Tabledesmatières
Chapitre 1Séries numériques 1
1.1 Généralitéssurlesséries:rappels 2
1.1.1 Définitionsetvocabulairedesséries 2
1.1.2 Convergence, divergence, divergence grossière et convergence absolue 3
1.1.3 Opérationssurlessériesconvergentes 5
1.2 Sériesàtermespositifs 6
1.2.1 Rappelsdedeuxièmeannée 6
1.2.1.a Convergence,divergenceetcomparaisondestermesgénéraux 6
1.2.1.b Comparaisonsérie/intégrale 9
1.2.1.c Sériespositivesderéférence 13
1.2.1.d CritèredeD’Alembert 14
1.2.2 Comparaisons des restes ou des sommes partielles 15
1.2.3 FormuledeStirling 20
1.2.4 Produit de Cauchy de deux séries à termes positifs 22
1.2.5 Développement décimal d’un nombre réel 25
1.3 Sériesréelles 29
1.3.1 Rappels 29
1.3.1.a Séries absolument convergentes et semi-convergentes 29
1.3.1.b Critère spécial pour les séries alternées 29
1.3.2 Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes 31
1.4 Sériescomplexes 33
1.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes 33
1.4.2 Séries géométriques et exponentielles 34
1.4.3 Transformation d’Abel et applications 35
1.4.4 Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes 37
1.4.5 Sommation des relations de comparaison 38
1.5 Rappels sur les familles sommables et le théorème de Fubini 40
1.5.1 Familles sommables de nombres réels positifs 40
1.5.2 Sériesdoublesàtermespositifs 42
1.5.3 Familles sommables de nombres complexes 43
1.5.4 Sériesdoublescomplexes 44
Chapitre 2Rappels et compléments d’algèbre 46
2.1 Algèbrelinéaire 47
2.1.1 Familleslibres 47
2.1.2 Famillesgénératrices 51
2.1.3 Bases 52
2.1.4 Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base 56
2.1.5 Rappels sur les propriétés de la dimension 57
2.1.6 Somme de sous-espaces vectoriels et sommes directes 59
2.1.7 Théorèmedurang 68
2.1.8 Matrice d’une application linéaire et calcul matriciel par blocs 69
2.1.9 Dualité 77
2.1.9.a Généralités et lien avec les hyperplans 77
2.1.9.b Crochet de dualité et orthogonalité 80
2.1.9.c Basesdualesetanteduales 84
2.2 Groupesymétrique 90
2.2.1 Définition du groupe symétrique, d’un cycle et d’une transposition 90
2.2.2 Générateursdugroupesymétrique 93
2.2.3 Signatured’unepermutation 94
2.3 Déterminants 97
2.3.1 Formes n-linéaires, symétriques, antisymétriques et alternées 97
2.3.2 Déterminant dans une base B 100
2.3.3 Caractérisation des bases par le déterminant 102
2.3.4 Déterminantd’unendomorphisme 104
2.3.5 Déterminantd’unematricecarrée 106
2.3.6 Calcul pratique du déterminant d’une matrice 110
Chapitre 3Espaces vectoriels normés 115
3.1 Norme sur un espace vectoriel et distance associée 116
3.1.1 Définition d’une norme et de la distance associée 116
3.1.2 Propriétés d’une norme et distance à une partie 118
3.1.3 Normesusuelles 119
3.1.4 Comparaisondesnormes 123
3.2 Topologie élémentaire d’un espace vectoriel normé 128
3.2.1 Partiesouvertes,fermées,bornées 128
3.2.2 Adhérenceetintérieur 135
3.2.3 Partiesdenses 137
3.3 Suitesàvaleursdansunespacevectorielnormé 138
3.3.1 Convergenceetdivergence 138
3.3.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes 139
3.3.3 Relationsdecomparaisons 140
3.3.4 Caractérisations séquentielles de l’adhérence et des parties denses 142
3.3.5 Suites extraites, valeurs d’adhérences et parties compactes 144
3.3.6 SuitesdeCauchyetespacecomplet 149
3.4 Limiteetcontinuitéenunpoint 153
3.4.1 Définitionsetpremièrespropriétés 153
3.4.2 Opérationssurleslimites 156
3.4.3 Caractérisations séquentielles de la limite et de la continuité 158
