現(xiàn)代微分幾何把分析工具拓廣到更一般的空間，即流形上，并進而研究流形上的幾何學。全書共分5章。第1章介紹Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和Riemann截曲率；第2章介紹Laplace算子Δ的特征值、Hodge分解定理、譜理論和等譜問題；第3章介紹Riemann幾何中的比較定理；第4章介紹特征值的估計和等譜問題的研究；第5章介紹曲率與拓撲不變量。
徐森林，1941年出生，著名數(shù)學家，中國科學技術(shù)大學數(shù)學系教授，博士生導師。1965年畢業(yè)于中國科學技術(shù)大學數(shù)學系幾何拓撲學專業(yè)，師從著名數(shù)學家、中國科學院資深院士吳文俊先生，畢業(yè)后留校工作。主要從事幾何、拓撲和計算復雜性理論方面的研究，曾先后在美國普林斯頓大學（1982-1984）、意大利國際物理中心（1988）、美國普渡大學、美國芝加哥大學（1995）等知名學府進行訪問、合作研究，自1989年以來一直擔任美國《數(shù)學評論》（Math. Rev.）特邀評論員。因在幾何與拓撲方面科研成果突出，多次獲得第三世界科學院（TWAS）科學基金、國家自然科學基金和科學院專題基金。教學工作成果非常突出，培養(yǎng)了一大批知名數(shù)學家，獲得過包括寶鋼教學獎在內(nèi)的多項獎項。編著過多部教材，深受數(shù)學專業(yè)學生喜愛，其中與他人合寫的《數(shù)學分析》于1986年獲國家教委優(yōu)秀教材二等獎。1990-1995年和1995-2000年分別擔任首屆和第二屆教育部數(shù)學與力學教學指導委員會委員。在數(shù)學研究和教學上的成就受到了國內(nèi)外數(shù)學界的重視，1995年被收入美國《世界名人錄》。
序言
前言
第1章 Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和Riemann截曲率
1．1 向量叢上的線性聯(lián)絡(luò)
1．2 切叢上的線性聯(lián)絡(luò)、向量場的平移和測地線
1．3 Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和Riemann流形基本定理
1．4 Riemann截曲率、Ricci曲率、數(shù)量曲率和常截曲率流形
1．5 C∞浸入子流形的Riemann聯(lián)絡(luò)
1．6 活動標架
1．7 C∞函數(shù)空間C∞（M，R）=C∞（∧0M）=F0（M）上的Laplace算子△
1．8 全測地、極小和全臍子流形
1．9 Euclid空間和Euclid球面中的極小子流形
1．10 指數(shù)映射、Jacobi場、共軛點和割跡
1．11 長度和體積的第1、第2變分公式
第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、譜理論和等譜問題
2．1 星算子*、上微分算子δ、微分形式Fs（M）=C∞（∧sM）上的Laplace算子△
2．2 Hodge分解定理
2．3 不可定向緊致C∞Riemann流形的Hodge分解定理
2．4 Laplace算子△的特征值
2．5 主特征值的估計
2．6 等譜問題
第3章 Riemann幾何中的比較定理
3．1 Rauch比較定理、Hessian比較定理、Laplace算子比較定理、體積比較定理
3．2 拓撲球面定理
第4章 特征值的估計和等譜問題的研究
4．1 緊致Riemann流形上第1特征值的估計
4．2 關(guān)于Laplace算子的大特征值
4．3 緊致流形的Laplace算子的譜
4．4 球面上緊致子流形的等譜問題
4．5 Clifford超曲面Mn1，n2的譜
4．6 緊致極小超曲面上Laplace算子的譜
4．7 緊致超曲面上Laplace算子的譜
第5章 曲率與拓撲不變量
5．1 具有非負Ricci曲率和大體積增長的開流形
5．2 完備非緊流形上射線的excess函數(shù)
5．3 具有非負Ricci曲率的開流形的拓撲
5．4 具有非負曲率完備流形的體積增長及其拓撲
5．5 小excess與開流形的拓撲
5．6 曲率下界與有限拓撲型
5．7 excess函數(shù)的一個應用
5．8 小excess和Ricci曲率具有負下界的開流形的拓撲
5．9 具有非負Ricci曲率的開流形的基本群（Ⅰ）
5．10 具有非負Ricci曲率的開流形的基本群（Ⅱ）
5．11 漸近非負Ricci曲率和弱有界幾何的完備流形
5．12 曲率與Betti數(shù)
5．13 球面同倫群的伸縮不變量
5．14 積分Ricci曲率有下界對基本群和第1 Betti數(shù)的限制
5．15 具有有限調(diào)和指標的極小超曲面
參考文獻
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