本書(shū)涵蓋了高等工科院校的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)基本要求》中的全部知識(shí), 對(duì)理工科學(xué)生需要掌握的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行了深入細(xì)致的講解。對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程中需要掌握的基本概念、基本定理、基本方法給出了解釋和說(shuō)明, 力求在循序漸進(jìn)的過(guò)程中, 使讀者逐步掌握這門(mén)課程的內(nèi)容。
張艷，北京建筑大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事的教學(xué)、科研工作。承擔(dān)本科生課程：高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線(xiàn)性代數(shù)，研究生課程：矩陣論，漸近分析方法�？蒲兄饕较�?yàn)槠⒎址匠汤碚撆c應(yīng)用。針對(duì)生物流體、高分子材料等非牛頓流體的流動(dòng)傳熱現(xiàn)象，結(jié)合數(shù)學(xué)物理分析方法，用非線(xiàn)性偏微分方程描述流體的傳遞擴(kuò)散本質(zhì)，通過(guò)對(duì)方程解的分析，解釋化工、醫(yī)學(xué)、能源等領(lǐng)域流體力學(xué)熱點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)。主持國(guó)家自然科學(xué)基金1項(xiàng)，北京市教委科技面上項(xiàng)目1項(xiàng)，北京市中青年骨干人才培養(yǎng)資助項(xiàng)目1項(xiàng)等10余項(xiàng)課題，發(fā)表論文60余篇，主編出版教材6部。北京市高校第五屆青年教師教學(xué)基本功比賽一等獎(jiǎng)、*佳教案獎(jiǎng)、*佳教學(xué)演示獎(jiǎng)，北京市教育創(chuàng)新標(biāo)兵，北京高校優(yōu)秀共產(chǎn)黨員�！癝CI”國(guó)際期刊“Discrete Dynamics in Nature and Society”、“International Journal of Heat and Mass Transfer”等審稿人。
第1章隨機(jī)事件的概率1
1.1隨機(jī)事件1
1.2隨機(jī)事件的概率7
1.3古典概型9
1.4條件概率14
1.5事件的獨(dú)立性19
小結(jié)21
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖22
總習(xí)題123
自測(cè)題123
第2章隨機(jī)變量及其分布25
2.1隨機(jī)變量25
2.2離散型隨機(jī)變量及其分布27
2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)33
2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度37
2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布46
小結(jié)51
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖52
總習(xí)題253
自測(cè)題255
第3章多維隨機(jī)變量及其分布57
3.1二維隨機(jī)變量57
3.2邊緣分布64
3.3條件分布66
3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性70
3.5二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布73
小結(jié)78
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖80
總習(xí)題381自測(cè)題382
第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征85
4.1數(shù)學(xué)期望85
4.2方差93
4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)99
4.4矩103
小結(jié)103
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖103
總習(xí)題4104
自測(cè)題4105
第5章大數(shù)定律及中心極限定理107
5.1大數(shù)定律107
5.2中心極限定理111
小結(jié)115
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖115
總習(xí)題5115
自測(cè)題5117
第6章樣本及抽樣分布118
6.1隨機(jī)樣本118
6.2抽樣分布121
小結(jié)131
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖132
總習(xí)題6132
自測(cè)題6133
第7章參數(shù)估計(jì)135
7.1點(diǎn)估計(jì)135
7.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)143
7.3置信區(qū)間146
7.4正態(tài)總體的置信區(qū)間149
小結(jié)159
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖160
總習(xí)題7160
自測(cè)題7162
第8章假設(shè)檢驗(yàn)164
8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念164
8.2雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)169
8.3單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)178
8.4樣本容量的選取186
小結(jié)190
知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖191
總習(xí)題8193
自測(cè)題8195
第9章概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)197
9.1實(shí)驗(yàn)一MATLAB的基本操作197
9.2實(shí)驗(yàn)二常用概率分布的函數(shù)213
9.3實(shí)驗(yàn)三頻率與概率217
9.4實(shí)驗(yàn)四常用統(tǒng)計(jì)命令220
9.5實(shí)驗(yàn)五參數(shù)估計(jì)224
9.6實(shí)驗(yàn)六假設(shè)檢驗(yàn)226
9.7實(shí)驗(yàn)七方差分析229
9.8實(shí)驗(yàn)八回歸分析233
習(xí)題答案237
自測(cè)題答案251附表1幾種常用的概率分布261附表2泊松分布表262附表3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表265附表4t分布表266附表5χ2分布表267附表6F分布表269附表7均值的t檢驗(yàn)的樣本容量276附表8均值差的t檢驗(yàn)的樣本容量278參考文獻(xiàn)280
第3章多維隨機(jī)變量及其分布第2章主要講述了隨機(jī)變量以及隨機(jī)變量的分布.但在實(shí)際應(yīng)用中面對(duì)的情況經(jīng)常是十分復(fù)雜的，除了需要研究一個(gè)隨機(jī)變量外，更多的情況要涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量之間往往存在著一定的聯(lián)系，經(jīng)常需要將它們作為一個(gè)整體來(lái)考察.因此，引入多維隨機(jī)變量（有時(shí)也稱(chēng)為隨機(jī)向量）的概念，并對(duì)其分布加以研究很有必要.
