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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》主要介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、原理和方法。以實(shí)際應(yīng)用為背景，講述力求簡(jiǎn)明通俗，突出概率統(tǒng)計(jì)課程理論學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)運(yùn)用相結(jié)合的特色，在規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容中加入簡(jiǎn)明實(shí)用的 Excel函數(shù)命令和操作演示。內(nèi)容包括隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及其分布、多維隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析與回歸分析。每小節(jié)后都配有習(xí)題，書(shū)末附有習(xí)題參考答案。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》可作為開(kāi)設(shè)概率統(tǒng)計(jì)課程的師范院校及理工、經(jīng)管類院校本、�？茖W(xué)生及相關(guān)讀者，也可作為相關(guān)專業(yè)學(xué)生的教學(xué)參考書(shū)。本書(shū)由云南師大數(shù)學(xué)學(xué)院郭民之老師主編。

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第1章隨機(jī)事件與概率
概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是一門(mén)以概率論為理論工具的，研究如何收集、整理、分析和推斷具有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)資料的學(xué)科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的應(yīng)用，二者相輔相成，相得益彰。本章首先要學(xué)習(xí)的隨機(jī)事件及其概率是概率論中最基本、最重要的概念之一。
1.1 隨機(jī)事件
1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象
大千世界，氣象萬(wàn)千。我們身處一個(gè)不斷變化的現(xiàn)實(shí)世界中，每天都要和各種各樣無(wú)法預(yù)料的事情打交道：明天是否會(huì)下雨；今天上學(xué)會(huì)不會(huì)遲到；周末環(huán)城路會(huì)不會(huì)堵車；買一張彩票能否中獎(jiǎng)；本周云南白藥股價(jià)是否上漲；這些無(wú)法預(yù)知結(jié)果的問(wèn)題充滿了我們的周圍，吸引我們?nèi)リP(guān)注。稱這類在一定條件下其結(jié)果不能確定的現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象。相應(yīng)地，在一定條件下其結(jié)果可以完全確定的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象，如太陽(yáng)每天東升西落；春夏秋冬，周而復(fù)始；同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引；在平面上畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和一定等于180°；純水在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到100℃，水必然會(huì)沸騰。
隨機(jī)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在，這決定了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科�？赡苡腥藭�(huì)問(wèn)：既然隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果無(wú)法預(yù)知，它怎么會(huì)有規(guī)律呢？若有，其規(guī)律性又如何體現(xiàn)呢？
實(shí)際上，隨機(jī)現(xiàn)象是有規(guī)律的，其規(guī)律是一種集體性規(guī)律，或者說(shuō)，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量試驗(yàn)或觀察后所呈現(xiàn)出來(lái)的某種穩(wěn)定性質(zhì)。例如，在相同條件下，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣很多次，就會(huì)發(fā)現(xiàn)擲出正面和擲出反面的機(jī)會(huì)大致均等，或者說(shuō)，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”這兩個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定在1／2這個(gè)值附近。又如，全世界人口中男、女人數(shù)大致各占一半；在正常情況下，一個(gè)城市每天居民的用水量、用電量大致穩(wěn)定。盡管從少量的隨機(jī)現(xiàn)象中一般無(wú)法看出其規(guī)律，但隨著試驗(yàn)或觀察次數(shù)的增加就會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)現(xiàn)象的這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律是客觀存在的，這正是概率論這門(mén)學(xué)科能夠存在并不斷發(fā)展的客觀基礎(chǔ)。
