目錄
譯者的話
記號(hào)與術(shù)語(yǔ)
序言
對(duì)讀者的建議
第一部分 預(yù)備知識(shí)
第一章 背景材料 2
1.1 非線性問題如何產(chǎn)生 2
1.1A 微分幾何學(xué)上的來源 2
1.1B 數(shù)學(xué)物理中的來源 9
1.1C 變分學(xué)中的來源 16
1.2 遭遇的典型困難 18
1.2A 固有的困難 18
1.2B 非固有的困難 22
1.3 來自泛函分析的細(xì)節(jié) 26
1.3A Banach空間和Hilbert空間 26
1.3B 一些有用的Banach空間 28
1.3C 有界線性泛函和弱收斂 32
1.3D 緊性 34
1.3E 有界線性算子 35
1.3F 特殊類型的有界線性算子 38
1.4 不等式與估計(jì) 43
1.4A 空間W1，p(Ω)(1≤p<∞) 44
1.4B 空間Wm，p(RN)和Wom，p(Ω)(m≥1，m是整數(shù)，1≤p<∞) 50
1.4C 對(duì)線性橢圓型微分算子的估計(jì) 51
1.5 微分系統(tǒng)的經(jīng)典解和廣義解 53
1.5A Wm，p中的弱解 54
1.5B 半線性橢圓型系統(tǒng)弱解的正則性 55
1.6 有限維空間之間的映射 59
1.6A Euclid空間之間的映射 59
1.6B 同倫不變性 62
1.6C 同調(diào)與上同調(diào)不變量 65
注記 68
第二章 非線性算子 76
2.1 初等微積分 76
2.1A 有界性和連續(xù)性 76
2.1B 積分 78
2.1C 微分 81
2.1D 多重線性算子 85
2.1E 高階導(dǎo)數(shù) 87
2.2 具體的非線性算子 93
2.2A 復(fù)合算子 93
2.2B 微分算子 94
2.2C 積分算子 96
2.2D 微分算子的表示法 98
2.3 解析算子 103
2.3A 等價(jià)定義 103
2.3B 基本性質(zhì) 108
2.4 緊算子 109
2.4A 等價(jià)定義 109
2.4B 基本性質(zhì) 112
2.4C 緊微分算子 114
2.5 梯度映射 116
2.5A 等價(jià)定義 116
2.5B 基本性質(zhì) 119
2.5C 特殊的梯度映射 123
2.6 非線性Fredholm算子 126
2.6A 等價(jià)定義 126
2.6B 基本性質(zhì) 127
2.6C 微分Fredholm算子 128
2.7 真映射 129
2.7A 等價(jià)定義 129
2.7B 基本性質(zhì) 132
2.7C 作為真映射的微分算子 133
注記 136
第二部分 局部分析
第三章 單個(gè)映射的局部分析 143
3.1 逐次逼近法 143
3.1A 壓縮映射原理 143
3.1B 反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理 145
3.1C Newton法 149
3.1D 局部滿射性的一個(gè)判別法 154
3.1E 對(duì)常微分方程的應(yīng)用 156
3.1F 對(duì)等周問題的應(yīng)用 160
3.1G 對(duì)映射奇異性的應(yīng)用 165
3.2 梯度映射的最速下降法 169
3.2A 局部極小的連續(xù)下降法 170
3.2B 等周變分問題的最速下降法 172
3.2C 對(duì)于一般臨界點(diǎn)的結(jié)果 175
3.2D 關(guān)于一般光滑映射的最速下降法 178
3.3 解析算子和強(qiáng)函數(shù)法 179
3.3A 一些啟發(fā) 179
3.3B 一個(gè)解析隱函數(shù)定理 180
3.3C 復(fù)解析Fredholm算子的局部性態(tài) 183
3.4 廣義反函數(shù)定理 185
3.4A 一些啟發(fā) 185
3.4B J.Moser的一個(gè)結(jié)果 186
3.4C 光滑算子 189
3.4D 對(duì)于局部共軛問題的反函數(shù)定理 192
注記 195
第四章 依賴于參數(shù)的擾動(dòng)現(xiàn)象 202
4.1 分歧理論——一個(gè)構(gòu)造性方法 202
4.1A 定義和基本問題 203
4.1B 簡(jiǎn)化為有限維問題 207
4.1C 單重情況 209
4.1D 一個(gè)收斂的迭代格式 213
4.1E 高重情況 218
4.2 分歧理論中的超越方法 221
4.2A 一些啟發(fā) 221
4.2B 分歧理論中的Brouwer度 223
4.2C 初等臨界點(diǎn)理論 226
4.2D 分歧理論中的 Morse型數(shù) 231
4.3 具體的分歧現(xiàn)象 234
4.3A 限制三體問題中平衡點(diǎn)附近的周期運(yùn)動(dòng) 234
4.3B 非線性彈性中的屈曲現(xiàn)象 239
4.3C Navier-Stokes方程的第二定常流 247
4.3D 緊復(fù)流形上復(fù)結(jié)構(gòu)的分歧 254
4.4 漸近展開和奇異擾動(dòng) 259
