第1章 行 列 式
　　最初的行列式理論是人們從求解線性方程組的過(guò)程中建立和發(fā)展起來(lái)的，它在線性代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)分支上都有著廣泛的應(yīng)用。本章我們主要討論以下幾個(gè)問題。
　　(1) 行列式的定義；
　　(2) 行列式的基本性質(zhì)及計(jì)算方法；
　　(3) 利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則)。
　　1.1 二階與三階行列式
　　設(shè)有二元線性方程組
　　(1.1)
　　使用加減消元法求解該方程組未知數(shù)的值，當(dāng)時(shí)，可得
　　(1.2)
　　這就是求解二元線性方程組的一般公式。但這個(gè)公式很繁雜，不容易記憶。為此我們引入新的運(yùn)算符號(hào)來(lái)表示式(1.2)這個(gè)結(jié)果，這就是行列式的起源。我們稱
　　為二階行列式。它含有兩行兩列。橫排稱為行，豎排稱為列。
　　數(shù)(i=1,2；j=1,2)為二階行列式的元素，元素的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素所在的行數(shù)，稱為行標(biāo)；第二個(gè)下標(biāo)j表示這個(gè)元素所在的列數(shù)，稱為列標(biāo)。
　　從上述定義得知，二階行列式是這樣兩項(xiàng)的代數(shù)和：是從左上角到右下角的對(duì)角線(又叫行列式的主對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積，取正號(hào)；是從右上角到左下角的對(duì)角線(又叫次對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積，取負(fù)號(hào)。可參考圖1.1來(lái)記憶。
　　圖1.1
　　根據(jù)二階行列式的定義，式(1.2)中的兩個(gè)分子也可寫成二階行列式，即
　　設(shè)
　　，，
　　當(dāng)時(shí)，則方程組(1.1)的解的表達(dá)式(1.2)可以表示成
　　， (1.3)
　　式(1.3)中分母的行列式是由方程組(1.1)中未知數(shù)的系數(shù)按其原有的相對(duì)位置排成的，稱為系數(shù)行列式；的分子行列式可以看成是把系數(shù)行列式的第1列換成方程組(1.1)中的常數(shù)項(xiàng)得到的，而的分子行列式則可以看成是把系數(shù)行列式的第2列換成式(1.1)中的常數(shù)項(xiàng)得到的。
　　例1.1 用二階行列式解線性方程組
　　解 由于
　　因此
　　，
　　對(duì)于三元一次線性方程組
　　(1.4)
　　可引入三階行列式的概念。我們稱
　　(1.5)
　　為三階行列式。它有三行三列，共六項(xiàng)的代數(shù)和。這六項(xiàng)的和也可用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素的乘積取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素的乘積取負(fù)號(hào)，如圖1.2所示。
　　=
　　圖1.2
　　對(duì)于三元一次線性方程組(1.4)的求解，也有類似二元線性方程組的解的表達(dá)式(1.3)的結(jié)論。
　　設(shè)
　　，，，
　　當(dāng)時(shí)，方程組(1.4)有解，且解可簡(jiǎn)單地表示成
　　，， (1.6)
　　例1.2 計(jì)算
　　解 由三階行列式的定義得
　　例1.3 解線性方程組
　　解
　　，
　　，
　　由式(1.6)得
　　例1.4 滿足什么條件時(shí)有
　　(其中均為實(shí)數(shù))
　　解
　　由題知，所以a、b須同時(shí)等于0。
　　因此，當(dāng)且時(shí)，給定的行列式等于0。
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