久久丫亚洲一区二区,日本欧美午夜三级

本書涵蓋了高等工科院校的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)基本要求》中的全部知識(shí), 對(duì)理工科學(xué)生需要掌握的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行了深入細(xì)致的講解。對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程中需要掌握的基本概念、基本定理、基本方法給出了解釋和說(shuō)明, 力求在循序漸進(jìn)的過(guò)程中, 使讀者逐步掌握這門課程的內(nèi)容。

本書是為定位于培養(yǎng)應(yīng)用型人才的工科院校而編寫的教材.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是一門重要的、基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論課程.在本書編寫過(guò)程中，我們參照高等工科院校的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)基本要求》，考慮到教材的系統(tǒng)性，共分9章進(jìn)行編寫.第1章至第5章為概率論的基本內(nèi)容，第6章至第8章為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容，第9章是概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)部分.通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，可使讀者掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論和方法，培養(yǎng)讀者運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分析及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

本書編寫中力求深入淺出，突出重點(diǎn)，對(duì)基本概念、重要公式和定理注意其實(shí)際意義的解釋和說(shuō)明，力求在循序漸進(jìn)的過(guò)程中，使讀者逐步掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法.根據(jù)工科院校后繼課程的要求，本書刪掉了有關(guān)隨機(jī)過(guò)程的內(nèi)容，以便更緊密地結(jié)合各類專業(yè)問(wèn)題，使讀者學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課有的放矢，明確基礎(chǔ)課對(duì)后續(xù)專業(yè)課的意義.對(duì)于本書中一些重要的基本概述，給出了英文對(duì)照，便于讀者查閱相關(guān)文獻(xiàn).本書在每一小節(jié)后相應(yīng)配上了一定數(shù)量的習(xí)題，便于讀者有針對(duì)性地鞏固復(fù)習(xí)；在每一章結(jié)尾處，除總習(xí)題外還配有相應(yīng)的自測(cè)題，自測(cè)題型多樣，覆蓋面廣；并在全書最后給出詳細(xì)解答，便于讀者檢查自己對(duì)本章內(nèi)容的掌握情況.本書內(nèi)容涉及的著名概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家、有趣的數(shù)學(xué)典故和容易混淆的問(wèn)題以補(bǔ)充閱讀材料的形式給出，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)讀者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)讀者對(duì)本課程的興趣.由于計(jì)算機(jī)應(yīng)用日益普及，第9章——概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)——介紹了MATLAB在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，在輔助理解教學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，增強(qiáng)了讀者的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，為讀者解決實(shí)際問(wèn)題奠定了良好的基礎(chǔ).

本書第1章由張麗萍編寫，第2章由張艷編寫，第3章和第5章由張蒙編寫，第4章由劉志強(qiáng)編寫，第6章由徐志潔編寫，第7章由王曉靜編寫，第8章由盧崇煜編寫，第9章由白羽編寫.全書內(nèi)容結(jié)構(gòu)由張艷、程士珍主持設(shè)計(jì)制定，并負(fù)責(zé)統(tǒng)稿和定稿.

由于編者水平有限，書中可能還存在疏漏和不當(dāng)之處，敬請(qǐng)讀者和同行批評(píng)指正.

編者2017年3月

第3章多維隨機(jī)變量及其分布第2章主要講述了隨機(jī)變量以及隨機(jī)變量的分布.但在實(shí)際應(yīng)用中面對(duì)的情況經(jīng)常是十分復(fù)雜的，除了需要研究一個(gè)隨機(jī)變量外，更多的情況要涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量之間往往存在著一定的聯(lián)系，經(jīng)常需要將它們作為一個(gè)整體來(lái)考察.因此，引入多維隨機(jī)變量（有時(shí)也稱為隨機(jī)向量）的概念，并對(duì)其分布加以研究很有必要.

本章主要介紹二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨(dú)立性等概念，并分別針對(duì)離散型二維隨機(jī)變量和連續(xù)型二維隨機(jī)變量進(jìn)行深入探討，最后介紹幾種常用的兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.

3.1二維隨機(jī)變量〖*1〗一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一個(gè)隨機(jī)變量只能描述單個(gè)不確定結(jié)果，在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的變量常常是兩個(gè)或兩個(gè)以上，這需要在對(duì)每個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行研究以外，還要對(duì)它們之間的關(guān)系加以關(guān)注，由此就引出了多維隨機(jī)變量的概念.

定義1設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間S={e}，設(shè)Xi=Xi(e)，i=1,2,…,n，是定義在S上的n個(gè)隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X1,X2,…,Xn)叫做n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量（ndimensional random variable）.

特殊地，當(dāng)n=2時(shí)，(X1,X2)構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量，通常記做(X,Y).本書圍繞二維隨機(jī)變量展開(kāi)講解，三維及更高維的情況與此類似.

例如，向某個(gè)平面區(qū)域隨機(jī)打點(diǎn)，描述該點(diǎn)的位置，需要兩個(gè)隨機(jī)變量X(e),Y(e)分別表示該隨機(jī)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量.在研究某一地區(qū)成年男子身體狀況時(shí)，每位成年男子的身高X(e)和體重Y(e)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)；考察某一地區(qū)的氣候狀況時(shí)，該地區(qū)每天的日平均氣溫X(e)和日平均濕度Y(e)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y).

注意: 必須是針對(duì)同一個(gè)樣本點(diǎn)e的X(e)和Y(e)，才能構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量.

對(duì)于二維隨機(jī)變量，仍然是通過(guò)分布函數(shù)、分布律和概率密度這三個(gè)工具來(lái)研究取值規(guī)律的.

