泛函分析是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重大進(jìn)展，它的產(chǎn)生與發(fā)展來自數(shù)學(xué)和物理兩方面的推動(dòng)，如位勢理論、積分方程、函數(shù)論、發(fā)散級(jí)數(shù)等。
　　19世紀(jì)末發(fā)展起來的積分方程理論引起了Hilbert的強(qiáng)烈興趣。1906年前后，Hilbert建立了積分方程所需要的無窮維空間結(jié)構(gòu)（包括內(nèi)積、正交基等）。他利用Fourier級(jí)數(shù)思想，把函數(shù)表示為序列，把積分方程看成無窮多方程的線性方程組，從而把線性代數(shù)有關(guān)理論推廣過來，為了紀(jì)念Hilbert的貢獻(xiàn)，后來人們把完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間，而Hilbert關(guān)于積分方程的工作也被不斷推廣。
　　Dieudonne指出：“如果要用幾個(gè)關(guān)鍵詞來概述泛函分析復(fù)雜的發(fā)展歷史，我認(rèn)為應(yīng)該是譜理論和對偶性這兩個(gè)概念，兩者都源于求解未知數(shù)函數(shù)的線性方程（或線性方程組）所遇到的具體問題�！弊V的概念的發(fā)展源于線性問題的適定性，因?yàn)闊o窮維空間中的線性問題的適定性與有限維有很大的不同，所以產(chǎn)生了譜的分類問題，對此，本書有較詳細(xì)的論述，而對偶性，其實(shí)就是“坐標(biāo)系”思想，笛卡兒坐標(biāo)系的引入是數(shù)學(xué)史上一個(gè)重大事件，它使得幾何問題能夠代數(shù)化。受此影響，人們將線性方程組放在線性空間框架下進(jìn)行討論，線性問題得到很好的解決，這種方案就是將代數(shù)問題幾何化。Hilbert進(jìn)行的有關(guān)工作就是將這一思想方法朝著無窮維推廣。線性問題要放到一個(gè)無窮維空間去討論，就會(huì)涉及“坐標(biāo)化”的問題，其源頭是Fourier級(jí)數(shù)思想，三角函數(shù)系起的作用就相當(dāng)于無窮維空間的笛卡兒坐標(biāo)系，它發(fā)展成為Hilbert空間的規(guī)范正交基的概念。這種思想的進(jìn)一步推廣就得到弱拓?fù)涓拍睢?br>　　1932年，波蘭數(shù)學(xué)家Banach發(fā)表第一本泛函分析專著，標(biāo)志著這一學(xué)科本身成為了一門成熟的數(shù)學(xué)分支，此后它在許多學(xué)科，如微分方程、概率論、量子理論、控制論信號(hào)處理等得到廣泛應(yīng)用。同時(shí)，諸多學(xué)科的發(fā)展也推動(dòng)著泛函分析本身的發(fā)展，近百年來，泛函分析已經(jīng)成為一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支，并成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。對于許多數(shù)學(xué)工作者和以數(shù)學(xué)作為工具的工程技術(shù)人員而言，泛函分析是他們必須掌握的知識(shí)。