《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》是由Fields 獎(jiǎng)得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學(xué)家共同參與撰寫的大型文集. 《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第二分冊(cè)）》由288 篇長(zhǎng)篇論文和短篇條目構(gòu)成, 目的是對(duì)20 世紀(jì)最后一二十年純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展給出一個(gè)概覽, 以幫助青年數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)和研究其最活躍的部分, 這些論文和條目都可以獨(dú)立閱讀. 原書有八個(gè)部分, 除第Ⅰ部分是一個(gè)簡(jiǎn)短的引論、第Ⅷ部分是《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第二分冊(cè)）》的“終曲”以外, 《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第二分冊(cè)）》分為三大板塊, 核心是第Ⅳ部分“數(shù)學(xué)的各個(gè)分支”, 共26 篇長(zhǎng)文, 介紹了20 世紀(jì)最后一二十年純粹數(shù)學(xué)研究中最重要的成果和最活躍的領(lǐng)域, 第Ⅲ部分“數(shù)學(xué)概念”和第Ⅴ部分“定理與問題”都是為它服務(wù)的短條目. 第二個(gè)板塊是數(shù)學(xué)的歷史, 由第Ⅱ部分“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起源”(共7 篇長(zhǎng)文)和第Ⅵ部分“數(shù)學(xué)家傳記”(96 位數(shù)學(xué)家的短篇傳記)組成. 第三個(gè)板塊是數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 即第Ⅶ部分“數(shù)學(xué)的影響”(14 篇長(zhǎng)文章). 作為《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第二分冊(cè)）》“終曲”的第Ⅷ部分“結(jié)束語(yǔ)：一些看法”則是對(duì)青年數(shù)學(xué)家的建議等7 篇文章.
中譯本分為三卷, 第一卷包括第Ⅰ~Ⅲ部分, 第二卷即第Ⅳ部分, 第三卷包括第Ⅴ~Ⅷ部分.
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《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第二分冊(cè)）》是由Fields 獎(jiǎng)得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學(xué)家共同參與撰寫的學(xué)科巨著，極具權(quán)威性，對(duì)20世紀(jì)最后一二十年純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展給出一個(gè)概覽, 總結(jié)過去指引未來(lái)，以幫助青年數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)和研究其最活躍的部分,《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第二分冊(cè)）》內(nèi)容生動(dòng)鮮活，論文和條目都可以獨(dú)立閱讀，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的師生以及對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經(jīng)典讀物。
《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》由普林斯頓大學(xué)出版社（PUP）2008年出版，由英國(guó)數(shù)學(xué)家Gowers （Sir William Timothy Gowers, 1963—)主編。Gowers 是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員、劍橋大學(xué)的純粹數(shù)學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教授，在三一學(xué)院擔(dān)任Rouse Ball講座教授，1998 年因?yàn)樵诜汉治雠c組合學(xué)中的貢獻(xiàn)而獲得菲爾茲獎(jiǎng)。此書由他領(lǐng)銜，組織了133位杰出的數(shù)學(xué)家（其中不乏為我國(guó)數(shù)學(xué)界熟知的知名學(xué)者，如M. Atiyah, A. Connes, B. Mazur, C. Fefferman, S. Kleinerman, P. D. Lax,陶哲軒等，按Gowers的說(shuō)法，就數(shù)學(xué)在21世紀(jì)之始所面臨的重大問題，各人就其所長(zhǎng)，以摘要提綱的形式寫成288個(gè)長(zhǎng)短各異的條目。Gowers本人撰寫了其中68條，包括一篇長(zhǎng)達(dá)76頁(yè)的引言。這部長(zhǎng)達(dá)1000余頁(yè)的巨著，獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（Mathematical Association of America, MAA）2011年歐拉圖書獎(jiǎng)。
