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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》主要介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、原理和方法。以實(shí)際應(yīng)用為背景，講述力求簡明通俗，突出概率統(tǒng)計(jì)課程理論學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)運(yùn)用相結(jié)合的特色，在規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容中加入簡明實(shí)用的 Excel函數(shù)命令和操作演示。內(nèi)容包括隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及其分布、多維隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析與回歸分析。每小節(jié)后都配有習(xí)題，書末附有習(xí)題參考答案。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》可作為開設(shè)概率統(tǒng)計(jì)課程的師范院校及理工、經(jīng)管類院校本、�？茖W(xué)生及相關(guān)讀者，也可作為相關(guān)專業(yè)學(xué)生的教學(xué)參考書。本書由云南師大數(shù)學(xué)學(xué)院郭民之老師主編。

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第1章隨機(jī)事件與概率
概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是一門以概率論為理論工具的，研究如何收集、整理、分析和推斷具有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)資料的學(xué)科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的應(yīng)用，二者相輔相成，相得益彰。本章首先要學(xué)習(xí)的隨機(jī)事件及其概率是概率論中最基本、最重要的概念之一。
1.1 隨機(jī)事件
1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象
大千世界，氣象萬千。我們身處一個(gè)不斷變化的現(xiàn)實(shí)世界中，每天都要和各種各樣無法預(yù)料的事情打交道：明天是否會(huì)下雨；今天上學(xué)會(huì)不會(huì)遲到；周末環(huán)城路會(huì)不會(huì)堵車；買一張彩票能否中獎(jiǎng)；本周云南白藥股價(jià)是否上漲；這些無法預(yù)知結(jié)果的問題充滿了我們的周圍，吸引我們?nèi)リP(guān)注。稱這類在一定條件下其結(jié)果不能確定的現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象。相應(yīng)地，在一定條件下其結(jié)果可以完全確定的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象，如太陽每天東升西落；春夏秋冬，周而復(fù)始；同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引；在平面上畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和一定等于180°；純水在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到100℃，水必然會(huì)沸騰。
隨機(jī)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在，這決定了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。可能有人會(huì)問：既然隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果無法預(yù)知，它怎么會(huì)有規(guī)律呢？若有，其規(guī)律性又如何體現(xiàn)呢？
實(shí)際上，隨機(jī)現(xiàn)象是有規(guī)律的，其規(guī)律是一種集體性規(guī)律，或者說，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量試驗(yàn)或觀察后所呈現(xiàn)出來的某種穩(wěn)定性質(zhì)。例如，在相同條件下，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣很多次，就會(huì)發(fā)現(xiàn)擲出正面和擲出反面的機(jī)會(huì)大致均等，或者說，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”這兩個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定在1／2這個(gè)值附近。又如，全世界人口中男、女人數(shù)大致各占一半；在正常情況下，一個(gè)城市每天居民的用水量、用電量大致穩(wěn)定。盡管從少量的隨機(jī)現(xiàn)象中一般無法看出其規(guī)律，但隨著試驗(yàn)或觀察次數(shù)的增加就會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)現(xiàn)象的這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律是客觀存在的，這正是概率論這門學(xué)科能夠存在并不斷發(fā)展的客觀基礎(chǔ)。
1.1.2 隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間
隨機(jī)現(xiàn)象是概率論研究的對(duì)象。要獲得對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，必須要通過試驗(yàn)或觀察來獲取數(shù)據(jù)資料。有時(shí)研究者可以做試驗(yàn)主動(dòng)地得到試驗(yàn)結(jié)果，如連續(xù)拋擲一枚硬幣記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)；有時(shí)可以通過觀察被動(dòng)地得到數(shù)據(jù)，如觀察記錄一小時(shí)內(nèi)通過某路口的車輛數(shù)，以下把試驗(yàn)或觀察都稱為試驗(yàn)。一般地，針對(duì)某種目的的一組條件的實(shí)現(xiàn)稱為試驗(yàn)。概率論中所說的試驗(yàn)通常要求能夠重復(fù)進(jìn)行，由此才能探究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。
定義1.1.1 具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E：
（1）可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）可界定性：每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但試驗(yàn)可能出現(xiàn)哪些結(jié)果是明確的；
（3）不確定性：每次試驗(yàn)有且僅有一種結(jié)果出現(xiàn)，并且在試驗(yàn)之前無法預(yù)知哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。