1.1.2 隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間
隨機(jī)現(xiàn)象是概率論研究的對(duì)象。要獲得對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，必須要通過(guò)試驗(yàn)或觀察來(lái)獲取數(shù)據(jù)資料。有時(shí)研究者可以做試驗(yàn)主動(dòng)地得到試驗(yàn)結(jié)果，如連續(xù)拋擲一枚硬幣記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)；有時(shí)可以通過(guò)觀察被動(dòng)地得到數(shù)據(jù)，如觀察記錄一小時(shí)內(nèi)通過(guò)某路口的車輛數(shù)，以下把試驗(yàn)或觀察都稱為試驗(yàn)。一般地，針對(duì)某種目的的一組條件的實(shí)現(xiàn)稱為試驗(yàn)。概率論中所說(shuō)的試驗(yàn)通常要求能夠重復(fù)進(jìn)行，由此才能探究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。
定義1.1.1 具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E：
（1）可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）可界定性：每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但試驗(yàn)可能出現(xiàn)哪些結(jié)果是明確的；
（3）不確定性：每次試驗(yàn)有且僅有一種結(jié)果出現(xiàn)，并且在試驗(yàn)之前無(wú)法預(yù)知哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。
設(shè)ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)可能出現(xiàn)的基本結(jié)果，稱ω為E的一個(gè)樣本點(diǎn)（或一個(gè)基本事件），樣本點(diǎn)的全體所成的集合Ω稱為樣本空間，記為Ω，即Ω＝｛ω｝。在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。在具體問(wèn)題中，弄清楚Ω的構(gòu)成是十分重要的。
例1.1.1 以下幾個(gè)試驗(yàn)均為隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）E1：拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面還是反面。記ω1＝“出現(xiàn)正面”，ω2＝“出現(xiàn)反面”，則樣本空間由兩個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，即Ω＝｛ω1，ω2｝。若用字母H（head）和T（tail）分別表示正面和反面，則可以直接記為Ω＝｛H，T｝。
（2）E2：將拋擲一枚硬幣兩次視為一次試驗(yàn)，觀察其出現(xiàn)正、反面的情況，則其樣本空間為Ω＝｛ω1，ω2，ω3，ω4｝，其中這4個(gè)樣本點(diǎn)分別表示HH，HT，TH，TT四種可能結(jié)果，也可以直接記為Ω＝｛HH，HT，TH，TT｝。
（3）E3：拋擲一枚骰子，記錄其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則其樣本空間為Ω＝｛ω1，ω2，.，ω6｝，其中ωi（i＝1，2，.，6）表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”，也可以直接記為Ω＝｛1，2，.，6｝。
（4）E4：記錄某電話總機(jī)一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為Ω＝｛ω0，ω1，ω2，.｝，其中ωi（i＝0，1，2，.）表示“接到i次呼叫”。
（5）E5：從某種型號(hào)的一批電視機(jī)中任意抽出一臺(tái)，測(cè)量其壽命T，則其樣本空間為Ω＝｛T∶T≥0｝。
需要注意的是，每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)樣本空間Ω，樣本點(diǎn)的數(shù)目可以是有限的，如例1.1.1（1）～（3）中的Ω；也可以是無(wú)限的，如例1.1.1（4），（5）中的Ω.此時(shí)，分別稱它們?yōu)橛邢迾颖究臻g和無(wú)限樣本空間。
1.1.3 隨機(jī)事件