與一維隨機(jī)變量類似，首先給出二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義.

定義2設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，稱二元函數(shù)F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}（3.1.1）為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)(joint distribution function).

類似的，可以有n維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義.

定義3n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，稱n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}（3.1.2）為隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).

下面以二維隨機(jī)變量為例，對(duì)分布函數(shù)加以深入研究. 如果把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，式（3.1.1）右端可以理解為隨機(jī)點(diǎn)落入平面區(qū)域D={(X,Y)|X≤x,Y≤y}的概率，即以點(diǎn)(x,y)為右上端點(diǎn)的無(wú)窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.如圖31陰影部分所示.

由此可知，一旦給出了F(x,y)，就可以計(jì)算事件{x1圖32

其次，分布函數(shù)F(x,y)具有如下基本性質(zhì):

(1) 分布函數(shù)F(x,y)是關(guān)于x（或y）的單調(diào)不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y，當(dāng)x1(2) 0≤F(x,y)≤1，且F(－∞,－∞)=limx→－∞

y→－∞F(x,y)=0；

F(+∞,+∞)=limx→+∞

y→+∞F(x,y)=1；

對(duì)于任意固定的y，F(xiàn)(－∞,y)=limx→－∞F(x,y)=0；

對(duì)于任意固定的x，F(xiàn)(x,－∞)=limy→－∞F(x,y)=0.這四個(gè)式子，可以運(yùn)用分布函數(shù)的幾何意義加以解釋.將圖31中無(wú)窮矩形的上邊界向下無(wú)限平移（即y→－∞），則“隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在這個(gè)矩形內(nèi)”趨于不可能事件，其概率趨于0，即F(x,－∞)=0.當(dāng)上邊界、右邊界分別向上、向右無(wú)限平移，無(wú)窮矩形幾乎擴(kuò)展到全平面，則“隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在這個(gè)矩形內(nèi)”趨于必然事件，其概率趨于1，即F(+∞,+∞)=1.

(3) F(x,y)關(guān)于x（或y）右連續(xù)，即

F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)，x∈R,y∈R.

(4) 對(duì)任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1（2）求P{0解（1）由二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)可知:F(+∞,+∞)=AB+π2C+π2=1；

y∈R,F(－∞,y)=AB－π2C+arctany3=0；

x∈R,F(x,－∞)=AB+arctanx3C－π2=0.由第一個(gè)等式可知A≠0，B+π2≠0，C+π2≠0.而第二個(gè)等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)y均成立，

第三個(gè)等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x均成立，由此可知B=π2，C=π2.代入第一個(gè)等式可知A=1π2.即(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=1π2π2+arctanx2π2+arctany3.（2）由性質(zhì)(4)可知:P{0=1π2π2+π4π2+π2－1π2π2+0π2+π2

－1π2π2+π4π2+π4+1π2π2+0π2+π4

=116.與第2章中對(duì)一維隨機(jī)變量的研究一樣，二維隨機(jī)變量也主要研究離散型和連續(xù)型兩類隨機(jī)變量.二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布律

定義4如果二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對(duì)或可列無(wú)限對(duì)，則稱(X,Y)是二維離散型的隨機(jī)變量.

如果二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，則稱P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…（3.1.4）為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律(joint distribution law).

與一維的情況類似，二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可以用表格表示，如下表所示.X

Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2…︙︙︙︙yjp1jp2j…pij…︙︙︙︙

二維隨機(jī)變量(X,Y)具有如下性質(zhì):

(1) pij≥0，i,j=1,2,…；

(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.

如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如式（3.1.4）所示，則其分布函數(shù)為F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.（3.1.5）其中，∑xi≤x∑yj≤ypij表示對(duì)不大于x的xi和不大于y的yj所對(duì)應(yīng)的pij求和.

例2設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1～X中等可能地取一個(gè)整數(shù)值，試求(X,Y)的分布律.

解由乘法公式可得pij=P{X=i,Y=j}.

當(dāng)i當(dāng)i≥j時(shí)，pij=P{Y=jX=i}·P{X=i}=1i×14.

于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為X

Y12341141811211620181121160001121160000116

三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度

定義5設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv，（3.1.6）則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或X與Y的聯(lián)合概率密度(joint probability density).

二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)具有下列性質(zhì):

(1) f(x,y)≥0；

(2） ∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1；

(3) 若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，則有2F(x,y)xy=f(x,y)；(4) 設(shè)D為xOy平面上任一區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在D中的概率為P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.在空間解析幾何中，z=f(x,y)表示空間的一個(gè)曲面，由性質(zhì)(2)可知，介于它和xOy平面之間的無(wú)限空間立體的體積為1；由性質(zhì)(4)可知，點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域D中的概率等于以D為底，以z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.

與一維隨機(jī)變量的結(jié)論類似，當(dāng)一個(gè)二元函數(shù)f(x,y)滿足性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2)時(shí)，它一定是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.

例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Ae－12(x+y),x≥0,y≥0,

0,其他.求: （1）常數(shù)A；（2）分布函數(shù)F(x,y)；（3） P{X+Y≤2}.

解（1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)(2)可知:∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ae－12(x+y)dxdy=1. 則A=14，故(X,Y)的概率密度為f(x,y)=14e－12(x+y),x≥0,y≥0,

0,其他.（2） F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv

=14∫x0∫y0e－12(u+v)dudv,x≥0,y≥0,

0,其他

=(1－e－x2)(1－e－y2),x≥0,y≥0,

0,其他.

……

你還可能感興趣