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《現(xiàn)代分析入門》從五個(gè)不同的側(cè)面，介紹現(xiàn)代分析入門的基礎(chǔ)理論及其應(yīng)用，主要講述三類抽象空間(距離空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間)的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，有界線性算子與有界線性泛函的入門理論，凸分析初步，抽象分析初步，非線性分析初步等內(nèi)容. 《現(xiàn)代分析入門》可用“突出基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用; 關(guān)注背景，啟迪創(chuàng)新; 敘述簡潔，視野開闊”概括其特色.

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第1 章三類抽象空間的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)
精美絕倫的經(jīng)典分析奠基在歐幾里得空間這片古老沃土上，豐富多彩的現(xiàn)代分析卻需要與奇妙無比的抽象空間伴隨.數(shù)學(xué)家們建立抽象空間理論的內(nèi)在動(dòng)力來自兩個(gè)方面:其一是19世紀(jì)后期因更新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而引發(fā)的公理化浪潮所推動(dòng);其二是源自數(shù)學(xué)家們?cè)噲D將經(jīng)典分析結(jié)果拓展到函數(shù)空間中的數(shù)學(xué)探索需要.所謂抽象空間，就是在其元素間規(guī)定了某種關(guān)系的集合，而這種關(guān)系通常借助于一組數(shù)學(xué)公理來刻畫.本章僅介紹現(xiàn)代分析學(xué)中所涉及的三類最基本的抽象空間：距離空間、賦范線性空間與內(nèi)積空間.
1.1 距離空間的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)
1.1.1 距離空間的定義與例子
背景聚焦數(shù)學(xué)家們把日常生活中的距離概念的本質(zhì)屬性(距離三公理)抽象出來構(gòu)建抽象距離與距離空間的概念，他們引進(jìn)距離這種數(shù)學(xué)工具的目的，在于研究抽象空間的性質(zhì)，并用于解決實(shí)際問題.這方面的最初工作歸屬于法國數(shù)學(xué)家弗雷歇(Fr′echet，1878—1973)，他在1906年寫的博士論文中將當(dāng)時(shí)來自微分方程和積分方程中函數(shù)族的概念統(tǒng)一表述為函數(shù)空間，并引入距離與極限概念，為泛函分析這門學(xué)科的誕生作出了開創(chuàng)性工作.
1. 距離與收斂概念
定義1.1.1(距離空間)給定非空集合X.如果按照某一法則，對(duì)于X中的任意兩個(gè)元素x，y，都有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x，y)與之對(duì)應(yīng)，且滿足下述三條公理：
(1)d(x，y).0，而且d(x，y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(非負(fù)性);

(2)d(x，y)=d(y，x)(對(duì)稱性);

(3)d(x，y).d(x，z)+d(z，y)(三角不等式)，那么稱d是X上的距離函數(shù)，并稱d(x，y)為x與y之間的距離.配備了距離d的集合X稱為一個(gè)距離空間(也稱度量空間)，簡記作(X，d).在不至于引起混淆的情形下可寫作X(例如，常用的實(shí)數(shù)集R，二維實(shí)平面R2 等).給定距離空間(X，d)，如果對(duì)于X中的非空子集Y，仍以X上的距離作為Y
上的距離，那么Y也是距離空間，并稱它為X的子空間，簡記作(Y，d). (X，d).相關(guān)鏈接給定距離空間(X，d)，可派生出下述相關(guān)概念：
(i)給定x0∈ X，r>0，稱點(diǎn)集B(x0，r)={x ∈ X|d(x，x0)
(ii)給定X的非空子集A，B，稱d(A，B)=inf{d(x，y)|x ∈ A，y ∈ B} 為集合A和B之間的距離.特別地，當(dāng)A為單點(diǎn)集{a} 時(shí)，稱d({a}，B)為點(diǎn)a到集合B的距離，并簡記作d(a，B);徑; (iii)給定X的非空子集A，稱diam(A)=sup{d(x，y)|x，y ∈ A} 為集合A的直

(iv)給定X的非空子集A.如果存在X中的一個(gè)開球B(x0，r). A，則稱A
是X中的有界集(等價(jià)于diam(A)<+∞).定義1.1.2(收斂)設(shè)(X，d)是距離空間，{xn}. X， x0 ∈ X. 若
limd(xn，x0)=0，
n→∞
則稱點(diǎn)列{xn} 按距離d收斂于x0，記作limxn=x0或xnx0，并稱x0為點(diǎn)列{xn} 的極限. n→∞ → 相關(guān)鏈接由收斂定義及距離三角不等式不難證明下述命題成立：
(i) 距離空間中的收斂點(diǎn)列的極限必唯一;

(ii) 距離空間中的收斂點(diǎn)列必有界;

