老大中編著的《變分法基礎(chǔ)(第3版)》是變分法方面的專著，書中系統(tǒng)地介紹變分法的基本理論及其應(yīng)用。
編寫本書的目的是希望為高等院校的研究生和高年級(jí)大學(xué)生提供一本學(xué)習(xí)變分法課程的教材或教學(xué)參考書，使他們能夠熟悉變分法的基本概念和計(jì)算方法。本書內(nèi)容包括預(yù)備知識(shí)、固定邊界的變分問(wèn)題、可動(dòng)邊界的變分問(wèn)題、泛函極值的充分條件、條件極值的變分問(wèn)題、參數(shù)形式的變分問(wèn)題、變分原理、變分問(wèn)題的直接方法、力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用以及含向量、張量和哈密頓算子的泛函變分問(wèn)題。其中許多內(nèi)容是作者多年來(lái)的研究成果，特別是提出完全泛函的極值函數(shù)定理，統(tǒng)一了變分法中的各種歐拉方程，創(chuàng)立含向量、向量的模、任意階張量和哈密頓算子的泛函的變分理論，給出相應(yīng)的歐拉方程組及自然邊界條件，擴(kuò)大了變分法的應(yīng)用范圍。本書也可供有關(guān)專業(yè)的教師和科技人員參考。
本書概念清楚，邏輯清晰，內(nèi)容豐富，深入淺出，便于自學(xué)，既注重方法的介紹，又不失數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。書中列有大量例題和習(xí)題，并附有中英文索引。為了幫助讀者解決學(xué)習(xí)中遇到的困難，本書給出了各章共315道習(xí)題的全部解答過(guò)程及答案，供讀者參考。
第l章 預(yù)備知識(shí)
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函數(shù)的情形
1.1.2 多元函數(shù)的情形
1.2 含參變量的積分
1.3 場(chǎng)論基礎(chǔ)
1.3.1 方向?qū)?shù)及梯度
1.3.2 向量場(chǎng)的通量和散度
1.3.3 高斯定理與格林公式
1.3.4 向量場(chǎng)的環(huán)量與旋度
1.3.5 斯托克斯定理
1.3.6 梯度、散度和旋度表示的統(tǒng)一高斯公式
1.4 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的坐標(biāo)變換
1.5 變分法基本引理
1.6 求和約定、克羅內(nèi)克爾符號(hào)和排列符號(hào)
1.7 張量的基本概念
1.7.1 直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換
1.7.2 笛卡兒二階張量
1.7.3 笛卡兒張量的代數(shù)運(yùn)算
1.7.4 張量的商定律
1.7.5 二階張量的主軸、特征值和不變量
1.7.6 笛卡兒張量的微分運(yùn)算
1.8 常用不等式
1.9 名家介紹
習(xí)題1
第2章 固定邊界的變分問(wèn)題
2.1 古典變分問(wèn)題舉例
2.2 變分法的基本概念
2.3 最簡(jiǎn)泛函的變分與極值的必要條件
2.4 最簡(jiǎn)泛函的歐拉方程
2.5 歐拉方程的幾種特殊類型及其積分
2.6 依賴于多個(gè)一元函數(shù)的變分問(wèn)題
2.7 依賴于高階導(dǎo)數(shù)的變分問(wèn)題
2.8 依賴于多元函數(shù)的變分問(wèn)題
2.9 完全泛函的變分問(wèn)題
2.10 歐拉方程的不變性
2.11 名家介紹
習(xí)題2
第3章 泛函極值的充分條件
3.1 極值曲線場(chǎng)
3.2 雅可比條件和雅可比方程
3.3 魏爾斯特拉斯函數(shù)與魏爾斯特拉斯條件
3.4 勒讓德條件
3.5 泛函極值的充分條件
3.5.1 魏爾斯特拉斯充分條件
3.5.2 勒讓德充分條件
3.6 泛函的高階變分
3.7 名家介紹
習(xí)題3
第4章 可動(dòng)邊界的變分問(wèn)題
4.1 最簡(jiǎn)泛函的變分問(wèn)題
4.2 含有多個(gè)函數(shù)的泛函的變分問(wèn)題
4.3 含有高階導(dǎo)數(shù)的泛函的變分問(wèn)題
4.3.1 泛函含有一個(gè)未知函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的情形
4.3.2 泛函含有一個(gè)未知函數(shù)多階導(dǎo)數(shù)的情形
4.3.3 泛函含有多個(gè)未知函數(shù)多階導(dǎo)數(shù)的情形
4.4 含有多元函數(shù)的泛函的變分問(wèn)題
4.5 具有尖點(diǎn)的極值曲線
4.6 單側(cè)變分問(wèn)題
4.7 名家介紹
習(xí)題4
第5章 條件極值的變分問(wèn)題
5.1 完整約束的變分問(wèn)題
5.2 微分約束的變分問(wèn)題
5.3 等周問(wèn)題
5.4 混合型泛函的極值問(wèn)題
5.4.1 簡(jiǎn)單混合型泛函的極值問(wèn)題
5.4.2 二維、三維和”維問(wèn)題的歐拉方程