通過(guò)試驗(yàn)研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律時(shí)，通常關(guān)心的是隨機(jī)現(xiàn)象中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，這些結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件（event），通常用大寫(xiě)字母A，B，C，.表示.例如，例1.1.1E1中的“出現(xiàn)正面”（即ω1），記為A；E3中的“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，記為B；E5中的“壽命大于5000h”，記為C；..一般的隨機(jī)事件是由若干樣本點(diǎn)共同組成的，如上述三個(gè)事件可分別表示為A＝｛ω1｝，B＝｛ω2，ω4，ω6｝，C＝｛T∶T＞5000｝。
從集合論的觀點(diǎn)來(lái)看，隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集。當(dāng)且僅當(dāng)事件A所含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)稱為事件A出現(xiàn)（或者說(shuō)事件A發(fā)生）。樣本點(diǎn)實(shí)際上是隨機(jī)事件中特殊的一種，即只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件，故也稱之為基本事件。樣本空間Ω的最大子集（即Ω本身）稱為必然事件，其最小子集（即空集）稱為不可能事件。必然事件Ω（不可能事件）在每次試驗(yàn)中都會(huì)出現(xiàn)（都不會(huì)出現(xiàn)）。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，Ω及實(shí)際上已經(jīng)不具有隨機(jī)性了，但通常把它們看成特殊的隨機(jī)事件。
1.1.4 隨機(jī)事件的表示
隨機(jī)事件可以用不同的形式來(lái)描述，可以用文字語(yǔ)言敘述，如“買一張彩票中獎(jiǎng)”；可以用數(shù)字，如“3”表示出現(xiàn)3點(diǎn)；還可以用符號(hào)或字母，如“+”或“H”均可表示“出現(xiàn)正面”等。但隨機(jī)事件表示形式的多樣性不方便進(jìn)行理論研究，為此，在第2章中將引入隨機(jī)變量來(lái)對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行統(tǒng)一的描述。這樣做的主要目的是要借助微積分這一處理變量的有力工具來(lái)研究隨機(jī)事件。粗略地說(shuō)，隨機(jī)變量就是用來(lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量，常用大寫(xiě)字母X，Y，Z，。表示。隨機(jī)變量根據(jù)出現(xiàn)的樣本點(diǎn)ω的不同而取不同的值來(lái)表示隨機(jī)事件。例如，用X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則“X＝3”就表示“出現(xiàn)3點(diǎn)”這一隨機(jī)事件。事實(shí)上，任意隨機(jī)事件A都可以用一個(gè)隨機(jī)變量X來(lái)表示。例如，令
1， ω∈ A ，X＝X（ω）＝0，ω臭A，則容易看出“X＝1”等價(jià)于事件A發(fā)生。討論實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)需要，可引入不同的隨機(jī)變量。關(guān)于隨機(jī)變量的進(jìn)一步討論詳見(jiàn)第2章。
1.1.5 隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算
討論事件之間的關(guān)系及運(yùn)算，其主要目的是想把復(fù)雜事件表示為簡(jiǎn)單事件的組合形式，希望通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單事件的了解去把握復(fù)雜的事件。由于隨機(jī)事件可看成樣本空間Ω的子集，因此，事件之間的關(guān)系及運(yùn)算也就相當(dāng)于集合之間的關(guān)系及運(yùn)算。任意兩個(gè)事件A，B的關(guān)系可用維恩（Venn）圖表示如下，如圖1.1.1所示。
圖1.1.1 事件的關(guān)系
以下用A，B，C，Ai，Bi等表示隨機(jī)事件。先引入幾個(gè)關(guān)于事件關(guān)系的常用概念。
1.事件的包含
若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即A中的每一個(gè)樣本點(diǎn)都包含在B中，則稱A包含于B，記為A炒B，如圖1.1.1（a）所示。這時(shí)，也可以等價(jià)地說(shuō)B包含A，記為B車A。顯然，對(duì)任意事件A，有炒A炒Ω。
特別地，當(dāng)A炒B且B車A時(shí)，稱事件A與B相等，記為A＝B。
2.事件的并
“兩事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”也是一個(gè)事件，此事件由A與B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成，稱為A與B的并，記為A∪B，如圖1.1.1（b）所示。若并事件A∪B發(fā)生，那么或A發(fā)生，或B發(fā)生，當(dāng)然也可能A與B同時(shí)發(fā)生。
可將并的概念推廣到有限個(gè)事件以及可數(shù)多個(gè)事件的情形。稱事件“A1，.，nAn中至少有一個(gè)發(fā)生”為n個(gè)事件A1，.，An的并，記為A1∪.∪An或i ∪＝ 1 Ai，進(jìn)一步，稱事件“A1，A2，.中至少有一個(gè)發(fā)生”為可數(shù)多個(gè)事件A1，A2.的并，記為
∞A1∪A2∪，.或i ∪＝ 1 Ai.
