第1章導言

1.1關于平坦時空

1.2關于張量及其協(xié)變性

1.3關于張量的協(xié)變微分學

1.4博士生的幼稚提問

1.5前輩數(shù)學力學家的疑惑

1.6協(xié)變微分學的局限性

1.7協(xié)變形式不變性

1.8從協(xié)變微分學到協(xié)變變分學

上篇平坦空間中的協(xié)變微分學與廣義協(xié)變微分學

第2章自然標架與自然基矢量的Ricci變換
2.1自然坐標下矢徑微分中的不變性

2.2逆變基矢量

2.3度量張量分量

2.4基矢量的指標變換

2.5協(xié)變基矢量的坐標變換

2.6逆變基矢量的坐標變換

2.7度量張量的雜交分量

2.8統(tǒng)一的Ricci變換

2.9度量張量的兩點分量

2.10本章注釋

第3章分量與廣義分量的Ricci變換

3.1矢量的分解式

3.2矢量分解式中的廣義對偶不變性

3.3矢量分解式中的表觀形式不變性

3.4矢量的Ricci變換群

3.5張量分解式中的不變性與Ricci變換群

3.6廣義分量概念

3.7張量的雜交分量

3.8雜交廣義分量

3.9本章注釋

廣義協(xié)變導數(shù)與平坦時空的協(xié)變形式不變性
目錄

第4章分量的協(xié)變導數(shù)

4.1從矢量場的偏導數(shù)到矢量分量的協(xié)變導數(shù)

4.2從張量場的偏導數(shù)到張量分量的協(xié)變導數(shù)

4.3經典協(xié)變導數(shù)的協(xié)變性

4.4度量張量分量的普通偏導數(shù)和經典協(xié)變導數(shù)

4.5分量之積的協(xié)變導數(shù)定義式

4.6類組合模式與經典協(xié)變導數(shù)的代數(shù)結構

4.7第二類組合模式

4.8矢量分量的雜交協(xié)變導數(shù)

4.9張量雜交分量的協(xié)變導數(shù)

4.10度量張量的雜交分量的協(xié)變導數(shù)

4.11張量雜交分量之積的雜交協(xié)變導數(shù)

4.12經典協(xié)變導數(shù)中的結構模式

4.13經典協(xié)變導數(shù)的概念生成模式

4.14再看經典協(xié)變導數(shù)的協(xié)變性

4.15普通偏導數(shù)的非協(xié)變性

4.16指標概念的補充分類

4.17Christoffel符號的進一步分析

4.18雜交Christoffel符號的進一步分析

4.19再看雜交Christoffel符號下指標的非對稱性

4.20不易察覺的陷阱

4.21協(xié)變導數(shù)的代數(shù)結構再分析

4.22本章注釋

第5章廣義分量的廣義協(xié)變導數(shù)

5.1矢量分量協(xié)變導數(shù)的延拓

5.2張量分量協(xié)變導數(shù)的延拓

5.3協(xié)變形式不變性公設

5.4雜交廣義協(xié)變導數(shù)求導指標的變換關系

5.5廣義分量之積的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

5.6類組合模式與Leibniz法則

5.7第二類組合模式

5.8矢量實體的廣義協(xié)變導數(shù)

5.9標量場函數(shù)的廣義協(xié)變導數(shù)

5.10張量實體的廣義協(xié)變導數(shù)

5.11度量張量行列式及其根式之廣義協(xié)變導數(shù)的定義式

5.12 廣義協(xié)變導數(shù)的代數(shù)結構

5.13協(xié)變微分學中的量系及其分類

5.14本章注釋

第6章廣義協(xié)變導數(shù)的微分不變性質

6.1廣義協(xié)變導數(shù)的基本微分不變性質

6.2協(xié)變微分不變式

6.3有潛在物理意義的協(xié)變微分不變式

6.4協(xié)變微分變換群

6.5協(xié)變微分變換群的諸等價形式

6.6度量張量的協(xié)變導數(shù)計算式

6.7廣義協(xié)變導數(shù)的協(xié)變性

6.8Eddington張量的協(xié)變導數(shù)計算式

6.9度量張量行列式及其根式的協(xié)變導數(shù)的計算式

6.10本征協(xié)變微分不變式之值

6.11協(xié)變微分變換群下的協(xié)變微分不變量

6.12協(xié)變微分變換群下的推論與特例

6.13本章注釋

第7章廣義協(xié)變導數(shù)的積分不變性質

7.1協(xié)變微分變換群下的微分不變量回顧

7.2積分定理： 從直線坐標系到曲線坐標系的推廣

7.3積分定理： 曲線坐標系下的極限逼近

7.4積分定理： 微分不變量之關聯(lián)的妙用

7.5事后諸葛式的追問

7.6梯度定理

7.7散度定理

7.8旋度定理

7.9Stokes定理(廣義環(huán)量定理)

7.10Green積分定理

7.11本章注釋

第8章高階廣義協(xié)變導數(shù)

8.10�仓笜藦V義分量的二階廣義協(xié)變導數(shù)

8.21�仓笜藦V義分量的二階廣義協(xié)變導數(shù)