5.5 名家介紹
習(xí)題5
第6章 參數(shù)形式的變分問(wèn)題
6.1 曲線的參數(shù)形式及齊次條件
6.2 參數(shù)形式的等周問(wèn)題和測(cè)地線
6.3 可動(dòng)邊界參數(shù)形式泛函的極值
習(xí)題6
第7章 變分原理
7.1 集合與映射
7.2 集合與空間
7.3 標(biāo)準(zhǔn)正交系與傅里葉級(jí)數(shù)
7.4 算子與泛函
7.5 泛函的導(dǎo)數(shù)
7.6 算子方程的變分原理
7.7 與自共軛常微分方程邊值問(wèn)題等價(jià)的變分問(wèn)題
7.8 與自共軛偏微分方程邊值問(wèn)題等價(jià)的變分問(wèn)題
7.9 弗里德里希斯不等式和龐加萊不等式
7.10 名家介紹
習(xí)題7
第8章 變分問(wèn)題的直接方法
8.1 極小(極大)化序列
8.2 歐拉有限差分法
8.3 里茨法
8.4 坎托羅維奇法
8.5 伽遼金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特征值和特征函數(shù)
8.8 名家介紹
習(xí)題8
第9章 力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用
9.1 力學(xué)的基本概念
9.1.1 力學(xué)系統(tǒng)
9.1.2 約束及其分類
9.1.3 實(shí)位移與虛位移
9.1.4 應(yīng)變與位移的關(guān)系
9.1.5 功與能
9.2 虛位移原理
9.2.1 質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理
9.2.2 彈性體的廣義虛位移原理
9.2.3 彈性體的虛位移原理
9.3 最小勢(shì)能原理
9.4 余虛功原理
9.5 最小余能原理
9.6 哈密頓原理及其應(yīng)用
9.6.1 質(zhì)點(diǎn)系的哈密頓原理
9.6.2 彈性體的哈密頓原理
9.7 哈密頓正則方程
9.8 赫林格一賴斯納廣義變分原理
9.9 胡海呂鷲津久一郎廣義變分原理
9.10 莫培督一拉格朗日最小作用量原理
9.11 名家介紹
習(xí)題9
第10章 含向量、張量和哈密頓算子的泛函變分問(wèn)題
10.1 張量?jī)?nèi)積運(yùn)算的基本性質(zhì)與含張量的泛函變分基本引理
10.2 含向量、向量的模和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.3 梯度型泛函的歐拉方程
10.4 散度型泛函的歐拉方程
10.5 旋度型泛函的歐拉方程
10.6 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函變分問(wèn)題
10.6.1 并聯(lián)式內(nèi)積張量的梯度、散度和旋度變分公式推導(dǎo)
10.6.2 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.6.3 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的算例
10.6.4 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.6.5 其他含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.7 含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函變分問(wèn)題
10.7.1 串聯(lián)式內(nèi)積張量的梯度、散度和旋度變分公式推導(dǎo)
10.7.2 含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.7.3 含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.7.4 其他含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.8 結(jié)j淪
10.9 名家介紹
習(xí)題10
附錄1 習(xí)題全解
第1章 預(yù)備知識(shí)習(xí)題解
第2章 固定邊界的變分問(wèn)題習(xí)題解
第3章 泛函極值的充分條件習(xí)題解
第4章 可動(dòng)邊界的變分問(wèn)題習(xí)題解
第5章 條件極值的變分問(wèn)題習(xí)題解
第6章 參數(shù)形式的變分問(wèn)題習(xí)題解
第7章 變分原理習(xí)題解
第8章 變分問(wèn)題的直接方法習(xí)題解
第9章 力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用習(xí)題解
第10章 含向量、張量和哈密頓算子的泛函變分問(wèn)題習(xí)題解
附錄2 索引
參考文獻(xiàn)
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