(iii)(四邊形不等式)給定距離空間(X，d)，則.x，y，x1，y1∈ X 有

|d(x，y). d(x1，y1)| .d(x，x1)+d(y，y1);
(iv)在距離空間(X，d)中，若xn→ x0，yn→ y0，則
d(xn，yn)d(x0，y0);
→
(v)在距離空間(X，d)中，若A是X的非空子集，則.x，x0 ∈ X 有
|d(x，A). d(x0，A)| .d(x，x0).
證僅證(ii)與(v)為例.設(shè)距離空間(X，d)中的點(diǎn)列xnx0，對(duì)ε=1，存在N，當(dāng)n>N時(shí)有d(xn，x0)<1，于是當(dāng)n.1時(shí)有→
d(xn，x0)= α，
··· 即{xn}. B(x0，α)，(ii)得證;由定義及三角不等式，對(duì).y ∈ A 有
d(x，A).d(x，y).d(x，x0)+d(x0，y)，

兩邊關(guān)于y 取下確界及下確界的性質(zhì)可得
d(x，A).d(x，x0)+d(x0，A)，
同理可得d(x0，A).d(x0，x)+d(x，A)，再由對(duì)稱性，(v)得證.
2. 幾個(gè)具體例子
例1.1.1(離散距離空間)設(shè)X是一個(gè)任意的非空集合，規(guī)定
.1，x=y，
d(x，y)=.0，x=y.
不難驗(yàn)證(X，d)是距離空間，且(X，d)中的收斂點(diǎn)列必是常點(diǎn)列(從某一項(xiàng)開始所
有的項(xiàng)都相同)，這個(gè)距離空間通常稱為離散距離空間或平凡距離空間.
點(diǎn)評(píng)光從表面上看，例1.1.1似乎沒有多少實(shí)際意義，例如，在實(shí)數(shù)集上定義離散距離之后成為一個(gè)平凡的距離空間，在該空間中，實(shí)數(shù)理論中的許多精美理論完全喪失了.然而，這個(gè)簡單的特例對(duì)研究距離空間的理論卻是很有用的.一方面它說明在任何集合上都可以定義距離使其成為距離空間(普適性);另一方面它在構(gòu)造數(shù)學(xué)反例時(shí)常起重要作用(特殊性).特別地，利用它可以說明歐幾里得空間的一些性質(zhì)在一般的距離空間中并非一定成立.當(dāng)然，我們更感興趣的是內(nèi)涵更為豐富的其他距離空間.
例1.1.2(n維歐氏空間)設(shè)Rn = {x=(ξ1，ξ2，，ξn)ξi∈ R， 1 . i . n}，我
們規(guī)定··· |
.n.1/22
d2(x，y)=.|ξi . ηi| ，
i=1
其中x=(ξ1，ξ2，，ξn)，y=(η1，η2，，ηn)∈ Rn . 利用柯西不等式
······
. n.2 . n n.
2
. aibi . . ai . bi 2
·
i=1i=1i=1
及定義1.1.1可推證d2是Rn 上的距離，通常稱(Rn，d2)為n維歐幾里得空間，并簡記為Rn .進(jìn)一步，在Rn 上按d2收斂等價(jià)于按坐標(biāo)收斂.
例1.1.3(連續(xù)函數(shù)空間)設(shè)C[a，b]={x|x:[a，b]→ R 連續(xù)}，規(guī)定
d(x，y)=max|x(t). y(t)|， .x，y ∈ C[a，b].
a.t.b
利用閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，不難證明d是C[a，b]上的距離，通常用C[a，b]表示距離空間(C[a，b]，d).進(jìn)一步，在C[a，b]中點(diǎn)列{xn} 按距離d收斂于x0等價(jià)于連續(xù)函數(shù)列{xn} 在[a，b]上一致收斂于連續(xù)函數(shù)x0.
例1.1.4(實(shí)數(shù)列空間s)設(shè)s={x|x = {ξi}，ξi ∈ R，i=1，2，···}，規(guī)定
∞1 ξi . ηi
d(x，y)=.||，
i=12i · 1+ |ξi . ηi|
其中x = {ξi}， y = {ηi}∈ s. 利用函數(shù)
x
.(x)=1+ x
在[0，+∞)上的單調(diào)性或者絕對(duì)值三角不等式可證d是s上的距離;利用級(jí)數(shù)∞1x
. 2i 的收斂性及.(x)=1+ x 在[0，+∞)上的單調(diào)性可證在s上點(diǎn)列按d收斂
i=1
等價(jià)于按數(shù)列的各個(gè)坐標(biāo)收斂.
例1.1.5(可測(cè)函數(shù)空間S)設(shè)S={x|x:[a，b]→ R是Lebesgue可測(cè)函數(shù)}，我們規(guī)定
d(x，y)=. [a，b]1+ |x(xt)(t.) . y(yt)(|t)dt，.x，y ∈ S. ||
利用函數(shù).(x)=1+ xx 在[0，+∞)上的單調(diào)性及Lebesgue積分的性質(zhì)可以證明d是S上的距離，而且S上的點(diǎn)列收斂等價(jià)于可測(cè)函數(shù)列依測(cè)度收斂.
1.1.2 距離空間中的點(diǎn)集構(gòu)造
本小節(jié)借助通常的幾何術(shù)語，對(duì)距離空間中點(diǎn)集的構(gòu)造給出形象化的描述，建立若干基本概念，這些概念對(duì)于學(xué)習(xí)與研究泛函分析都是隨時(shí)用到的基本知識(shí).此外，這些基本概念的幾何直觀是極為明顯的，因此值得我們充分加以利用，但又必須注意不能用直觀想象來代替邏輯論證.
定義1.1.3設(shè)(X，d)是距離空間，A. X， x0 ∈ A.
(i) 若.δ>0使得B(x0，δ). A，則稱x0是A的內(nèi)點(diǎn);集合A的內(nèi)點(diǎn)全體記作A0 ，稱其為集合A 的內(nèi)核;