本章主要介紹二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨(dú)立性等概念，并分別針對(duì)離散型二維隨機(jī)變量和連續(xù)型二維隨機(jī)變量進(jìn)行深入探討，最后介紹幾種常用的兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.
3.1二維隨機(jī)變量〖*1〗一、 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一個(gè)隨機(jī)變量只能描述單個(gè)不確定結(jié)果，在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的變量常常是兩個(gè)或兩個(gè)以上，這需要在對(duì)每個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行研究以外，還要對(duì)它們之間的關(guān)系加以關(guān)注，由此就引出了多維隨機(jī)變量的概念.
定義1設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間S={e}，設(shè)Xi=Xi(e)，i=1,2,…,n，是定義在S上的n個(gè)隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X1,X2,…,Xn)叫做n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量（ndimensional random variable）.
特殊地，當(dāng)n=2時(shí)，(X1,X2)構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量，通常記做(X,Y).本書(shū)圍繞二維隨機(jī)變量展開(kāi)講解，三維及更高維的情況與此類(lèi)似.
例如，向某個(gè)平面區(qū)域隨機(jī)打點(diǎn)，描述該點(diǎn)的位置，需要兩個(gè)隨機(jī)變量X(e),Y(e)分別表示該隨機(jī)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量.在研究某一地區(qū)成年男子身體狀況時(shí)，每位成年男子的身高X(e)和體重Y(e)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)；考察某一地區(qū)的氣候狀況時(shí)，該地區(qū)每天的日平均氣溫X(e)和日平均濕度Y(e)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y).
注意: 必須是針對(duì)同一個(gè)樣本點(diǎn)e的X(e)和Y(e)，才能構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量.
對(duì)于二維隨機(jī)變量，仍然是通過(guò)分布函數(shù)、分布律和概率密度這三個(gè)工具來(lái)研究取值規(guī)律的.
與一維隨機(jī)變量類(lèi)似，首先給出二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義.
定義2設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，稱(chēng)二元函數(shù)F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}（3.1.1）為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)(joint distribution function).
類(lèi)似的，可以有n維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義.
定義3n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，稱(chēng)n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}（3.1.2）為隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).
下面以二維隨機(jī)變量為例，對(duì)分布函數(shù)加以深入研究. 如果把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，式（3.1.1）右端可以理解為隨機(jī)點(diǎn)落入平面區(qū)域D={(X,Y)|X≤x,Y≤y}的概率，即以點(diǎn)(x,y)為右上端點(diǎn)的無(wú)窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.如圖31陰影部分所示.
由此可知，一旦給出了F(x,y)，就可以計(jì)算事件{x1圖32
其次，分布函數(shù)F(x,y)具有如下基本性質(zhì):
(1) 分布函數(shù)F(x,y)是關(guān)于x（或y）的單調(diào)不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y，當(dāng)x1(2) 0≤F(x,y)≤1，且F(－∞,－∞)=limx→－∞
y→－∞F(x,y)=0；
F(+∞,+∞)=limx→+∞
y→+∞F(x,y)=1；
對(duì)于任意固定的y，F(xiàn)(－∞,y)=limx→－∞F(x,y)=0；
對(duì)于任意固定的x，F(xiàn)(x,－∞)=limy→－∞F(x,y)=0.這四個(gè)式子，可以運(yùn)用分布函數(shù)的幾何意義加以解釋.將圖31中無(wú)窮矩形的上邊界向下無(wú)限平移（即y→－∞），則“隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在這個(gè)矩形內(nèi)”趨于不可能事件，其概率趨于0，即F(x,－∞)=0.當(dāng)上邊界、右邊界分別向上、向右無(wú)限平移，無(wú)窮矩形幾乎擴(kuò)展到全平面，則“隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在這個(gè)矩形內(nèi)”趨于必然事件，其概率趨于1，即F(+∞,+∞)=1.
