H. L. Royden的《實分析》前三版已幫助了幾代學習數學分析的學生. 第4版保持了前一版的目標與總體結構為現代分析人員提供他們需要知道的測度論、積分論以及泛函分析的知識.
本書分為三部分：第一部分討論一元實變量函數的Lebesgue測度與Lebesgue積分；第二部分討論抽象空間拓撲空間、度量空間、Banach空間以及Hilbert空間；第三部分討論一般測度空間上的積分，以及拓撲、代數或動力結構下豐富的一般理論.
第二部分和第三部分的內容原則上不依賴于第一部分. 然而，第一部分在學生熟悉的背景下提出了新概念，這為第二部分和第三部分建立更為抽象的概念奠定了基礎. 此外，在第一部分創(chuàng)立的Banach空間Lp空間，是最為重要的Banach空間類之一. 建立Lp空間的完備性以及它們的對偶空間的主要理由是在這些空間上的泛函與算子的研究中能夠運用泛函分析的標準工具. 第二部分的目標是創(chuàng)建這些工具.
第4版的主要更新
●與前一版相比本版新增了50%的習題.
●證明了一些基本的結果，包括Egoroff定理和Urysohn引理.
●與若干其他概念一起正式給出了Borel-Cantelli引理、Chebychev不等式、快速Cauchy序列，以及測度與積分所共有的連續(xù)性質.
本書的每一部分都有一些值得留意的變動：
　　第一部分
●給出了一致可積性的概念和Vitali收斂定理，它們是關于Lebesgue積分計算的基本定理證明的最重要部分.
●Lp（E）（1p）空間中快速Cauchy序列的性質的精確分析現在是這些空間的完備性證明的基礎.
●詳細討論了Lp（E）（1p）空間中的弱序列緊性，它被用于證明連續(xù)凸泛函的最小值點的存在性.
　　第二部分
●度量和拓撲空間的一般結構性質分為兩個簡短的章，在這兩章中主要定理得到了證明.
●對于Banach空間的處理，除了討論有界線性算子的基本結果之外，還詳細討論了由Banach空間和它的對偶空間之間的對偶性誘導的弱拓撲的緊性.
●新增一章討論Hilbert空間上的算子，其中弱序列緊性是證明關于緊對稱算子的特征向量上的Hilbert-Schmidt定理以及刻畫由Riesz和Schuader給出的作用在Hilbert空間的指標為零的線性Fredholm算子的基礎.
　　第三部分
●建立了一般的測度與積分理論，包括完備性和Lp（X, ）（1p）空間的對偶空間的表示，探討了這些空間的弱序列緊性，包括刻畫L1（X, ）空間中的弱序列緊性的Dunford-Pettis定理的證明.
●對于緊Hausdorff空間X，為刻畫C（X）的對偶討論了拓撲與測度之間的關系. 通過緊性論據，這導致了關于緊群上唯一不變測度的存在性的von Neumann定理的證明，以及關于緊Hausdorff空間上的映射是遍歷的概率測度的存在性的證明.
測度與積分的一般理論誕生于20世紀初. 它現在是概率論、偏微分方程、泛函分析、調和分析以及動力系統(tǒng)等備受關注的若干數學領域不可或缺的要素. 事實上，它已成為一個統(tǒng)一的概念. 許多不同的題材能夠一致地用該理論處理積分與泛函分析之間的關系，特別是積分與弱收斂性之間的伴隨關系，在這里得到強化：這在如非線性偏微分方程的分析中是重要的（見L. C. Evans的書《Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations》[AMS, 1990]）.
參考文獻中列出了一些書，這些書在正文中沒有被具體引用，但應作為補充材料和不同觀點供查詢. 特別是，列出了兩本關于數學分析的有趣歷史的書.
課程建議：第一學期
在第1章，建立了第一部分需要的所有實直線的初等分析與拓撲的背景知識. 這個初始章可作為便利的參考內容. 核心內容包括第2～4章、6.1～6.5節(jié)、第7章以及8.1節(jié). 此外，以下內容可根據需要選擇： 8.2～8.4節(jié)對繼續(xù)研究賦范線性空間的對偶性與緊性的學生是有意義的；而 5.3節(jié)包含經典分析的兩個瑰寶Lebesgue可積性的刻畫與關于有界函數的Riemann可積性的刻畫.
課程建議：第二學期
第二學期的課程應基于第三部分. 初始的核心材料包括17.1節(jié)、18.1~18.4節(jié)以及19.1～19.3節(jié). 第17章的其余節(jié)可在開始或后面需要時講解：17.3~17.5節(jié)在第20章之前講授，17.2節(jié)在第21章之前講授. 繼而可講授第20章. 這些都不依賴于第二部分. 幾個備選題材需要涉及第二部分的內容.