設(shè)ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)可能出現(xiàn)的基本結(jié)果，稱ω為E的一個(gè)樣本點(diǎn)（或一個(gè)基本事件），樣本點(diǎn)的全體所成的集合Ω稱為樣本空間，記為Ω，即Ω＝｛ω｝。在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。在具體問題中，弄清楚Ω的構(gòu)成是十分重要的。
例1.1.1 以下幾個(gè)試驗(yàn)均為隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）E1：拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面還是反面。記ω1＝“出現(xiàn)正面”，ω2＝“出現(xiàn)反面”，則樣本空間由兩個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，即Ω＝｛ω1，ω2｝。若用字母H（head）和T（tail）分別表示正面和反面，則可以直接記為Ω＝｛H，T｝。
（2）E2：將拋擲一枚硬幣兩次視為一次試驗(yàn)，觀察其出現(xiàn)正、反面的情況，則其樣本空間為Ω＝｛ω1，ω2，ω3，ω4｝，其中這4個(gè)樣本點(diǎn)分別表示HH，HT，TH，TT四種可能結(jié)果，也可以直接記為Ω＝｛HH，HT，TH，TT｝。
（3）E3：拋擲一枚骰子，記錄其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則其樣本空間為Ω＝｛ω1，ω2，.，ω6｝，其中ωi（i＝1，2，.，6）表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”，也可以直接記為Ω＝｛1，2，.，6｝。
（4）E4：記錄某電話總機(jī)一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為Ω＝｛ω0，ω1，ω2，.｝，其中ωi（i＝0，1，2，.）表示“接到i次呼叫”。
（5）E5：從某種型號(hào)的一批電視機(jī)中任意抽出一臺(tái)，測量其壽命T，則其樣本空間為Ω＝｛T∶T≥0｝。
需要注意的是，每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)樣本空間Ω，樣本點(diǎn)的數(shù)目可以是有限的，如例1.1.1（1）～（3）中的Ω；也可以是無限的，如例1.1.1（4），（5）中的Ω.此時(shí)，分別稱它們?yōu)橛邢迾颖究臻g和無限樣本空間。
1.1.3 隨機(jī)事件
通過試驗(yàn)研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律時(shí)，通常關(guān)心的是隨機(jī)現(xiàn)象中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，這些結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱事件（event），通常用大寫字母A，B，C，.表示.例如，例1.1.1E1中的“出現(xiàn)正面”（即ω1），記為A；E3中的“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，記為B；E5中的“壽命大于5000h”，記為C；..一般的隨機(jī)事件是由若干樣本點(diǎn)共同組成的，如上述三個(gè)事件可分別表示為A＝｛ω1｝，B＝｛ω2，ω4，ω6｝，C＝｛T∶T＞5000｝。
從集合論的觀點(diǎn)來看，隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集。當(dāng)且僅當(dāng)事件A所含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)稱為事件A出現(xiàn)（或者說事件A發(fā)生）。樣本點(diǎn)實(shí)際上是隨機(jī)事件中特殊的一種，即只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件，故也稱之為基本事件。樣本空間Ω的最大子集（即Ω本身）稱為必然事件，其最小子集（即空集）稱為不可能事件。必然事件Ω（不可能事件）在每次試驗(yàn)中都會(huì)出現(xiàn)（都不會(huì)出現(xiàn)）。嚴(yán)格來說，Ω及實(shí)際上已經(jīng)不具有隨機(jī)性了，但通常把它們看成特殊的隨機(jī)事件。
1.1.4 隨機(jī)事件的表示
隨機(jī)事件可以用不同的形式來描述，可以用文字語言敘述，如“買一張彩票中獎(jiǎng)”；可以用數(shù)字，如“3”表示出現(xiàn)3點(diǎn)；還可以用符號(hào)或字母，如“+”或“H”均可表示“出現(xiàn)正面”等。但隨機(jī)事件表示形式的多樣性不方便進(jìn)行理論研究，為此，在第2章中將引入隨機(jī)變量來對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行統(tǒng)一的描述。這樣做的主要目的是要借助微積分這一處理變量的有力工具來研究隨機(jī)事件。粗略地說，隨機(jī)變量就是用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量，常用大寫字母X，Y，Z，。表示。隨機(jī)變量根據(jù)出現(xiàn)的樣本點(diǎn)ω的不同而取不同的值來表示隨機(jī)事件。例如，用X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則“X＝3”就表示“出現(xiàn)3點(diǎn)”這一隨機(jī)事件。事實(shí)上，任意隨機(jī)事件A都可以用一個(gè)隨機(jī)變量X來表示。例如，令
1， ω∈ A ，X＝X（ω）＝0，ω臭A，則容易看出“X＝1”等價(jià)于事件A發(fā)生。討論實(shí)際問題時(shí)，根據(jù)需要，可引入不同的隨機(jī)變量。關(guān)于隨機(jī)變量的進(jìn)一步討論詳見第2章。
1.1.5 隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算
討論事件之間的關(guān)系及運(yùn)算，其主要目的是想把復(fù)雜事件表示為簡單事件的組合形式，希望通過對(duì)簡單事件的了解去把握復(fù)雜的事件。由于隨機(jī)事件可看成樣本空間Ω的子集，因此，事件之間的關(guān)系及運(yùn)算也就相當(dāng)于集合之間的關(guān)系及運(yùn)算。任意兩個(gè)事件A，B的關(guān)系可用維恩（Venn）圖表示如下，如圖1.1.1所示。
圖1.1.1 事件的關(guān)系
以下用A，B，C，Ai，Bi等表示隨機(jī)事件。先引入幾個(gè)關(guān)于事件關(guān)系的常用概念。
1.事件的包含
若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即A中的每一個(gè)樣本點(diǎn)都包含在B中，則稱A包含于B，記為A炒B，如圖1.1.1（a）所示。這時(shí)，也可以等價(jià)地說B包含A，記為B車A。顯然，對(duì)任意事件A，有炒A炒Ω。
特別地，當(dāng)A炒B且B車A時(shí)，稱事件A與B相等，記為A＝B。
2.事件的并
“兩事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”也是一個(gè)事件，此事件由A與B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成，稱為A與B的并，記為A∪B，如圖1.1.1（b）所示。若并事件A∪B發(fā)生，那么或A發(fā)生，或B發(fā)生，當(dāng)然也可能A與B同時(shí)發(fā)生。
可將并的概念推廣到有限個(gè)事件以及可數(shù)多個(gè)事件的情形。稱事件“A1，.，nAn中至少有一個(gè)發(fā)生”為n個(gè)事件A1，.，An的并，記為A1∪.∪An或i ∪＝ 1 Ai，進(jìn)一步，稱事件“A1，A2，.中至少有一個(gè)發(fā)生”為可數(shù)多個(gè)事件A1，A2.的并，記為
∞A1∪A2∪，.或i ∪＝ 1 Ai.