3.事件的交
“兩事件A與B同時(shí)發(fā)生”也是一個(gè)事件，此事件由A與B的公共的樣本點(diǎn)構(gòu)成，稱為A與B的交，記為A∩B，或簡(jiǎn)記為AB，如圖1.1.1（c）。
同上，可將交的概念推廣。稱事件“A1，。，An同時(shí)發(fā)生”為n個(gè)事件A1，.，nAn的交，記為A1∩.∩An或i ∩＝ 1 Ai，也常常記為A1A2.An.進(jìn)一步，稱事件“A1，∞A2，.同時(shí)發(fā)生”為可數(shù)多個(gè)事件A1，A2，.的交，記為A1∩A2∩.或i ∩＝ 1 Ai。
4.事件的差
“A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生”也是一個(gè)事件，此事件由A中不包含于B內(nèi)的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成，稱為A與B的差，記為A-B，如圖1.1.1（d）所示.根據(jù)具體情況，常常需要靈活地使用如下并事件的不同表達(dá)形式：A∪B＝A∪（B-A）＝A∪（B-AB）＝B∪（A-B）＝B∪（A-AB）＝（A-B）∪AB∪（B-A）。
5.互不相容
若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互不相容，或稱A與B互斥。易見(jiàn)A與B互斥騁AB＝，如圖1.1.1（e）所示。
6.互逆
若兩事件A與B同時(shí)滿足如下條件：A∪B＝Ω且AB＝也就是說(shuō)，事件A與B必發(fā)生其一，但A與B又不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互為逆，事件（或?qū)α⑹录�，�?jiǎn)稱A與B互逆。若記A的逆事件為A，則A＝B。實(shí)際上，A＝Ω-A＝B。同理，B＝Ω-B＝A，如圖1.1.1（f）所示。
一般地，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B有AB＝A-B，這由上面的維恩圖容易看出。
例1.1.2 袋中裝有10個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，.10.從袋中任意取出一球，用i（i＝1，2，.，10）表示基本事件“取到i號(hào)球”，記，A＝“取到3號(hào)球”＝｛3｝，B＝“取到奇號(hào)球”＝｛1，3，5，7，9｝，C＝“取到偶號(hào)球”＝｛2，4，6，8，10｝，D＝｛1，5，7，9｝，則有A炒B，A∪B＝B，AB＝A，B-A＝｛1，5，7，9｝＝D，B＝A∪D，A與C互斥，即AC＝，A∪C＝｛2，3，4，6，8，10｝，B與C互逆，A∪B∪C＝Ω.。
注1.1.1 A與B互逆可以推出A與B互斥，但反之未必成立。例如，在例1.1.2中，A與C互斥，但A與C并不互逆。
7.事件的運(yùn)算法則
由集合的運(yùn)算性質(zhì)可知，事件之間的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律：
（1）交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA；
（2）結(jié)合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（AB）C＝A（BC）；
（3）分配律：A（B∪C）＝AB∪AC，A∪（BC）＝（A∪B）（A∪C）；
（4）對(duì)偶律：A ∪ B ＝ A∩ B，A ∩ B ＝ A∪ B；∪ Ai ＝∩ Ai ，∩ Ai ＝∪ Ai。
對(duì)偶律也稱為德摩根公式，其中Ai的下標(biāo)i可以取值于有限指標(biāo)集、可數(shù)指標(biāo)集，甚至任意指標(biāo)集。對(duì)偶律可以這樣來(lái)記憶：并的逆＝逆的交，再反過(guò)來(lái)念：交的逆＝逆的并。
事件的這些運(yùn)算規(guī)律的證明與集合的運(yùn)算規(guī)律的證明完全一致，均是先證明左邊事件（集合）包含于右邊事件（集合），再證明右邊事件（集合）包含于左邊事件（集合），從而得到等號(hào)兩邊的事件（集合）相等。證明留作思考題。
1.1.6 用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件
在實(shí)際中碰到的事件多為較為復(fù)雜的事件，往往需要用一些簡(jiǎn)單事件來(lái)表示它們，以便對(duì)其進(jìn)行討論。

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