(3) F(x,y)關(guān)于x（或y）右連續(xù)，即
F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)，x∈R,y∈R.
(4) 對(duì)任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1（2） 求P{0解（1） 由二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)可知:F(+∞,+∞)=AB+π2C+π2=1；
y∈R,F(－∞,y)=AB－π2C+arctany3=0；
x∈R,F(x,－∞)=AB+arctanx3C－π2=0.由第一個(gè)等式可知A≠0，B+π2≠0，C+π2≠0.而第二個(gè)等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)y均成立，
第三個(gè)等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x均成立，由此可知B=π2，C=π2.代入第一個(gè)等式可知A=1π2.即(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=1π2π2+arctanx2π2+arctany3.（2） 由性質(zhì)(4)可知:P{0=1π2π2+π4π2+π2－1π2π2+0π2+π2
－1π2π2+π4π2+π4+1π2π2+0π2+π4
=116.與第2章中對(duì)一維隨機(jī)變量的研究一樣，二維隨機(jī)變量也主要研究離散型和連續(xù)型兩類(lèi)隨機(jī)變量.二、 二維離散型隨機(jī)變量及其分布律
定義4如果二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對(duì)或可列無(wú)限對(duì)，則稱(chēng)(X,Y)是二維離散型的隨機(jī)變量.
如果二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，則稱(chēng)P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…（3.1.4）為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律(joint distribution law).
與一維的情況類(lèi)似，二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可以用表格表示，如下表所示.X
Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2…yjp1jp2j…pij…
二維隨機(jī)變量(X,Y)具有如下性質(zhì):
(1) pij≥0，i,j=1,2,…；
(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.
如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如式（3.1.4）所示，則其分布函數(shù)為F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.（3.1.5）其中，∑xi≤x∑yj≤ypij表示對(duì)不大于x的xi和不大于y的yj所對(duì)應(yīng)的pij求和.
例2設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1～X中等可能地取一個(gè)整數(shù)值，試求(X,Y)的分布律.
解由乘法公式可得pij=P{X=i,Y=j}.
當(dāng)i當(dāng)i≥j時(shí)，pij=P{Y=jX=i}·P{X=i}=1i×14.
于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為X
Y12341141811211620181121160001121160000116
三、 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度
定義5設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv，（3.1.6）則稱(chēng)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或X與Y的聯(lián)合概率密度(joint probability density).
二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)具有下列性質(zhì):
(1) f(x,y)≥0；
(2） ∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1；
(3) 若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，則有2F(x,y)xy=f(x,y)；(4) 設(shè)D為xOy平面上任一區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在D中的概率為P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.在空間解析幾何中，z=f(x,y)表示空間的一個(gè)曲面，由性質(zhì)(2)可知，介于它和xOy平面之間的無(wú)限空間立體的體積為1；由性質(zhì)(4)可知，點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域D中的概率等于以D為底，以z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.
與一維隨機(jī)變量的結(jié)論類(lèi)似，當(dāng)一個(gè)二元函數(shù)f(x,y)滿(mǎn)足性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2)時(shí)，它一定是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.
例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Ae－12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.求: （1） 常數(shù)A； （2） 分布函數(shù)F(x,y)； （3） P{X+Y≤2}.
解（1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)(2)可知:∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ae－12(x+y)dxdy=1. 則A=14，故(X,Y)的概率密度為f(x,y)=14e－12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.（2） F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv
=14∫x0∫y0e－12(u+v)dudv,x≥0,y≥0,
0,其他
=(1－e－x2)(1－e－y2),x≥0,y≥0,
0,其他.
……
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