.1　樸素的高斯消去法62
　　2.1.2　操作次數(shù)64
　2.2　LU分解69
　　2.2.1　高斯消去法的矩陣形式69
　　2.2.2　使用LU分解回代71
　　2.2.3　LU分解的復(fù)雜度73
　2.3　誤差來(lái)源75
　　2.3.1　誤差放大和條件數(shù)75
　　2.3.2　淹沒(méi)80
　2.4　PA=LU分解83
　　2.4.1　部分主元83
　　2.4.2　置換矩陣85
　　2.4.3　PA=LU分解86
　事實(shí)驗(yàn)證2　歐拉伯努利橫梁91
　2.5　迭代方法94
　　2.5.1　雅可比方法94
　　2.5.2　高斯塞德?tīng)柗椒ê蚐OR96
　　2.5.3　迭代方法的收斂99
　　2.5.4　稀疏矩陣計(jì)算100
　2.6　用于對(duì)稱正定矩陣的方法105
　　2.6.1　對(duì)稱正定矩陣105
　　2.6.2　楚列斯基分解106
　　2.6.3　共軛梯度方法109
　　2.6.4　預(yù)條件113
　2.7　非線性方程組118
　　2.7.1　多元牛頓方法118
　　2.7.2　Broyden方法120
　軟件與進(jìn)一步閱讀123
第3章　插值124
　3.1　數(shù)據(jù)和插值函數(shù)124
　　3.1.1　拉格朗日插值125
　　3.1.2　牛頓差商127
　　3.1.3　經(jīng)過(guò)n個(gè)點(diǎn)的d階多項(xiàng)式有多少130
　　3.1.4　插值代碼131
　　3.1.5　通過(guò)近似多項(xiàng)式表示函數(shù)132
　3.2　插值誤差136
　　3.2.1　插值誤差公式136
　　3.2.2　牛頓形式和誤差公式的證明137
　　3.2.3　龍格現(xiàn)象139
　3.3　切比雪夫插值141
　　3.3.1　切比雪夫理論141
　　3.3.2　切比雪夫多項(xiàng)式143
　　3.3.3　區(qū)間的變化145
　3.4　三次樣條149
　　3.4.1　樣條的性質(zhì)150
　　3.4.2　端點(diǎn)條件156
　3.5　貝塞爾曲線160
　事實(shí)驗(yàn)證3　利用貝塞爾曲線定義字體164
　軟件與進(jìn)一步閱讀167
第4章　最小二乘168
　4.1　最小二乘與法線方程168
　　4.1.1　不一致的方程組168
　　4.1.2　數(shù)據(jù)的擬合模型172
　　4.1.3　最小二乘的條件176
　4.2　模型概述179
　　4.2.1　周期數(shù)據(jù)179
　　4.2.2　數(shù)據(jù)線性化182
　4.3　QR分解188
　　4.3.1　格拉姆施密特正交與最小二乘188
　　4.3.2　改進(jìn)的格拉姆施密特正交194
　　4.3.3　豪斯霍爾德反射子196
　4.4　廣義最小余項(xiàng)（GMRES）方法201
　　4.4.1　Krylov方法201
　　4.4.2　預(yù)條件GMRES203
　4.5　非線性最小二乘205
　　4.5.1　高斯牛頓方法205
　　4.5.2　具有非線性參數(shù)的模型208
　　4.5.3　Levenberg-Marquardt方法210
　事實(shí)驗(yàn)證4　GPS、條件和非線性最小二乘212
　軟件與進(jìn)一步閱讀214
第5章　數(shù)值微分和積分216
　5.1　數(shù)值微分216
　　5.1.1　有限差分公式216
　　5.1.2　舍入誤差219
　　5.1.3　外推221
　　5.1.4　符號(hào)微分和積分222
　5.2　數(shù)值積分的牛頓科特斯公式225
　　5.2.1　梯形法則226
　　5.2.2　辛普森法則227
　　5.2.3　復(fù)合牛頓科特斯公式229
　　5.2.4　開(kāi)牛頓科特斯方法231
　5.3　龍貝格積分234
　5.4　自適應(yīng)積分237
　5.5　高斯積分241
　事實(shí)驗(yàn)證5　計(jì)算機(jī)輔助建模中的運(yùn)動(dòng)控制245
　軟件與進(jìn)一步閱讀247
第6章　常微分方程248
　6.1　初值問(wèn)題248
　　6.1.1　歐拉方法250
　　6.1.2　解的存在性、唯一性和連續(xù)性254
　　6.1.3　一階線性方程256
　6.2　IVP求解器的分析258
　　6.2.1　局部和全局截?cái)嗾`差258
　　6.2.2　顯式梯形方法262
　　6.2.3　泰勒方法264
　6.3　常微分方程組266
　　6.3.1　高階方程267
　　6.3.2　計(jì)算機(jī)仿真:鐘擺268
　　6.3.3　計(jì)算機(jī)仿真:軌道力學(xué)271
　6.4　龍格庫(kù)塔方法和應(yīng)用276
　　6.4.1　龍格庫(kù)塔家族276
　　6.4.2　計(jì)算機(jī)仿真:Hodgkin-Huxley神經(jīng)元278
　　6.4.3　計(jì)算機(jī)仿真:Lorenz方程281
　事實(shí)驗(yàn)證6　Tacoma Narrows大橋283
　6.5　可變步長(zhǎng)方法286
　　6.5.1　龍格庫(kù)塔嵌入對(duì)286
　　6.5.2　4/5階方法288
　6.6　隱式方法和剛性方程292
　6.7　多步方法295
　　6.7.1　構(gòu)造多步方法295
　　6.7.2　顯式多步方法298
　　6.7.3　隱式多步方法301
　軟件與進(jìn)一步閱讀305
