第一章 緒論 …………………………………………………………………………………… 1 §1.1 常微分方程模型 ………………………………………………………………… 1 §1.2 微分方程的基本概念 …………………………………………………………… 8 1.2.1 常微分方程和偏微分方程 ……………………………………………… 8 1.2.2 線性和非線性微分方程 ………………………………………………… 9 1.2.3 顯式解和隱式解 ………………………………………………………… 9 1.2.4 通解和特解 ……………………………………………………………… 9 1.2.5 積分曲線 ……………………………………………………………… 10 習(xí)題1.2 ………………………………………………………………………… 11 §1.3 常微分方程發(fā)展歷史 …………………………………………………………… 12 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 13 第二章 一階微分方程的初等積分法 ……………………………………………………… 14 §2.1 變量分離方程 …………………………………………………………………… 14 2.1.1 變量分離方程 ………………………………………………………… 14 2.1.2 顯式形式變量分離方程的解法 ……………………………………… 15 2.1.3 微分形式變量分離方程的解法 ……………………………………… 17 習(xí)題2.1 ………………………………………………………………………… 17 §2.2 齊次微分方程與變量變換法 …………………………………………………… 18 2.2.1 齊次微分方程 ………………………………………………………… 18 2.2.2 形如dy dx=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0)的方程 …………………… 20 2.2.3 形如dy dx=f a1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2 的方程 ………………………………… 21 2.2.4 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 …………………………… 23 習(xí)題2.2 ………………………………………………………………………… 24 §2.3 線性微分方程與常數(shù)變易法 …………………………………………………… 24 2.3.1 一階非齊次線性微分方程的通解 …………………………………… 25 2.3.2 伯努利方程 …………………………………………………………… 28 習(xí)題2.3 ………………………………………………………………………… 30 §2.4 恰當(dāng)微分方程與積分因子 ……………………………………………………… 31 2.4.1 恰當(dāng)微分方程 ………………………………………………………… 31 2.4.2 積分因子 ……………………………………………………………… 36 習(xí)題2.4 ………………………………………………………………………… 40 §2.5 一階隱式微分方程與參數(shù)表示 ………………………………………………… 41 2.5.1 可解出y'的方程 ……………………………………………………… 41 2.5.2 可解出y(或x)的方程 ……………………………………………… 41 2.5.3 不顯含y(或x)的方程 ……………………………………………… 45 習(xí)題2.5 ………………………………………………………………………… 47 §2.6 一階微分方程的應(yīng)用 …………………………………………………………… 47 2.6.1 人口問題 ……………………………………………………………… 47 2.6.2 雪球融化問題 ………………………………………………………… 48 2.6.3 動(dòng)力學(xué)問題 …………………………………………………………… 49 2.6.4 化學(xué)反應(yīng)問題 ………………………………………………………… 50 2.6.5 流體混合問題 ………………………………………………………… 51 習(xí)題2.6 ………………………………………………………………………… 53 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 53 本章自測題 ……………………………………………………………………………… 54 第三章 一階微分方程解的存在唯一性定理 ……………………………………………… 55 §3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法 …………………………………………… 55 3.1.1 存在唯一性定理 ……………………………………………………… 55 3.1.2 近似計(jì)算和誤差估計(jì) ………………………………………………… 61 習(xí)題3.1 ………………………………………………………………………… 62 §3.2 解的延拓 ………………………………………………………………………… 63 3.2.1 解的延拓定理 ………………………………………………………… 63 3.2.2 比較定理 ……………………………………………………………… 66 習(xí)題3.2 ………………………………………………………………………… 67 §3.3 解對初值的連續(xù)性和可微性定理 ……………………………………………… 68 習(xí)題3.3 ………………………………………………………………………… 71 §3.4 奇解與包絡(luò) ……………………………………………………………………… 72 3.4.1 奇解 …………………………………………………………………… 72 3.4.2 不存在奇解的判別法 ………………………………………………… 73 3.4.3 奇解的求法及包絡(luò) …………………………………………………… 73 3.4.4 克萊羅微分方程 ……………………………………………………… 75 習(xí)題3.4 ………………………………………………………………………… 77 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 78 本章自測題 ……………………………………………………………………………… 78 第四章 高階微分方程 ……………………………………………………………………… 80 §4.1 線性微分方程的一般理論 ……………………………………………………… 80 4.1.1 線性微分方程的概念和解的存在唯一性定理 ……………………… 80 4.1.2 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) ……………………………… 81 4.1.3 非齊次線性微分方程的解結(jié)構(gòu)和常數(shù)變易法 ……………………… 86 習(xí)題4.1 ………………………………………………………………………… 90 §4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法 …………………………………………………… 91 4.2.1 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解 …………………………………………………… 91 4.2.2 常系數(shù)齊次線性微分方程 …………………………………………… 93 4.2.3 歐拉方程 ……………………………………………………………… 97 習(xí)題4.2 ………………………………………………………………………… 98 §4.3 常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法 …………………………………… 99 4.3.1 類型Ⅰ:非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積的情形 ……………… 99 4.3.2 類型Ⅱ:非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)乘積的情形 …… 102 習(xí)題4.3 ……………………………………………………………………… 104 §4.4 拉普拉斯變換法 ……………………………………………………………… 104 4.4.1 拉普拉斯變換的定義和性質(zhì) ………………………………………… 105 4.4.2 用拉普拉斯變換求解初值問題 ……………………………………… 107 習(xí)題4.4 ……………………………………………………………………… 109 §4.5 高階微分方程的降階解法 …………………………………………………… 109 4.5.1 方程不顯含未知函數(shù)y ……………………………………………… 110 4.5.2 不顯含自變量x 的方程……………………………………………… 110 4.5.3 恰當(dāng)微分方程和積分因子 …………………………………………… 111 4.5.4 齊次線性微分方程 …………………………………………………… 112 習(xí)題4.5 ……………………………………………………………………… 114 *§4.6 冪級數(shù)解法大意 ……………………………………………………………… 114 習(xí)題4.6 ……………………………………………………………………… 119 *§4.7 高階微分方程的應(yīng)用 ………………………………………………………… 119 4.7.1 數(shù)學(xué)擺運(yùn)動(dòng) …………………………………………………………… 119 4.7.2 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng) ……………………………………………………………… 122 習(xí)題4.7 ……………………………………………………………………… 127 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 127 本章自測題 ……………………………………………………………………………… 128 第五章 微分方程組 ………………………………………………………………………… 129 §5.1 微分方程組的概念及解的存在唯一性定理 ………………………………… 129 習(xí)題5.1 ……………………………………………………………………… 132 §5.2 線性微分方程組的一般理論 ………………………………………………… 133 5.2.1 齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu) ……………………………………… 135 5.2.2 非齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)和常數(shù)變易法 …………………… 141 習(xí)題5.2 ……………………………………………………………………… 143 §5.3 常系數(shù)線性微分方程組的解法 ……………………………………………… 145 5.3.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì) ………………………………………… 145 5.3.2 常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣 …………………………… 146 5.3.3 基解矩陣的求法 ……………………………………………………… 147 5.3.4 常系數(shù)非齊次線性微分方程組的求解 ……………………………… 155 習(xí)題5.3 ……………………………………………………………………… 157 §5.4 拉普拉斯變換法 ……………………………………………………………… 158 習(xí)題5.4 ……………………………………………………………………… 161 §5.5 微分方程組的消元法和首次積分法 ………………………………………… 162 5.5.1 微分方程組的消元法 ………………………………………………… 162 5.5.2 微分方程組的首次積分法 …………………………………………… 164 習(xí)題5.5 ……………………………………………………………………… 166 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 166 本章自測題 ……………………………………………………………………………… 167 第六章 定性和穩(wěn)定性理論簡介 …………………………………………………………… 168 §6.1 穩(wěn)定性概念和例子 …………………………………………………………… 168 習(xí)題6.1 ……………………………………………………………………… 173 §6.2 李雅普諾夫第二方法 ………………………………………………………… 173 習(xí)題6.2 ……………………………………………………………………… 178 §6.3 平面定性理論簡介 …………………………………………………………… 178 6.3.1 相平面、 軌線與相圖 ………………………………………………… 178 6.3.2 平面自治系統(tǒng)的基本性質(zhì) …………………………………………… 180 6.3.3 常點(diǎn)、 奇點(diǎn)、 閉軌 …………………………………………………… 181 6.3.4 平面線性系統(tǒng)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布 …………………………… 181 6.3.5 平面非線性系統(tǒng)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布 ………………………… 187 6.3.6 平面自治系統(tǒng)的極限環(huán) ……………………………………………… 188 習(xí)題6.3 ……………………………………………………………………… 194 習(xí)題和自測題參考答案 ……………………………………………………………………… 195 參考文獻(xiàn) ……………………………………………………………………………………… 197