●建議1：證明Baire范疇定理及其關于連續(xù)函數序列的逐點極限的偏連續(xù)性的推論（第10章的定理7），從Riesz-Fischer定理推出Nikodym度量空間是完備的（第18章的定理23），證明Vitali-Hahn-Saks定理并接著證明Dunford-Pettis定理.
●建議2：涵蓋關于測度與拓撲的第21章（略去20.5節(jié)），假設拓撲空間是可度量化的，因此20.1節(jié)可被略去.
●建議3：證明無窮維賦范線性空間的閉單位球關于由范數誘導的拓撲是非緊的Riesz定理，以此作為得到關于弱拓撲的序列緊性的動機. 接著，若Lq（X, ）是可分的，用Helley定理得到Lp（X, ）（1課程建議：第三學期
針對已經上過前兩學期課程的學生，我把附帶一些補充材料的第二部分用于泛函分析課程.當然這些材料需要裁剪，以與第二學期所選取的材料很好地銜接. 關于Hilbert空間上的有界線性算子的第16章可在關于Banach空間上的有界線性算子的第13章之后講授，因為關于弱序列緊性的結果從Hilbert空間的每個閉子空間的正交補的存在性可直接得到. 第二部分應與第三部分的備選題材穿插講授，以提供抽象空間理論在積分上的應用. 例如，用第19章的材料可在一般的Lp（X, ）空間考慮自反性與弱緊性. 上面關于第二學期課程的建議1可用于第三學期而非第二學期，以給出Baire范疇定理的真正震撼的應用. 第21章中C（X）的對偶的表示（其中X是緊Hausdorff空間），提供了Helly、Alaoglu與Krein-Milman的定理適用的另一族空間帶號Radon測度的空間. 通過涵蓋關于不變測度的第22章，學生將會接觸到一些應用：用Alaoglu定理與Krein-Milman定理證明緊群上的Haar測度的存在性，使得映射是遍歷的測度的存在性（第22章的定理14），以及用Helly定理證明不變測度的存在性（Bogoliubov-Krilov定理）.
歡迎讀者通過pmf@math.umd.edu提供評論. 勘誤與評注的清單將放在www.math.umd.edu/~pmf/RealAnalysis上.
致謝
很高興地表達我對教師、同行和學生的感謝. 我誠摯感謝Diogo Arsénio，他讀了完整手稿的倒數第二遍草稿，他的觀察和建議改進了草稿. 在馬里蘭大學，我針對多個分析課程寫了講義. 這些講義已融入當前版本. 我的分析課程的一些研究生徹底檢查了該版本的部分手稿，他們的評論與建議非常有價值，他們是：Avner Halevy，J. J. Lee， Kevin McGoff，Himanshu Tiagi. 我特別感謝Brendan Berg，他創(chuàng)建了索引，校對了最后的手稿，友善地改進了我的tex技巧. 我從與許多朋友和同事的交談中獲益良多，他們是：Diogo Arsénio，Stu Antman，Michael Boyle， Michael Brin， Craig Evans，Manos Grillakis，Richard Hevener，Brian Hunt，Jacobo Pejsachowicz，Michael Renardy，Eric Slud, Robert Warner, JimYorke.
對于第4版的第三次印刷，我改正了前兩次印刷的錯誤，這些錯誤是許多友善的讀者，特別是我在馬里蘭大學的研究生指出來的. 我感謝Jose Renato Ramos Barbosa教授，他為我提供了幾頁勘誤表. 特別的感謝給Richard Hevener，他嚴謹地找尋本書的錯誤，提供了許多關于表達的極好建議，并且仔細地排出了一個張貼在網站上的勘誤清單. 我感謝Sam Punshon-Smith，他在解決幾個令人煩惱和困難的手稿制作問題上提供了很好的幫助.
我誠摯感謝出版社與評審人員：J. Thomas Beale， 杜克大學；Richard Carmichael，維克森林大學；Michael Goldberg，約翰霍普金斯大學；Paul Joyce,愛達荷大學；Dmitry Kaliuzhnyi-Verbovetskyi，德萊克斯大學; Giovanni Leoni, 卡內基梅隆大學； Bruce Mericle,曼卡多州立大學; Stephen Robinson, 維克森林大學；Martin Schechter，加州大學歐文分校； James Stephen White,杰克遜維爾州立大學；ShanshuangYang, 埃默里大學.

Patrick M. Fitzpatrick
馬里蘭大學帕克分校
2014年4月