(ii) 若.δ>0，都有B(x0，δ)∩ A =，則稱x0為A的接觸點(diǎn);集合A的接觸點(diǎn)全體記作Aˉ，稱其為A 的閉包;

(iii) 若.δ>0，都有B(x0，δ)∩ (A\{x0}) .=.，則稱x0為A的聚點(diǎn)(或極限點(diǎn));集合A的聚點(diǎn)全體記作A.，稱其為A 的導(dǎo)出集;

(iv) 若.δ>0，都有B(x0，δ)∩ A .=.且B(x0，δ)∩ AC .=.(其中AC 為A的補(bǔ)集)，則稱x0為A的邊界點(diǎn);集合A的邊界點(diǎn)全體記作.A，稱其為A的邊界;

(v) 若A ˉ= A，則稱A 為閉集; 若A = A0 ，則稱A為開集.相關(guān)鏈接由定義1.1.3不難證明下述命題成立：

(i)在任何距離空間(X，d)中，.與X既是開集又是閉集;

(ii)在離散距離空間(X，d)中，X的任何子集既是開集也是閉集;

(iii) 距離空間中的任何開球是開集，閉球是閉集;

(iv)距離空間(X，d)中的集合A是開集當(dāng)且僅當(dāng)AC 是閉集;

(v)在距離空間中，開集類關(guān)于有限交、任意并運(yùn)算封閉;閉集類關(guān)于有限并、任意交運(yùn)算封閉;
(vi)對(duì)于距離空間(X，d)中的任何集合A，都有A00 ˉ

= A0 ，A=A，A A.，
從而A0 是開集， A ˉ 與A. 都是閉集.
證僅證(vi)為例x ∈ A0 ， .δ>0使得B(x，δ). A. 任取y ∈ B(x，δ)，令δ. = δ . d(x，y)，則有B(y，δ.) . B(x，δ). A，因此y ∈ A0 ，從而有B(x，δ). A0 ，因此x ∈ A00 ，于是有A0 . A00; A00 . A0 顯然，故A00 = A0 .
下證A . A 任取x ∈ A，由定義.δ> 0，可取y ∈ B(x，δ)∩ (A\{x})，令ε = min{δ . d(x，y)，d(x，y)}，則有B(y，ε). B(x，δ)而且x/∈ B(y，ε)，由y∈ A. 可取z ∈ B(y，ε)∩ (A\{y})，此時(shí)必有z ∈ B(x，δ)∩ (A\{x})，于是有x ∈ A.，這樣證得A . A 同理可證A = Aˉ. 證畢.
命題1.1.1(聚點(diǎn)等價(jià)刻畫)設(shè)(X，d)是距離空間，A是X的非空子集，x0∈
X. 下列陳述相互等價(jià)：
(1) x0 ∈ A.;

(2) .δ>0，B(x0，δ)∩ A 無限集;

(3) 存在兩兩互異的點(diǎn)列{xn}. A使得xnx0.

→
證(1)(2)：若有B(x0，δ)∩ A = {x1，x2，，xn}，可設(shè)x0/，
.···∈{x1，x2， ···
xn}，令δ. = 1.i.n{d(xi，x0)}，則B(x0，δ.) ∩ (A\{xn})=.，這與x0∈ A.矛盾;
min
(2)(3)：令δn=1，歸納地，取xn∈ B(x0，δn)∩ (A\{x1，x2，，xn.1})，
.···
n=1，2，，則{xn} 兩兩互n異而且xnx0;
··· →
(3) .(1)：顯然.證畢.
命題1.1.2(接觸點(diǎn)等價(jià)刻畫)設(shè)(X，d)是距離空間，A是X的非空子集，x0∈ X. 下列陳述相互等價(jià)：
(1) x0 ∈ Aˉ; (2) x0 ∈ A ∪ A.;

(3) 存在點(diǎn)列{xn}. A，使得xnx0;(4)d(x0，A)=0.證明留作練習(xí).→
命題1.1.3(運(yùn)算相互表示)設(shè)A是距離空間(X，d)中的非空子集.下述運(yùn)

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