目 錄


第1章 復數(shù)及復變函數(shù)
§1.1 復數(shù)及其幾何表示
1.1.1 復數(shù)
1.1.2 復數(shù)的代數(shù)運算
§1.2 復平面
1.2.1 復數(shù)的模
1.2.2 共軛復數(shù)
§1.3 復數(shù)的無序性
§1.4 復數(shù)的輻角和它的極坐標表示
1.4.1 乘積與商
1.4.2 冪與方根
§1.5 集合的復數(shù)表示
§1.6 復變函數(shù)及映射
1.6.1 復變函數(shù)
1.6.2 映射
§1.7 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性
1.7.1 函數(shù)的極限
1.7.2 函數(shù)的連續(xù)性
§1.8 復變函數(shù)的導數(shù)與微分
1.8.1 導數(shù)的定義
1.8.2 微分的定義
1.8.3 可導的必要條件
§1.9 柯西-黎曼條件的應用
1.9.1 可導的充分條件
1.9.2 求導法則
§1.10 解析函數(shù)
1.10.1 函數(shù)解析的充要條件
1.10.2 函數(shù)解析與可導、連續(xù)、極限的關系
§1.11 初等解析函數(shù)
1.11.1 指數(shù)函數(shù)
1.11.2 對數(shù)函數(shù)
1.11.3 對數(shù)函數(shù)的解析性
1.11.4 乘冪ab與冪函數(shù)
1.11.5 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)
1.11.6 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)
§1.12 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系
1.12.1 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)
1.12.2 解析函數(shù)的構建方法
習題1
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第2章 復變函數(shù)的積分
§2.1 復變函數(shù)積分
2.1.1 有向曲線的定義
2.1.2 復變函數(shù)積分的定義
2.1.3 積分存在的條件及計算法
2.1.4 積分的性質(zhì)
§2.2 原函數(shù)與不定積分
§2.3 柯西積分公式
§2.4 解析函數(shù)的高階導數(shù)
習題2
第3章 級數(shù)
§3.1 復數(shù)項級數(shù)
§3.2 級數(shù)
§3.3 復變函數(shù)項級數(shù)
3.3.1 一致收斂
3.3.2 一致收斂判別法
§3.4 冪級數(shù)
3.4.1 冪級數(shù)收斂和發(fā)散的判別方法
3.4.2 收斂圓和收斂半徑
3.4.3 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)
§3.5 泰勒級數(shù)
§3.6 洛朗級數(shù)
習題3
第4章 留數(shù)
§4.1 孤立奇點
4.1.1 可去奇點
4.1.2 極點
4.1.3 本性奇點
4.1.4 函數(shù)的零點與極點的關系
4.1.5 函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)和狀態(tài)
§4.2 留數(shù)
4.2.1 留數(shù)的定義及留數(shù)定理
4.2.2 留數(shù)的計算規(guī)則
4.2.3 無窮遠點的留數(shù)
§4.3 留數(shù)在定積分計算上的應用
4.3.1 第一類型積分：∫2π0R（cosθ， sinθ）dθ
4.3.2 第二類型積分:∫∞-∞P（x）/Q（x）dx
4.3.3 第三類型積分:∫∞-∞P（x）Q（x）cos（ax）dx（a>0）
和∫∞-∞P（x）Q（x）sin（ax）dx（a>0）
4.3.4 第四類積分:實軸上有奇點的積分計算或鋸齒輪廓的
積分
4.3.5 第五類積分:∫∞0xαP（x）Q（x）dx（0<α<1）
習題4
第5章 傅立葉分析
§5.1 傅立葉級數(shù)
§5.2 周期為任意值的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)
5.2.1 任意周期的傅立葉級數(shù)
5.2.2 偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)
§5.3 傅立葉積分
5.3.1 傅立葉積分的性質(zhì)
5.3.2 泊松積分公式
5.3.3 菲涅耳積分公式
5.3.4 復數(shù)形式的傅立葉積分
§5.4 傅立葉變換
5.4.1 線性性質(zhì)
5.4.2 導數(shù)的傅立葉余弦和正弦變換性質(zhì)
5.4.3 傅立葉變換
5.4.4 傅立葉變換性質(zhì)
5.4.5 卷積
習題5
第6章 微分方程