8.32�仓笜藦V義分量的二階廣義協(xié)變導數(shù)

8.4平坦空間的對稱性

8.5二階的協(xié)變微分不變式

8.6二階的協(xié)變微分不變量與偏微分不變量之關系

8.7二階的協(xié)變微分不變量與基本微分不變量之關系

8.8三階的協(xié)變微分不變量與基本微分不變量之關系

8.9與二階不變量微分算子對應的廣義Gauss積分定理

8.10物理學和力學中的二階不變量微分算子

8.11與二階微分算子對應的Green積分定理

8.12本章注釋

第9章平坦空間中的廣義協(xié)變微分

9.1場函數(shù)的Taylor級數(shù)展開與張量的經典微分概念

9.2矢量分量的經典協(xié)變微分

9.3張量分量的經典協(xié)變微分

9.4張量雜交分量的經典協(xié)變微分

9.5協(xié)變形式不變性公設

9.6廣義分量之廣義協(xié)變微分的公理化定義式

9.7廣義協(xié)變微分定義式中的基本組合模式

9.8廣義協(xié)變微分定義式中的類組合模式和Leibniz法則

9.9廣義協(xié)變微分定義式中的第二類組合模式

9.10矢量實體的廣義協(xié)變微分

9.11張量實體的廣義協(xié)變微分

9.12張量之積的廣義協(xié)變微分

9.13度量張量行列式之根式的廣義協(xié)變微分

9.14廣義協(xié)變微分的代數(shù)結構

9.15協(xié)變微分變換群

9.16度量張量的廣義協(xié)變微分之值

9.17廣義協(xié)變微分的協(xié)變性

9.18Eddington張量的廣義協(xié)變微分之值

9.19有趣的結果

9.20本章注釋

第10章協(xié)變微分學的結構

10.1上篇的脈絡

10.2協(xié)變微分學的基本圖式

10.3歷史的借鑒

10.4關于協(xié)變微分變換群的運動學含義

10.5關于變換群下的不變性

10.6關于Bourbaki學派的思想

10.7下篇展望

下篇平坦空間中的協(xié)變變分學和廣義協(xié)變變分學

第11章Euler描述下平坦空間本征幾何量的物質導數(shù)
11.1Euler描述

11.2Euler基矢量的定義

11.3Euler描述下物質導數(shù)的定義

11.4物質點的速度與連續(xù)體上分布的速度場

11.5關于隱態(tài)函數(shù)的一般性命題

11.6物質點處Euler基矢量的物質導數(shù)

11.7物質點處度量張量分量的物質導數(shù)

11.8度量張量雜交分量的物質導數(shù)

11.9物質點處度量張量行列式及其根式的物質導數(shù)

11.10有關Euler基矢量的命題

11.11Christoffel符號的物質導數(shù)

11.12本章注釋

第12章Euler描述下分量對時間的狹義協(xié)變導數(shù)

12.1矢量分量對時間t的協(xié)變導數(shù)

12.2對時間t的協(xié)變導數(shù)與全導數(shù)之關系

12.3張量分量對時間的協(xié)變導數(shù)

12.4度量張量分量對時間參數(shù)的協(xié)變導數(shù)

12.5張量的雜交分量對時間的協(xié)變導數(shù)

12.6度量張量的雜交分量對時間參數(shù)的協(xié)變導數(shù)

12.7對時間的狹義協(xié)變導數(shù)與時間域上的聯(lián)絡概念

12.8本章注釋

第13章Euler描述下廣義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)

13.1對稱性的破缺

13.2時間域上的協(xié)變形式不變性公設

13.31�仓笜藦V義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

13.42�仓笜藦V義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

13.5雜交廣義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

13.6廣義協(xié)變導數(shù)�齮(·)中的基本組合模式

13.7基本組合模式的統(tǒng)一表達式

13.8廣義協(xié)變導數(shù)�齮(·)中的類組合模式和代數(shù)結構

13.9廣義協(xié)變導數(shù)�齮(·)中的第二類組合模式

13.10實體量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)

13.11度量張量行列式及其根式對時間的廣義協(xié)變導數(shù)

13.12時間域上的協(xié)變微分變換群

13.13協(xié)變微分變換群應用于度量張量分量

13.14變換群應用于Eddington張量

13.15變換群應用于度量張量行列式之根式

13.16與Euler基矢量相關的一般性命題

13.17對時間的廣義協(xié)變導數(shù)的協(xié)變性

13.18對稱性的修復

13.19有趣的現(xiàn)象

13.20Euler時空上的高階廣義協(xié)變導數(shù)

