目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性和可微性 9
1.4 比較定理 13
習(xí)題1 21
第2章 動(dòng)力系統(tǒng)的基本知識(shí) 23
2.1 自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng) 23
2.1.1 相空間與軌線 23
2.1.2 自治系統(tǒng)的基本性質(zhì) 25
2.1.3 動(dòng)力系統(tǒng)的概念 28
2.2 軌線的極限集合 29
2.2.1 常點(diǎn)與奇點(diǎn) 29
2.2.2 自治系統(tǒng)解的延拓性 30
2.2.3 w極限集與a極限集及其基本性質(zhì) 32
2.3 平面上的極限集 35
2.3.1 平面有界極限集的特性與結(jié)構(gòu) 35
2.3.2 Poincare-Bendixson環(huán)域定理 37
2.4 極限集的應(yīng)用實(shí)例 39
2.4.1 Volterra捕食-被捕食模型 39
2.4.2 三極管電路的van der Pol方程 42
習(xí)題2 44
第3章 穩(wěn)定性理論 46
3.1 穩(wěn)定性的定義和例子 46
3.1.1 穩(wěn)定性的幾個(gè)定義 46
3.1.2 穩(wěn)定性的關(guān)系及例子 49
3.2 自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 54
3.2.1 V函數(shù) 54
3.2.2 Liapunov穩(wěn)定性定理 55
3.2.3 不穩(wěn)定性定理 57
3.3 非自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 59
3.3.1 V函數(shù)和k類(lèi)函數(shù) 59
3.3.2 零解的穩(wěn)定性 62
3.3.3 零解的不穩(wěn)定性 65
3.4 全局穩(wěn)定性 67
3.4.1 全局穩(wěn)定的概念和判定定理 67
3.4.2 應(yīng)用舉例 71
3.4.3 吸引域的估計(jì) 73
3.5 線性系統(tǒng)及其擾動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 73
3.5.1 常系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 74
3.5.2 線性系統(tǒng)的擾動(dòng) 81
3.5.3 非自治線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 84
3.6 臨界情形下奇點(diǎn)的穩(wěn)定性分析 87
3.6.1 中心流形 88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 臨界情況下奇點(diǎn)的穩(wěn)定性分析舉例 95
3.7 Liapunov函數(shù)的構(gòu)造 102
3.7.1 Liapunov函數(shù)的存在性 102
3.7.2 常系數(shù)線性系統(tǒng)的巴爾巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推廣 108
3.7.4 線性類(lèi)比法 110
3.7.5 能量函數(shù)法 112
3.7.6 分離變量法 113
3.7.7 變梯度法 114
3.8 判定穩(wěn)定性時(shí)的比較方法 116
3.8.1 與數(shù)量方程的比較 116
3.8.2 與向量方程的比較 120
習(xí)題3 122
第4章 平面系統(tǒng)的奇點(diǎn) 125
4.1 初等奇點(diǎn) 125
4.1.1 線性系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn) 125
4.1.2 非線性系統(tǒng)的雙曲奇點(diǎn) 135
4.2 中心與焦點(diǎn)的判定 140
4.2.1 非雙曲初等奇點(diǎn)的類(lèi)型與中心的判定定理 140
4.2.2 細(xì)焦點(diǎn)及其判定法 147
4.3 高階奇點(diǎn) 157
4.3.1 沿不變直線方向的拉伸變換 158
4.3.2 通過(guò)極坐標(biāo)變換的“吹脹”技巧 160
4.3.3 沿x與y方向的“吹脹” 165
4.3.4 非齊次“吹脹” 169
4.4 旋轉(zhuǎn)數(shù)與指數(shù) 171
4.4.1 旋轉(zhuǎn)數(shù)及其基本性質(zhì) 171
4.4.2 奇點(diǎn)的指數(shù) 173
習(xí)題4 177
第5章 極限環(huán) 179
5.1 基本概念與極限環(huán)的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 極限環(huán)不存在性的判定法 181
5.2 極限環(huán)的存在性 187
5.3 后繼函數(shù)與極限環(huán)的穩(wěn)定性 198
5.3.1 Poineare映射與后繼函數(shù) 198
5.3.2 曲線坐標(biāo)與極限環(huán)的穩(wěn)定性 200
5.4 極限環(huán)的唯一性 204