§6.1 可分離變量的微分方程
§6.2 一階線性微分方程
§6.3 全微分方程
6.3.1 全微分方程
6.3.2 可變換為全微分方程的方程
§6.4 齊次微分方程
6.4.1 伯努利方程
6.4.2 黎卡提方程
§6.5 二階線性微分方程
§6.6 常系數(shù)齊次二階線性微分方程
§6.7 常系數(shù)非齊次二階線性微分方程
6.7.1 參數(shù)變分法
6.7.2 待定系數(shù)法
6.7.3 疊加原理
§6.8 電子電路建模
§6.9 歐拉微分方程
習題6
第7章 拉普拉斯變換
§7.1 拉普拉斯變換的定義
§7.2 拉普拉斯變換的線性性質(zhì)
7.2.1 函數(shù)一階導數(shù)的拉普拉斯變換
7.2.2 函數(shù)二階導數(shù)的拉普拉斯變換
7.2.3 第一移位定理（s-移位定理）
7.2.4 單位階躍函數(shù)和脈沖函數(shù)
7.2.5 第二移位定理（t-移位定理）
§7.3 函數(shù)積分的拉普拉斯變換
7.3.1 拉普拉斯變換的一階導數(shù)
7.3.2 拉普拉斯變換的高階導數(shù)
7.3.3 拉普拉斯變換的積分定理
§7.4 拉普拉斯逆變換和卷積
7.4.1 拉普拉斯逆變換
7.4.2 卷積
§7.5 沖擊函數(shù)（δ函數(shù)）
7.5.1 δ函數(shù)
7.5.2 δ函數(shù)的濾波特性
習題7
第8章 微分方程的級數(shù)解及特征函數(shù)
§8.1 冪級數(shù)法
8.1.1 微分法
8.1.2 遞歸法
§8.2 弗羅賓尼斯法
8.2.1 常點與奇點
8.2.2 正則奇點與非正則奇點
§8.3 特征函數(shù)及特征函數(shù)展開式
§8.4 勒讓德多項式
8.4.1 勒讓德多項式
8.4.2 勒讓德多項式的生成函數(shù)
8.4.3 勒讓德多項式的遞推關系
8.4.4 Pn（x）多項式中xn項的系數(shù)公式
8.4.5 勒讓德多項式的一般表達式
8.4.6 傅立葉-勒讓德級數(shù)
8.4.7 勒讓德多項式與次數(shù)低于它的多項式正交
8.4.8 勒讓德多項式的根
8.4.9 多項式Pn(x)的導數(shù)與積分公式
§8.5 貝塞爾函數(shù)
8.5.1 Γ函數(shù)
8.5.2 第一類貝塞爾函數(shù)
8.5.3 第二類貝塞爾函數(shù)
8.5.4 Jn（x）的生成函數(shù)
8.5.5 Jn（x）的積分公式
8.5.6 Jν（x）的遞推關系
8.5.7 Jν（x）函數(shù)的根
8.5.8 傅立葉-貝塞爾級數(shù)
習題8
第9章 偏微分方程
§9.1 波動方程的建立
§9.2 有限區(qū)間上波動方程的分離變量法（傅立葉級數(shù)解）
9.2.1 初始速度為零、初始位移不為零的定解問題
9.2.2 初始位移為零、初始速度不為零的定解問題
9.2.3 初始位移和初始速度都不為零的定解問題
9.2.4 常數(shù)c及初始條件對波動的影響
9.2.5 具有外力項的波動方程
§9.3 整個實軸波動方程的解法
9.3.1 初始速度為零、初始位移不為零時求解整個實軸
波動方程
9.3.2 初始位移為零、初始速度不為零時求解整個實軸
波動方程
9.3.3 整個實軸波動方程的傅立葉變換解法
§9.4 正半實軸波動方程的解法
9.4.1 傅立葉正弦或余弦變換求解正半實軸波動方程
9.4.2 拉普拉斯變換求解正半實軸的波動方程
§9.5 波動方程的達朗貝爾解法
9.5.1 波動方程的達朗貝爾解法
9.5.2 非齊次波動方程的達朗貝爾解法
習題9
第10章 熱傳導方程與拉普拉斯方程
§10.1 熱傳導方程
§10.2 熱傳導方程的解法
10.2.1 桿兩端溫度為零的熱傳導方程的分離變量（傅立葉級數(shù)）
法
10.2.2 桿兩端絕緣的熱傳導方程的分離變量（傅立葉級數(shù)）法
10.2.3 桿的一端向周圍環(huán)境介質(zhì)輻射熱的分離變量法
10.2.4 熱傳導方程初始邊值問題的變換
10.2.5 有熱源的熱傳導方程
10.2.6 常數(shù)κ及邊界條件對熱傳導的影響
10.2.7 無限介質(zhì)中的熱傳導方程
10.2.8 無限介質(zhì)中的熱傳導方程的傅立葉變換解法
10.2.9 正半實軸的熱傳導方程
10.2.10 正半實軸的熱傳導方程的傅立葉正弦變換解法
10.2.11 熱傳導方程的拉普拉斯變換解法
10.2.12 有界區(qū)間上熱傳導方程的拉普拉斯變換解法
10.2.13 半無界區(qū)間上熱傳導方程的拉普拉斯變換解法
§10.3 拉普拉斯方程
10.3.1 調(diào)和函數(shù)和狄利克雷問題
10.3.2 矩形區(qū)域的狄利克雷問題
10.3.3 圓盤區(qū)域的狄利克雷問題
10.3.4 無界區(qū)域的狄利克雷問題
10.3.5 上半平面的狄利克雷問題
10.3.6 右四分之一平面的狄利克雷問題
10.3.7 立方體的狄利克雷問題
10.3.8 實心球的穩(wěn)態(tài)熱傳導方程
習題10
附錄
附錄1 Maple軟件簡明用法
附錄2 各章習題答案與提示
參考文獻