3.4.4 Cas des fonctions à valeurs dans un produit cartésien d’espaces vectorielsnormés 159
3.4.5 CritèredeCauchy 164
3.5 Continuitéglobale 165
3.5.1 Définitionetpremièrespropriétés 165
3.5.2 Caractérisationdelacontinuitéparlesimagesréciproquesd’ouverts (oudefermés) 166
3.5.3 Espace B(X;F ) etnormeinfinie 169
3.5.4 Imagecontinued’uncompact 171
3.5.5 Continuité uniforme et théorème de Heine 172
3.5.6 Applications lipschitziennes et théorème du point fixe 174
3.6 Continuitédesapplicationslinéaires 177
3.6.1 Critèresdecontinuité 177
3.6.2 Norme triple d’une application linéaire 180
3.6.3 Extension aux cas des applications n-linéaires 184
3.7 Casdesespacesvectorielsdedimensionfinie 187
3.7.1 équivalencesdesnormes 187
3.7.2 Compacité de la boule unité fermée et caractérisation des parties compactes 189
3.7.3 Complétude 191
3.7.4 Cas des applications linéaires et multilinéaires 191
3.8 Sériesdansunealgèbrenormée 193
3.8.1 Généralités 193
3.8.2 SériesàvaleursdansunespacedeBanach 195
3.8.3 Cas d’une algèbre normée et exponentielle de matrice 196
Chapitre 4Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles 199
4.1 Dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeursvectorielles 200
4.1.1 Définitionetpremièrespropriétés 200
4.1.2 Caractérisation par les fonctions coordonnées 205
4.1.3 Opérations sur les fonctions dérivables 206
4.1.4 Inégalitédesaccroissementsfinis 209
4.1.5 Dérivéesd’ordressupérieurs 211
4.1.6 Fonctions de classe Cn parmorceaux 216
4.2 Casdesfonctionsàvaleursréelles 218
4.2.1 Rappels des principaux théorèmes de deuxième année 218
4.2.2 Homéomorphisme et Ck-difféomorphisme 220
4.3 Développements limités et formules de Taylor 222
4.3.1 Relations de comparaison pour les fonctions à valeurs vectorielles 222
4.3.2 FormuledeTayloravecresteintégral 223
4.3.3 InégalitédeTaylor-Lagrange 223
4.3.4 FormuledeTaylor-Young 225
4.3.5 Développementslimités 226
4.4 Annexe 228
4.4.1 Démonstration de l’inégalité des accroissements finis 228
Chapitre 5Suites et séries de fonctions 231
5.1 Définitionsetmodesdeconvergence 232
5.1.1 Convergencesimple 232
5.1.2 Convergence uniforme et critère de Cauchy uniforme 235
5.1.3 Convergence normale d’une série de fonctions 242
5.1.4 Comparaisons des différents modes de convergence 244
5.1.5 Autresmodesdeconvergence 245
5.2 Propriétés de la limite d’une suite/série de fonctions 247
5.2.1 Théorèmedeladoublelimite 247
5.2.2 Continuitédelalimite 251
5.2.3 Intégration sur un segment d’une suite de fonctions 256
5.2.4 Dérivation d’une suite ou d’une série de fonctions 259
5.2.5 Intégration d’une suite de fonctions sur un intervalle quelconque 268
5.2.5.a Cas des fonctions à valeurs positives 268
5.2.5.b Cas des fonctions à valeurs réelles ou complexes 271
5.3 Théorèmesd’approximationsurunsegment 276
5.3.1 Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segmentparunefonctionenescalier 276
5.3.2 Approximation d’une fonction continue sur un segment par une fonctionpolynomiale 276
5.3.3 Approximationd’unefonctionpériodiqueparunpolyn.metrigonométrique277
Chapitre6Réductiondesendomorphismesetdesmatricesetapplication
aux équations différentielles linéaires 278
6.1 Espaces stables, valeurs propres et vecteurs propres 279
6.1.1 Sous-espacesstables 279
6.1.2 Valeurs propres, vecteurs propres , espaces propres et spectre 280
6.1.3 Propriétésdesespacespropres 282
6.2 Endomorphismes et matrices diagonalisables 285
6.2.1 Endomorphisme diagonalisable : définition et exemples 285
