序言 了解歷史的變化是了解這門科學(xué)的一個(gè)步驟.陳省身積分學(xué)的歷史最早可以追溯到公元前 3世紀(jì)時(shí) , Archimedes(阿基米德 )利用圓的內(nèi)接多邊形計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積.中國(guó)古代魏晉時(shí)期 (公元 3世紀(jì))劉徽獨(dú)立于西方創(chuàng)立了割圓術(shù)計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積、圓周率等 .隨后南北朝時(shí)期 (公元 5世紀(jì))祖沖之發(fā)展了割圓術(shù),成功地提高了圓周率的精度.割圓術(shù)的思想其實(shí)就是現(xiàn)代分析中的無限分割.17世紀(jì) Newton(牛頓 )計(jì)算積分的流數(shù)法和 Leibniz(萊布尼茨 )的《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》一書宣告微積分的正式誕生 . 18世紀(jì) ,微積分發(fā)展迅速，大部分積分計(jì)算方法都是這一時(shí)期給出的，其中對(duì)分析學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)巨大的數(shù)學(xué)家有 Euler(歐拉 )、Bernoulli(伯努利 )兄弟、 Taylor(泰勒)、Lagrange(拉格朗日 )、Legendre(勒讓德 )等.需要特別指出的是 , 18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個(gè)歷史性轉(zhuǎn)折是函數(shù)被放到了核心位置 ,此前數(shù)學(xué)家是以曲線作為主要研究對(duì)象的. Euler在他的《無限小分析引論》中明確宣布：數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué) .需要說明的是, Newton和 Leibniz的微積分關(guān)于無限小概念的使用比較隨意,容易引起混亂 ,當(dāng)時(shí)引起不少人的質(zhì)疑 .因此數(shù)學(xué)家們意識(shí)到分析需要嚴(yán)格化來消除這些混亂和隨意性 .分析的嚴(yán)格化工作的杰出人物有 dAlambert(達(dá)朗貝爾 )、Euler、Lagrange等人 ,其中 Euler和 Lagrange引入了形式化的觀點(diǎn),而 dAlambert則引入了極限的觀點(diǎn) .到了 19世紀(jì)初 ,分析的嚴(yán)格化已經(jīng)卓有成效 ,其中最重要的代表人物是 Cauchy(柯西 ),他給出了微積分基本定理的現(xiàn)代形式和級(jí)數(shù)的收斂性的定義等一系列重要工作 . 19世紀(jì)中期 ,為了彌補(bǔ) Cauchy等人采用的 無限地趨近 這種說法不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟蛔?, Weierstrass(魏爾斯特拉斯 )引入了現(xiàn)在分析中采用的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?ε-語言 ,重新定義了極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等分析中的主要概念 ,使得分析達(dá)到了非常嚴(yán)密的程度 ,因此 Weierstrass被稱為現(xiàn)代分析之父.在分析的嚴(yán)格化過程中 ,數(shù)學(xué)家們遇到了極大的困難 .一些基本概念如極限、實(shí)數(shù)、級(jí)數(shù)等的研究涉及無窮多個(gè)元素構(gòu)成的集合 ,比如不連續(xù)函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)和不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的集合 .為了克服這些困難 , Dirichlet(狄利克雷)、Riemann(黎曼 )等人作了不少工作 .而 Cantor(康托爾 )則走得更遠(yuǎn) ,他在這一研究過程中系統(tǒng)發(fā)展了點(diǎn)集理論 ,開拓了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域 集合論.集合論已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).19世紀(jì)末 20世紀(jì)初，分析已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富 ,體系也相對(duì)比較完整 .然而 ,在很多地方分析學(xué)還存在較大的局限性和不完美之處.比如： (1)一個(gè)函數(shù) Riemann可積的充要條件是什么 ?能否給出類似于連續(xù)性的 Riemann可積的充要條件 ? (2)極限與積分次序交換問題 .如果函數(shù)列不一致收斂,是否函數(shù)列的極限和積分次序一定不可交換? (3)微積分基本定理在被積函數(shù)不連續(xù)時(shí)是否成立？針對(duì)上述問題 ,在集合論的基礎(chǔ)上 Lebesgue發(fā)展了一套完整的積分理論 Lebesgue積分.