本書介紹隨機過程基本概念和基本理論,著重講解Poisson過程、Markov鏈、Galton-Watson分枝過程、鞅、Bronw運動和平穩(wěn)隨機過程遍歷性。本書選材恰當,內(nèi)容豐富,深入淺出。 除前兩章外,各章內(nèi)容相對獨立并且體系完整,便于讀者閱讀。每章含有附注,包括人物和背景介紹,趣味性和科學性兼顧。每章習題都經(jīng)過精心挑選,難易適中,可作為正文的有益補充。
隨機過程是一族隨機變量,用于描述隨時間而變化的隨機現(xiàn)象,研究隨機過程目的在于揭示隨機現(xiàn)象變化和發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律與機制,由于隨機過程廣泛存在于各種實際問題中,其現(xiàn)已成為概率論、數(shù)理統(tǒng)計、計量經(jīng)濟、金融數(shù)學、商業(yè)管理、運籌優(yōu)化、計算機科學、統(tǒng)計物理等學科中不可缺少的研究內(nèi)容。許多高等院校都開設隨機過程課程,深受廣大學生歡迎。
作者近年來一直在浙江大學開設隨機過程課程,并在教學過程中不斷收集資料,編寫講義和課件,傾聽同學們意見和建議。本書正是在此基礎上,經(jīng)過反復醞釀和修改,編寫而成。全書共分八章,概括如下:
第一章回顧概率論的基本知識,包括Kolmogorov的概率空間公理化定義、隨機變量及其分布函數(shù)、隨機變量數(shù)字特征和經(jīng)典極限定理。為了今后各章的需要,本章特別強調(diào)條件概率、條件分布和條件期望的概念和運算,給出全概率公式和全期望公式。
第二章介紹隨機過程基本概念,隨機過程的概率分布由任意有限維分布來刻畫。本書所討論的隨機過程形式多樣,特色鮮明,既有離散時間過程,也有連續(xù)時間過程;既有可數(shù)狀態(tài)過程,也有不可數(shù)狀態(tài)過程;既有增量獨立過程,也有條件獨立過程,
第三章介紹Poisson過程,該過程用于描述隨機服務系統(tǒng),統(tǒng)計尋求服務的顧客數(shù),其增量獨立并服從Poisson分布。Poisson過程是連續(xù)時間、取非負整數(shù)值的Markov過程。除齊次Poisson過程外,本章還介紹非齊次Poisson過程和復合Poisson過程,這些常常出現(xiàn)在實際應用問題中。
第四章介紹Markov鏈。該過程狀態(tài)空間最多含有可數(shù)多個狀態(tài),隨著時間推移,在不同狀態(tài)之間進行轉移。Markov鏈具有條件獨立性,在給定當前狀態(tài)下,將來處于何種狀態(tài)與過去所經(jīng)歷的過程無關。Markov鏈的分布由初始分布和轉移概率矩陣所決定,從長遠來看,轉移概率矩陣起著更為關鍵的作用。Markov鏈可以用于預測和決策問題。
第五章介紹Galton-Watson分枝過程。它是一種特殊的Markov鏈,用于描述物種繁衍、細胞裂變等增長現(xiàn)象。生成函數(shù)是研究Galton-Watson分枝過程的一個有效工具。
第六章介紹鞅,與其他過程比較,鞅的直觀背景并不明顯,但是它的應用非常廣泛,靈活多變,技巧性強,基本收斂定理和停時定理是鞅論中具有特色的基本內(nèi)容。
第七章介紹Brown運動。該過程是連續(xù)時間參數(shù)、取實數(shù)值的正態(tài)過程,具有獨立平穩(wěn)增量,從而是連續(xù)鞅和Markov過程。Brown運動可以用于描述粒子運動,其軌跡處處連續(xù)但極不規(guī)則。除去一些基本性質(zhì)之外,本章還簡要介紹Ito積分及其在金融數(shù)學中的應用,推導出Black-Scholes關于歐式買入期權的定價公式。
第八章介紹平穩(wěn)隨機過程遍歷性。平穩(wěn)隨機過程具有時間平移不變性,各個時刻的數(shù)學期望和方差都是常數(shù)。從而在相當寬的條件下,可以用時間平均代替統(tǒng)計平均,為隨機過程的統(tǒng)計推斷奠定了基礎。
本書除前兩章外,其他各章內(nèi)容相對獨立,讀者可以根據(jù)實際情況加以選擇,每章都含有附錄,作為正文閱讀的延伸和補充,附錄中的人物介紹,可以幫助讀者了解有關隨機過程提出和研究的歷史背景。書中配有大量習題,難易程度適中,讀者通過練習,可以更好地理解正文中所介紹的基本概念和基本結果。
第一章 初等概率論
§1.1 概率空間
§1.2 隨機變量
§1.3 數(shù)字特征
§1.4 經(jīng)典極限定理
§1.5 附錄
習題一
第二章 隨機過程基本概念
§2.1 隨機過程基本概念
§2.2 附錄
習題二
第三章 Poisson過程
§3.1 Poisson過程
§3.2 Poisson過程可加性
§3.3 到達時刻的條件分布
§3.4 復合Poisson過程
§3.5 非齊次Poisson過程
§3.6 多維Poisson點過程
§3.7 附錄
習題三
第四章 Markov鏈
§4.1 Markov鏈基本性質(zhì)
§4.2 狀態(tài)空間分解
§4.3 常返性與瞬時性
§4.4 平穩(wěn)Markov鏈
§4.5 可逆Markov鏈
§4.6 連續(xù)時間Markov鏈
§4.7 附錄
習題四
第五章 GaltonWatson分枝過程
§5.1 模型簡介
§5.2 生成函數(shù)
§5.3 生存與滅絕概率
§5.4 附錄
習題五
第六章 鞅
§6.1 條件期望
§6.2 離散時間鞅
§6.3 停時原理
§6.4 連續(xù)時間鞅
§6.5 附錄
習題六
第七章 Brown運動
§7.1 Brown運動及基本性質(zhì)
§7.2 最大值分布
§7.3 It6積分
§7.4 Black—Scholes公式
§7.5 附錄
習題七
第八章 平穩(wěn)隨機過程遍歷性
§8.1 時間平均
§8.2 均值遍歷性
§8.3 yon Neumann遍歷定理
§8.4 附錄
習題八
參考文獻
索引
中外譯名對照