6.2.2 Matricesdiagonalisables 287
6.2.3 Polyn.mecaractéristique 288
6.2.4 Premiers critères de diagonalisabilité 293
6.2.5 Exemplesetcontre-exemples 294
6.2.6 Réductionsimultanée 297
6.3 Applicationauxsystèmesdifférentiels 299
6.3.1 équations différentielles linéaires et théorème de Cauchy Lipschitz linéaire 299
6.3.2 Cas particulier des équations différentielles linéaires à coefficients constants 301
6.3.3 Exemples de résolution de systèmes différentiels et d’équations différentielleslinéaires 303
6.4 Polyn.mes d’endomorphismes ou de matrices 304
6.4.1 Définitionsetrèglesdecalcul 304
6.4.2 Polyn.mes annulateurs et théorème de Cayley-Hamilton 306
6.4.3 Secondcritèredediagonalisabilité 309
6.5 Trigonalisation 311
6.5.1 Définitionetexemples 311
6.5.2 Condition nécessaire et suffisante de trigonalisabilité 312
6.5.3 Trigonalisation des matrices carrées de taille 3 314
6.5.4 Trigonalisationsimultanée 316
6.5.5 Application au calcul de puissances ou d’exponentielles de matrices 317
6.5.6 Exemples de résolution d’un système différentiel X=AX+B lorsque A esttrigonalisable 318
6.6 Annexe 319
6.6.1 Démonstration des propriétés du polyn.me caractéristique 319
6.6.2 Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton 320
Chapitre 7Introduction au calcul différentiel et aux formes différentielles 323
7.1 Limite et continuité des fonctions de plusieurs variables 324
7.1.1 Parties ouvertes, fermées, bornées, compactes, complètes, convexes, étoilées 324
7.1.2 Limiteetcontinuité 326
7.1.3 Fonctions coordonnées et applications partielles 328
7.2 Dérivées partielles, différentielle et fonction de classe C1 330
7.2.1 Dérivéesuivantunvecteur 330
7.2.2 Dérivéespartiellespremières 331
7.2.3 Lien avec les applications coordonnées 333
7.2.4 Différentielle d’une application en un point et matrice jacobienne 334
7.2.5 Lien entre différentiabilité, continuité et existence d’une dérivée suivantunvecteur 337
7.2.6 Différentielle d’une fonction et fonctions de classe C1 340
7.3 Opérations sur les fonctions de classe C1 342
7.3.1 Structure de R-espacevectoriel 342
7.3.2 Cas particulier des fonctions à valeurs réelles 343
7.3.3 Composition 344
7.3.4 Caractérisation des applications de classe C1 349
7.3.5 Inégalités des accroissements finis et applications 350
7.4 Dérivéespartiellesd’ordresupérieur 352
7.4.1 Dérivéespartiellessecondes 352
7.4.2 Fonctions de classe C2 etthéorèmedeSchwarz 353
7.4.3 Matrice hessienne et développements limités d’ordre 2 354
7.4.4 Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles 356
7.4.4.a équation de transport à vitesse constante 356
7.4.4.b équation des ondes unidimensionnelle 357
7.4.5 Fonctions de classe Ck avec k ≥2 358
7.4.6 Caractérisation des Ck-difféomorphismes 359
7.5 Optimisation 360
7.5.1 Caractérisation des extrema locaux intérieurs 360
7.5.2 Notation de Monge et conditions suffisantes d’existence d’un maximumouminimumlocal 361
7.6 Formes différentielles de degré 1 363
7.6.1 Définitionetexemples 363
7.6.2 Formes fermées, exactes et théorème de Poincaré 364
7.6.3 Intégrale curviligne d’une forme différentielle 366
7.6.4 Lien avec la circulation d’un champ de vecteurs 367
7.6.5 Propriétésdel’intégralecurviligne 370
7.6.6 FormuledeGreenRiemann(oudeStokes) 372
7.7 Annexe 373
7.7.1 Démonstration du théorème de caractérisation des applications de classe C1 373
7.7.2 Démonstration du théorème de Schwarz 376
7.7.3 Démonstration de la formule de Taylor-Young 377