13.21本章注釋

第14章Euler描述下的廣義協(xié)變變分

14.1Euler描述下場函數(shù)對時間的Taylor級數(shù)展開

14.2矢量分量的狹義協(xié)變變分

14.3張量分量的狹義協(xié)變變分

14.4張量雜交分量的狹義協(xié)變變分

14.5協(xié)變形式不變性公設

14.6廣義分量之廣義協(xié)變變分的公理化定義式

14.7廣義協(xié)變變分中的基本組合模式

14.8廣義協(xié)變變分中的類組合模式和Leibniz法則

14.9廣義協(xié)變變分中的第二類組合模式

14.10矢量實體的廣義協(xié)變變分

14.11張量實體的廣義協(xié)變變分

14.12張量之積的廣義協(xié)變變分

14.13度量張量行列式之根式的廣義協(xié)變變分

14.14廣義協(xié)變變分的代數(shù)結構

14.15協(xié)變變分變換群

14.16度量張量的協(xié)變變分之值

14.17廣義協(xié)變變分的協(xié)變性

14.18Eddington張量的廣義協(xié)變變分之值

14.19度量張量行列式及其根式的廣義協(xié)變變分之值

14.20微分/變分運算順序的不可交換性

14.21Euler描述下的虛位移概念

14.22本章注釋

第15章Lagrange描述下空間本征幾何量的物質導數(shù)

15.1Lagrange描述

15.2Lagrange描述下物質導數(shù)的定義

15.3物質點的速度與連續(xù)體上的速度場

15.4Lagrange基矢量的物質導數(shù)

15.5度量張量的Lagrange分量的物質導數(shù)

15.6度量張量的Lagrange雜交分量的物質導數(shù)

15.7度量張量行列式及其根式的物質導數(shù)

15.8Christoffel符號的物質導數(shù)

15.9奇特的現(xiàn)象

15.10本章注釋

第16章Lagrange描述下分量對時間的狹義協(xié)變導數(shù)

16.1矢量的Lagrange分量對時間t^的狹義協(xié)變導數(shù)

16.2張量的Lagrange分量對時間參數(shù)t^的狹義協(xié)變導數(shù)

16.3度量張量的Lagrange分量對時間參數(shù)t^的狹義協(xié)變導數(shù)

16.4張量的Lagrange雜交分量對時間t^的狹義協(xié)變導數(shù)

16.5度量張量的Lagrange雜交分量對時間t^的狹義協(xié)變導數(shù)

16.6贗分量

16.7贗廣義分量

16.8本章注釋

第17章Lagrange描述下廣義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)

17.1對稱性的破缺

17.2Lagrange時間域上的協(xié)變形式不變性公設

17.31�仓笜藦V義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

17.42�仓笜藦V義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

17.5雜交廣義分量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)定義式

17.6廣義協(xié)變導數(shù)�齮^(·)中的類組合模式與代數(shù)結構

17.7第二類組合模式

17.8實體量對時間的廣義協(xié)變導數(shù)

17.9度量張量行列式及其根式對時間的狹義協(xié)變導數(shù)

17.10動態(tài)Lagrange空間域上的廣義協(xié)變導數(shù)�齧^(·)

17.11時間域上的協(xié)變微分變換群

17.12協(xié)變微分變換群應用于度量張量

17.13協(xié)變微分變換群應用于度量張量的雜交分量

17.14協(xié)變微分變換群應用于Eddington張量

17.15協(xié)變微分變換群應用于g^

17.16與Lagrange基矢量相關的一般性命題

17.17廣義協(xié)變導數(shù)�齮^(·)的協(xié)變性

17.18對稱性的修復

17.19有趣的現(xiàn)象

17.20Lagrange時空上的高階廣義協(xié)變導數(shù)

17.21本章注釋

第18章Lagrange描述下的廣義協(xié)變變分

18.1Lagrange描述下場函數(shù)對時間的Taylor級數(shù)展開

18.2矢量的Lagrange分量的狹義協(xié)變變分

18.3張量的Lagrange分量的狹義協(xié)變變分

18.4張量的Lagrange雜交分量的狹義協(xié)變變分

18.5協(xié)變形式不變性公設

18.6Lagrange廣義分量的廣義協(xié)變變分及其公理化定義式

18.7廣義協(xié)變變分中的基本組合模式

18.8廣義協(xié)變變分中的類組合模式和Leibniz法則

18.9廣義協(xié)變變分中的第二類組合模式

18.10矢量實體的廣義協(xié)變變分

18.11張量實體的廣義協(xié)變變分

18.12張量之積的廣義協(xié)變變分

18.13度量張量行列式之根式的廣義協(xié)變變分

18.14廣義協(xié)變變分的代數(shù)結構

18.15協(xié)變變分變換群

18.16度量張量的廣義協(xié)變變分之值

18.17廣義協(xié)變變分的協(xié)變性

18.18Eddington張量的廣義協(xié)變變分之值

18.19度量張量行列式及其根式的廣義協(xié)變變分之值

18.20Lagrange描述下微分/變分運算順序的可交換性分析

18.21Lagrange描述下的虛位移概念

18.22本章注釋

第19章協(xié)變變分學的結構

19.1Euler空間域上的協(xié)變微分學圖式

19.2Euler時間域上的協(xié)變變分學圖式

19.3Lagrange空間域上的協(xié)變微分學圖式

19.4Lagrange時間域上的協(xié)變變分學圖式

19.5Euler時空與Lagrange時空的統(tǒng)一性

19.6局部化的觀點看張量的協(xié)變變分學

19.7從微分學的協(xié)變性到變分學的協(xié)變性

19.8再看協(xié)變性概念的生成模式

19.9后續(xù)發(fā)展展望

參考文獻