4.4A 一些啟發(fā) 259
4.4B 形式漸近展開的有效性 261
4.4C 對(duì)半線性Dirichlet問題(Πε)的應(yīng)用 270
4.5 經(jīng)典數(shù)學(xué)物理中的某些奇異擾動(dòng)問題 276
4.5A 由瞬時(shí)力作用的非諧振子的擾動(dòng) 277
4.5B 非線性彈性中的薄膜逼近 278
4.5C 黏性流體的擾動(dòng)Jeffrey-Hamel流 280
注記 285
第三部分 大范圍分析
第五章 一般非線性算子的全局性理論 293
5.1 線性化 293
5.1A 整體同胚 294
5.1B 具奇異值的映射 304
5.2 有限維逼近 313
5.2A Galerkin逼近 313
5.2B 對(duì)擬線性橢圓型方程的應(yīng)用 318
5.2C 強(qiáng)制性限制的消除 320
5.2D 梯度算子的Rayleigh-Ritz逼近 324
5.2E Navier-Stokes方程的定常態(tài)解 326
5.3 同倫，映射度及其推廣 330
5.3A 一些啟發(fā) 330
5.3B 連續(xù)映射的緊擾動(dòng) 331
5.3C 恒等算子的緊擾動(dòng)與Leray-Schauder度 335
5.3D 線性Fredholm映射的緊擾動(dòng)及穩(wěn)定同倫 349
5.3E 零指標(biāo)C2真Fredholm算子的廣義度 358
5.4 同倫和非線性算子的映射性質(zhì) 362
5.4A 滿射性質(zhì) 362
5.4B 單葉性和同胚性質(zhì) 364
5.4C 不動(dòng)點(diǎn)定理 367
5.4D 譜性質(zhì)和非線性本征值問題 370
5.4E 可解性的充要條件及其推論 377
5.4F 保錐算子的性質(zhì) 381
5.5 對(duì)非線性邊值問題的應(yīng)用 384
5.5A 擬線性橢圓型方程的Dirichlet問題 385
5.5B Δu+f(x，u)=0的Dirichlet問題的正解 387
5.5C 周期水波 389
5.5D 自治系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的延拓 395
5.5E 強(qiáng)制半線性橢圓型邊值問題可解的充要條件 398
注記 400
第六章 梯度映射的臨界點(diǎn)理論 406
6.1 極小化問題 406
6.1A 下確界的達(dá)到 407
6.1B 一個(gè)例證 413
6.1C 與擬線性橢圓型方程有關(guān)的極小化問題 415
6.2 來自幾何學(xué)與物理學(xué)的具體極小化問題 424
6.2A 常值負(fù)Hermite純量曲率的Hermite度量 424
6.2B 非線性彈性中的穩(wěn)定平衡態(tài) 430
6.2C Plateau問題 434
6.2D Euclid量子場(chǎng)論中的動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定性(在平均場(chǎng)逼近下) 437
6.3 等周問題 439
6.3A 梯度映射的非線性本征值問題 440
6.3B 半線性梯度算子方程的可解性 448
6.4 幾何和物理中的等周問題 455
6.4A 非線性Hamilton系統(tǒng)的大振幅周期解族 455
6.4B 具零Euler-Poincare示性數(shù)的緊2維流形之指定Gauss曲率的Riemann結(jié)構(gòu) 461
6.4C 具指定純量曲率的Riemann流形 465
6.4D S2上指定Gauss曲率的共形度量 467
6.4E 一個(gè)全局性自由邊界問題——理想流體中持久形式的定常渦環(huán) 471
6.5 Hilbert空間中的MarstonMorse臨界點(diǎn)理論 477
6.5A 最速下降法的一個(gè)改進(jìn) 478
6.5B 退化與非退化臨界點(diǎn) 479
6.5C Morse型數(shù) 483
6.5D Morse不等式 488
6.5E 例證 490
6.6 Ljusternik和Schnirelmann的臨界點(diǎn)理論 494
6.6A 一些啟發(fā) 494
6.6B 極小極大原理 495
6.6C Ljusternik-Schnirelmann范疇 499
6.6D 對(duì)非線性本征值問題的應(yīng)用 501
6.7 一般臨界點(diǎn)理論的應(yīng)用 505
6.7A 對(duì)梯度映射分歧理論的應(yīng)用 505
6.7B 含梯度映射的算子方程的多重解 510
6.7C 柔彈性板的整體平衡態(tài) 512
6.7D 某些非線性波動(dòng)方程的定態(tài) 517
6.7E 緊Riemann流形兩點(diǎn)間的測(cè)地線 520
注記 522
附錄A 關(guān)于微分流形 527
附錄B 關(guān)于微分形式的Hodge-Kodaira分解 533
參考文獻(xiàn) 536
漢英數(shù)學(xué)詞匯對(duì)照 553