3.事件的交
“兩事件A與B同時(shí)發(fā)生”也是一個(gè)事件，此事件由A與B的公共的樣本點(diǎn)構(gòu)成，稱為A與B的交，記為A∩B，或簡記為AB，如圖1.1.1（c）。
同上，可將交的概念推廣。稱事件“A1，。，An同時(shí)發(fā)生”為n個(gè)事件A1，.，nAn的交，記為A1∩.∩An或i ∩＝ 1 Ai，也常常記為A1A2.An.進(jìn)一步，稱事件“A1，∞A2，.同時(shí)發(fā)生”為可數(shù)多個(gè)事件A1，A2，.的交，記為A1∩A2∩.或i ∩＝ 1 Ai。
4.事件的差
“A發(fā)生而B不發(fā)生”也是一個(gè)事件，此事件由A中不包含于B內(nèi)的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成，稱為A與B的差，記為A-B，如圖1.1.1（d）所示.根據(jù)具體情況，常常需要靈活地使用如下并事件的不同表達(dá)形式：A∪B＝A∪（B-A）＝A∪（B-AB）＝B∪（A-B）＝B∪（A-AB）＝（A-B）∪AB∪（B-A）。
5.互不相容
若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互不相容，或稱A與B互斥。易見A與B互斥騁AB＝，如圖1.1.1（e）所示。
6.互逆
若兩事件A與B同時(shí)滿足如下條件：A∪B＝Ω且AB＝也就是說，事件A與B必發(fā)生其一，但A與B又不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互為逆，事件（或?qū)α⑹录�，簡稱A與B互逆。若記A的逆事件為A，則A＝B。實(shí)際上，A＝Ω-A＝B。同理，B＝Ω-B＝A，如圖1.1.1（f）所示。
一般地，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B有AB＝A-B，這由上面的維恩圖容易看出。
例1.1.2 袋中裝有10個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，.10.從袋中任意取出一球，用i（i＝1，2，.，10）表示基本事件“取到i號(hào)球”，記，A＝“取到3號(hào)球”＝｛3｝，B＝“取到奇號(hào)球”＝｛1，3，5，7，9｝，C＝“取到偶號(hào)球”＝｛2，4，6，8，10｝，D＝｛1，5，7，9｝，則有A炒B，A∪B＝B，AB＝A，B-A＝｛1，5，7，9｝＝D，B＝A∪D，A與C互斥，即AC＝，A∪C＝｛2，3，4，6，8，10｝，B與C互逆，A∪B∪C＝Ω.。
注1.1.1 A與B互逆可以推出A與B互斥，但反之未必成立。例如，在例1.1.2中，A與C互斥，但A與C并不互逆。
7.事件的運(yùn)算法則
由集合的運(yùn)算性質(zhì)可知，事件之間的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律：
（1）交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA；
（2）結(jié)合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（AB）C＝A（BC）；
（3）分配律：A（B∪C）＝AB∪AC，A∪（BC）＝（A∪B）（A∪C）；
（4）對(duì)偶律：A ∪ B ＝ A∩ B，A ∩ B ＝ A∪ B；∪ Ai ＝∩ Ai ，∩ Ai ＝∪ Ai。
對(duì)偶律也稱為德摩根公式，其中Ai的下標(biāo)i可以取值于有限指標(biāo)集、可數(shù)指標(biāo)集，甚至任意指標(biāo)集。對(duì)偶律可以這樣來記憶：并的逆＝逆的交，再反過來念：交的逆＝逆的并。
事件的這些運(yùn)算規(guī)律的證明與集合的運(yùn)算規(guī)律的證明完全一致，均是先證明左邊事件（集合）包含于右邊事件（集合），再證明右邊事件（集合）包含于左邊事件（集合），從而得到等號(hào)兩邊的事件（集合）相等。證明留作思考題。
1.1.6 用簡單事件表示復(fù)雜事件
在實(shí)際中碰到的事件多為較為復(fù)雜的事件，往往需要用一些簡單事件來表示它們，以便對(duì)其進(jìn)行討論。

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