第7章　邊值問(wèn)題306
　7.1　打靶方法306
　　7.1.1　邊值問(wèn)題的解306
　　7.1.2　打靶方法的實(shí)現(xiàn)309
　事實(shí)驗(yàn)證7　圓環(huán)的扭曲312
　7.2　有限差分方法314
　　7.2.1　線性邊值問(wèn)題314
　　7.2.2　非線性邊值問(wèn)題316
　7.3　排列與有限元方法321
　　7.3.1　排列321
　　7.3.2　有限元以及Galerkin方法323
　軟件與進(jìn)一步閱讀328
第8章　偏微分方程329
　8.1　拋物線方程329
　　8.1.1　前向差分方法330
　　8.1.2　前向差分方法的穩(wěn)定分析332
　　8.1.3　后向差分方法334
　　8.1.4　Crank-Nicolson方法338
　8.2　雙曲線方程344
　　8.2.1　波動(dòng)方程345
　　8.2.2　CFL條件347
　8.3　橢圓方程349
　　8.3.1　橢圓方程的有限差分方法351
　事實(shí)驗(yàn)證8　冷卻散熱片的熱分布355
　　8.3.2　橢圓方程的有限元方法357
　8.4　非線性偏微分方程366
　　8.4.1　隱式牛頓求解器367
　　8.4.2　二維空間中的非線性方程372
　軟件與進(jìn)一步閱讀378
第9章　隨機(jī)數(shù)和應(yīng)用380
　9.1　隨機(jī)數(shù)380
　　9.1.1　偽隨機(jī)數(shù)381
　　9.1.2　指數(shù)和正態(tài)隨機(jī)數(shù)385
　9.2　蒙特卡羅模擬387
　　9.2.1　冪律和蒙特卡羅模擬387
　　9.2.2　擬隨機(jī)數(shù)389
　9.3　離散和連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)392
　　9.3.1　隨機(jī)游走393
　　9.3.2　連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)394
　9.4　隨機(jī)微分方程397
　　9.4.1　有噪聲的微分方程397
　　9.4.2　數(shù)值方法求解SDE399
　事實(shí)驗(yàn)證9　Black-Scholes公式405
　軟件與進(jìn)一步閱讀407
第10章　三角插值和FFT408
　10.1　傅里葉變換408
　　10.1.1　復(fù)數(shù)算術(shù)408
　　10.1.2　離散傅里葉變換410
　　10.1.3　快速傅里葉變換413
　10.2　三角插值415
　　10.2.1　DFT插值定理415
　　10.2.2　三角插值函數(shù)的效率418
　10.3　FFT和信號(hào)處理421
　　10.3.1　正交性和插值421
　　10.3.2　用三角函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合424
　　10.3.3　聲音、噪聲和濾波427
　事實(shí)驗(yàn)證10　維納濾波429
　軟件與進(jìn)一步閱讀431
第11章　壓縮432
　11.1　離散余弦變換432
　　11.1.1　一維DCT432
　　11.1.2　DCT變換和最小二乘近似435
　11.2　二維DCT和圖像壓縮437
　　11.2.1　二維DCT437
　　11.2.2　圖像壓縮440
　　11.2.3　量化443
　11.3　霍夫曼編碼449
　　11.3.1　信息論和編碼449
　　11.3.2　JPEG格式中的霍夫曼編碼452
　11.4　改進(jìn)的DCT和音頻壓縮454
　　11.4.1　改進(jìn)的DCT455
　　11.4.2　位量化460
　事實(shí)驗(yàn)證11　一個(gè)簡(jiǎn)單的音頻編解碼器462
　軟件與進(jìn)一步閱讀464
第12章　特征值與奇異值465
　12.1　冪迭代方法465
　　12.1.1　冪迭代466
　　12.1.2　冪迭代的收斂468
　　12.1.3　冪迭代的逆469
　　12.1.4　瑞利商迭代470
　12.2　QR算法472
　　12.2.1　同時(shí)迭代472
　　12.2.2　實(shí)數(shù)舒爾形式和QR算法475
　　12.2.3　上海森伯格形式477
　事實(shí)驗(yàn)證12　搜索引擎如何評(píng)價(jià)頁(yè)面質(zhì)量481
　12.3　奇異值分解484
　　12.3.1　找出一般的SVD486
　　12.3.2　特例:對(duì)稱矩陣487
　12.4　SVD的應(yīng)用489
　　12.4.1　SVD的性質(zhì)489
　　12.4.2　降維490
　　12.4.3　壓縮492
　　12.4.4　計(jì)算SVD493
　軟件與進(jìn)一步閱讀494
第13章　最優(yōu)化496
　13.1　不使用導(dǎo)數(shù)的無(wú)約束優(yōu)化497
　　13.1.1　黃金分割搜索497
　　13.1.2　持續(xù)的拋物線插值500
　　13.1.3　Nelder-Mead搜索502
　13.2　使用導(dǎo)數(shù)的無(wú)約束優(yōu)化505
　　13.2.1　牛頓方法505
　　13.2.2　最速下降507
　　13.2.3　共軛梯度搜索507
　事實(shí)驗(yàn)證13　分子形態(tài)和數(shù)值優(yōu)化509