目錄
譯者序
序
撰稿人
第 IV部分 數(shù)學(xué)的各個(gè)分支 1
IV.1 代數(shù)數(shù) 1
IV.2 解析數(shù)論 28
IV.3 計(jì)算數(shù)論 58
IV.4 代數(shù)幾何 82
IV.5 算術(shù)幾何 98
IV.6 代數(shù)拓?fù)?114
IV.7 微分拓?fù)?134
IV.8 �？臻g 153
IV.9 表示理論 170
IV.10 兒何和組合群論 189
IV.11 調(diào)和分析 216
IV.12 偏微分方程 228
IV.13 廣義相對(duì)論和愛因斯坦方程 272
IV.14 動(dòng)力學(xué) 291
IV.15 算子代數(shù) 318
IV.16 鏡面對(duì)稱 339
IV.17 頂點(diǎn)算子代數(shù) 363
IV.18 枚舉組合學(xué)與代數(shù)組合學(xué) 382
IV.19 極值組合學(xué)與概率組合學(xué) 405
IV.20 計(jì)算復(fù)雜性 427
IV.21 數(shù)值分析 471
IV.22 集合理論 491
IV.23 邏輯和模型理論 521
IV.24 隨機(jī)過程 540
IV.25 臨界現(xiàn)象的概率模型 556
IV.26 高維兒何學(xué)及其概率類比 577
第IV部分?jǐn)?shù)學(xué)的各個(gè)分支
IV.1 代數(shù)數(shù)
Barry Mazur
這個(gè)分支的根可以追溯到古希臘,它的枝葉卻觸及現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的方面.如果真有所謂“奠基性的著作”,那么,對(duì)于數(shù)論的現(xiàn)代態(tài)度的起源,這就要算是最初在1801年問世的高斯[Ⅵ.26]的《數(shù)論研究》(DisquisitionesArithmeticae)這部書.當(dāng)代研究中許多尚未達(dá)到的目的都已經(jīng)可以在高斯的著作里見到,至少是出現(xiàn)了胚胎形式.
本文的意圖就是給有志于學(xué)習(xí)和思索代數(shù)數(shù)經(jīng)典理論的某些方面的讀者提供一個(gè)指南.想要懂得代數(shù)數(shù)理論的很大一部分,想要領(lǐng)略它的美,都只需要最少限度的理論背景.對(duì)于每一位打算踏上這條旅程的讀者,我建議在自己的背包里帶上高斯的《數(shù)論研究》,以及Davenport的TheHigherArithmetics(1992),后一本書可以說(shuō)是講解這門學(xué)科的珍寶,它對(duì)于奠基性的思想的講解既清楚又深入,而且?guī)缀鯖]有用到高中以外的數(shù)學(xué)知識(shí).
1. 2 的平方根
代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù)的研究是從通常的有理數(shù)和整數(shù)的研究開始的,而又經(jīng)常要回溯到對(duì)它們的研究.第一批代數(shù)無(wú)理性開始并不是作為數(shù)出現(xiàn)的,而是作為對(duì)幾何問題的障礙出現(xiàn)的.
正方形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)的比不能表示為整數(shù)之比,傳說(shuō)是早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一樁心病.但是正是這個(gè)比,平方以后卻是2:1,所以我們可以代數(shù)地對(duì)待它——而后來(lái)的數(shù)學(xué)家們確實(shí)這樣做了.我們可以把這個(gè)比當(dāng)作一個(gè)沒有什么內(nèi)容的密碼,而我們所知的僅僅是：“它的平方等于2”(這也就是后來(lái)的數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克[Ⅵ.48]對(duì)于代數(shù)數(shù)的觀點(diǎn),這一點(diǎn)下面還會(huì)看到).可以用種種不同的方式來(lái)寫出√2, 例如√2= |1 . i| . (1)
我們還會(huì)想到1 . i=1 . e2πi/4,因此它是最早的三角和,在下面會(huì)看到這一點(diǎn)對(duì)于二次根式(surd)的推廣.也可以把√2 看成是各種無(wú)限序列的極限,其中之一是由
漂亮的連分?jǐn)?shù)[Ⅲ.22]給出的：
√2 = 1 + 2 + 1 1 . (2)
2 + . ..
與連分?jǐn)?shù)(2)直接相關(guān)的有下面的丟番圖方程
2X2 . Y 2 =±1, (3)
稱為佩爾(Pell)方程.有無(wú)數(shù)多對(duì)整數(shù)(x,y)滿足這個(gè)方程,而相應(yīng)的分?jǐn)?shù)就是把
(2)式切斷所得到的有限分?jǐn)?shù),例如,(3)的前幾個(gè)解是(1,1),(2,3),(5,7),(12,17),
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