和 Riemann積分相比 , Lebesgue積分具有更好的分析性質(zhì) .比如 ,可積函數(shù)類更廣 ; Lebesgue積分和極限可以交換次序的條件很弱 ;微積分基本定理成立的條件不僅限于連續(xù)函數(shù).此外,利用 Lebesgue積分可以給出函數(shù) Riemann可積的充要條件 . Lebesgue積分理論已成為許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ) ,如公理概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)、分形幾何等；也被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等應(yīng)用學(xué)科當(dāng)中.本書介紹的實(shí)變函數(shù)論歷來對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)來說是一門較難的課程 .作者近年來一直從事實(shí)變函數(shù)論課程的教學(xué)工作 .這本《實(shí)變函數(shù)論》教材以授課講義為基礎(chǔ),結(jié)合國(guó)際上最新的《實(shí)分析》教材內(nèi)容而形成 .本書首先對(duì)學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論需要的集合論和拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)知識(shí)作了系統(tǒng)介紹.作者在教學(xué)過程中深感初學(xué)者學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論的第一個(gè)難點(diǎn)就是對(duì)無限概念的理解 ,因此在集合論部分對(duì)相關(guān)的無限集知識(shí) ,如集合的基數(shù)、選擇公理、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等作了較詳細(xì)的介紹 .為了便于和拓?fù)鋵W(xué)課程銜接 ,教材中拓?fù)鋵W(xué)部分的內(nèi)容是采用拓?fù)鋵W(xué)課程的體系進(jìn)行講授 .例如在測(cè)度的講述當(dāng)中本書盡量采用拓?fù)鋵W(xué)的方式 ,結(jié)合 Solovay(索洛韋 )關(guān)于不可測(cè)集存在性的結(jié)論對(duì) Lebesgue測(cè)度與積分的非構(gòu)造性特征作了系統(tǒng)介紹 ,力圖讓讀者理解 Lebesgue測(cè)度之所以抽象的根本原因 ,這也是實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)的第二個(gè)難點(diǎn) .度過了上述兩個(gè)難點(diǎn)后相信讀者學(xué)習(xí)后續(xù)部分內(nèi)容就不會(huì)有太大困難 .在測(cè)度論部分對(duì)集合可測(cè)性的不同定義方式作了系統(tǒng)介紹 ,從而方便讀者閱讀參考書 .本書對(duì)積分的講述采用和數(shù)學(xué)分析類似的處理方式 ,即先系統(tǒng)講述有界集上的有界函數(shù)積分再過渡到一般函數(shù)積分 ,這樣做的目的是便于讀者和數(shù)學(xué)分析課程進(jìn)行比較.微分部分的講述采用的是較為簡(jiǎn)潔的極大函數(shù)方法.本書所有內(nèi)容主要講述低維情形 ,如測(cè)度部分主要是講一維情形 .只要把低維情形學(xué)習(xí)好了 ,再推廣到高維不應(yīng)有太大困難 .本書對(duì)相關(guān)知識(shí)的發(fā)展歷史作了適當(dāng)介紹 ,我們相信相關(guān)知識(shí)歷史背景的了解對(duì)學(xué)好實(shí)變函數(shù)論是必不可少的,至少可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的目的性,了解前人當(dāng)時(shí)是怎么思考的.本書篇幅雖然簡(jiǎn)短 ,但自成一體 .尤其是學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論所需要的集合論和拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)的介紹比較完備 .限于篇幅 ,我們只講述實(shí)變函數(shù)論最基本的理論框架,許多深入的內(nèi)容,如 Lp空間、 Fourier(傅里葉)分析等完全未涉及.本書引用了書后參考文獻(xiàn)中的相關(guān)內(nèi)容和習(xí)題 ;編寫過程中函數(shù)論專家、浙江理工大學(xué)周頌平教授給出了不少建設(shè)性建議 ,他細(xì)致審閱了本書全文并作序;本書出版得到浙江理工大學(xué)教材建設(shè)項(xiàng)目和浙江省一流數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助 .在此一并表示感謝 .本書以講義形式在浙江理工大學(xué)實(shí)變函數(shù)論課程中多次講述 ,因此同時(shí)感謝幾屆學(xué)生提出的寶貴意見 .最后特別感謝清華大學(xué)出版社為本書出版所付出的努力.編者2016年 12月于浙江理工大學(xué)