變分法是研究泛函極值問題的一門科學(xué)，是古典數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。 《變分法及其應(yīng)用：物理、力學(xué)、工程中的經(jīng)典建模》共分六章。第一章介紹泛函分析的一些基本概念和符號(hào)；第二章、第三章提出四個(gè)古典的變分模型，討論泛函取得極值的必要條件、各種形式的歐拉方程、條件變分、一階變分的一般形式、自然邊界條件、變動(dòng)邊界與橫截條件；第四章介紹物理學(xué)、力學(xué)中的變分原理，二次泛函極小與特征值的關(guān)系，正定算子的極小泛函；第五章介紹變分學(xué)中的直接方法；第六章介紹極值的充分條件。 《變分法及其應(yīng)用：物理、力學(xué)、工程中的經(jīng)典建模》可作為應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用物理及應(yīng)用力學(xué)等專業(yè)本科生、研究生的教材，也可作為科技工作者的參考書。
20世紀(jì)80年代，我開始在西安交通大學(xué)給應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用力學(xué)、應(yīng)用物理專業(yè)的學(xué)生講授變分法。與之同時(shí)，蕭樹鐵教授在全國(guó)高校推廣數(shù)學(xué)建模。是蕭先生帶我走上數(shù)模之路，以后我也把數(shù)學(xué)建模作為學(xué)習(xí)、教學(xué)與研究的方向。1986年，我在西安交通大學(xué)籌辦了“第二期全國(guó)數(shù)模教師培訓(xùn)班”；1988年，在南華大學(xué)籌辦了“全國(guó)數(shù)學(xué)模型教學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)”；1991年8月，又在張家界籌辦了“全國(guó)數(shù)學(xué)建模學(xué)術(shù)會(huì)議”。2011年12月22日，我作為特邀代表，出席了在北京人民大會(huì)堂召開的“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽20周年慶典暨2011‘高教社杯’頒獎(jiǎng)儀式”，遂激勵(lì)我把在高校教書到70歲的心得寫書成冊(cè)。
在經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，常常會(huì)遇到這樣一類問題，在一定條件下，怎樣設(shè)計(jì)制造產(chǎn)品，使其用料最省，或成本最低，或投資最小等。在自然現(xiàn)象中，也存在著許多極值規(guī)律。例如，光在通過介質(zhì)的光路時(shí)，使其所需時(shí)間最�。ㄙM(fèi)馬原理）；物體在它所容許的位置中，將自然地處于使其勢(shì)能為最小的位置（最小勢(shì)能原理）等。這些都是極值問題。極值問題的研究十分重要，它一直是推動(dòng)數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)發(fā)展的主要?jiǎng)恿Α?/span>
變分法是研究極值的重要理論與方法，然而它的研究對(duì)象與微分學(xué)不一樣，變分法是研究泛函的極值。
在自然科學(xué)中，變分法的應(yīng)用極為廣泛。一方面，它常用來推導(dǎo)描述自然現(xiàn)象的控制微分方程；另一方面，物理、力學(xué)中的多種變分原理的發(fā)展，使變分原理本身已成為某些學(xué)科理論的組成部分。值得指出的是變分法在計(jì)算方法中的應(yīng)用。20世紀(jì)開創(chuàng)的變分法的直接方法有里茨方法與伽遼金方法等，到1943年由柯朗創(chuàng)立、50年代首先由建筑結(jié)構(gòu)工程師使用的有限元方法，已成為重要的計(jì)算方法，而有限元的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是變分法。
本書共分六章。第一章簡(jiǎn)單介紹泛函分析的基本概念；第二、三章介紹變分法的四個(gè)經(jīng)典模型及基本理論、各種形式的歐拉方程、條件變分、一階變分的一般形式、自然邊界條件、變動(dòng)邊界與橫截條件；第四章介紹費(fèi)馬原理、哈密頓原理、最小勢(shì)能原理、二次泛函的極小與特征值問題的關(guān)系、正定算子的極小泛函：第五章介紹變分法的直接方法：里茨方法、伽遼金方法、半解析方法；第六章介紹變分法極值的充分條件。全書各章配有習(xí)題，并附有參考答案。
第一章 預(yù)備知識(shí)
§1.1 n維向量與無窮維向量
§1.2 函數(shù)空間
§1.3 映射、泛函與泛函極值的概念
第二章 極值的必要條件——?dú)W拉方程
§2.1 經(jīng)典的變分問題
§2.2 歐拉方程
§2.3 歐拉方程的積分法與退化情形
§2.4 變分的概念及其運(yùn)算
§2.5 含有多個(gè)函數(shù)的情形
§2.6 含有高階導(dǎo)數(shù)的情形
§2.7 兩個(gè)以上的獨(dú)立變量的情形
§2.8 參數(shù)表示式
§2.9 歐拉方程的不變性
第三章 條件變分與變動(dòng)邊界問題
§3.1 等周問題
§3.2 短程線問題
§3.3 微分方程作為附加條件
§3.4 自由邊界和自然邊界條件
§3.5 -階變分的一般形式
§3.6 變動(dòng)邊界問題與橫截條件
§3.7 隱泛函取得極值的必要條件
§3.8 標(biāo)槍投擲的數(shù)學(xué)模型
第四章 物理學(xué)、力學(xué)中的變分原理和數(shù)學(xué)物理中的微分方程
§4.1 費(fèi)馬原理
§4.2 哈密頓原理
§4.3 正則方程及其雅可比——哈密頓方程
§4.4 最小勢(shì)能原理s
§4.5 二次泛函的極小問題及其與特征值問題的關(guān)系
§4.6 正定算子的極小泛函
§4.7 泛函的極值與微分方程
第五章 變分學(xué)中的直接方法
§5.1 里茨方法
§5.2 伽遼金方法
§5.3 化為常微分方程的解法——半解析法
§5.4 有限元方法簡(jiǎn)介
第六章 極值的充分條件
§6.1 極值問題的分類
§6.2 魏爾斯特拉斯函數(shù)與勒讓德條件
§6.3 雅可比條件與共軛點(diǎn)
§6.4 極值曲線場(chǎng)與極值曲線的嵌入概念
§6.5 希爾伯特積分及充分性定理
附錄 關(guān)于轉(zhuǎn)子強(qiáng)度的半解析計(jì)算法
部分習(xí)題答案
參考文獻(xiàn)
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