習(xí)題5 211
第6章 無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)與全局結(jié)構(gòu) 212
6.1 無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn) 212
6.1.1 Poincare球面與Poincare變換 212
6.1.2 無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)與Poincare圓盤(pán) 214
6.2 軌線的全局結(jié)構(gòu)分析舉例 224
習(xí)題6 228
第7章 分支理論 229
7.1 一個(gè)例子 229
7.2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與分支現(xiàn)象 230
7.2.1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的定義 230
7.2.2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的等價(jià)描述 232
7.2.3 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定：分支現(xiàn)象 233
7.3 奇點(diǎn)分支 234
7.3.1 一維系統(tǒng)的奇點(diǎn)分支 234
7.3.2 二維或更高維系統(tǒng)的奇點(diǎn)分支 238
7.3.3 給定擾動(dòng)參數(shù)的奇點(diǎn)分支問(wèn)題 242
7.4 Hopf分支 243
7.4.1 平面系統(tǒng)的Hopf分支 244
7.4.2 利用特征根的共振性求正規(guī)形 255
7.4.3 三維或更高維系統(tǒng)的Hopf分支 257
7.5 閉軌分支 259
7.5.1 平面系統(tǒng)的閉軌分支 259
7.5.2 三維或更高維系統(tǒng)的閉軌分支 263
7.6 奇異閉軌分支 268
7.6.1 平面系統(tǒng)的同宿分支 269
7.6.2 旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng) 270
7.6.3 平面系統(tǒng)同宿分支的例子 272
7.6.4 關(guān)于異宿分支和高維系統(tǒng)奇異閉軌分支的介紹 275
7.7 Poincare分支——從平面閉軌族分支極限環(huán) 276
7.7.1 平面Hamilton系統(tǒng)的擾動(dòng)問(wèn)題 276
7.7.2 高階Melnikov函數(shù) 284
7.7.3 平面可積系統(tǒng)的擾動(dòng)問(wèn)題 286
7.7.4 弱化的希爾伯特第16問(wèn)題 287
7.8 從高維系統(tǒng)的閉軌族產(chǎn)生周期解的分支問(wèn)題 289
7.9 Bogdanov-Takens分支 296
7.9.1 利用變換求正規(guī)形 296
7.9.2 余維2的B-T分支：普適開(kāi)折的推導(dǎo) 298
7.9.3 余維2的B-T分支：分支圖與軌線拓?fù)浞诸?lèi) 302
習(xí)題7 303
第8章 常微分方程的應(yīng)用舉例 308
8.1 一個(gè)三種群相互作用的Volterra模型研究 308
8.1.1 正平衡解的穩(wěn)定性 308
8.1.2 模型平面解的存在性及其漸近性態(tài) 311
8.1.3 一個(gè)Volterra模型的Hopf分支 314
8.2 傳染病模型 317
8.2.1 假設(shè)和記號(hào) 317
8.2.2 SIS模型 317
8.2.3 SIR模型 319
8.2.4 SEIR模型 321
8.3 一個(gè)總?cè)丝谧兓�的SEIR模型的全局性態(tài)分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 325
8.3.3 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 327
8.3.4 地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性 329
8.4 三分子反應(yīng)模型 332
8.4.1 模型及其奇點(diǎn)分析 332
8.4.2 極限環(huán)的存在唯一性 334
8.5 一個(gè)具有非線性傳染率的SI模型的穩(wěn)定性與分支 336
8.5.1 具有非線性傳染率的SI模型 336
8.5.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 338
8.5.3 模型（8.5.3)的Bogdanov-Takens分支 341
8.6 一個(gè)具有飽和恢復(fù)率的季節(jié)性傳染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生數(shù) 348
8.6.2 兩個(gè)正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的穩(wěn)定性 354
習(xí)題8 359
參考文獻(xiàn) 362