第1章 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 偏微分方程的基本概念 1
1.1.2 三類常見的數(shù)學(xué)物理方程 2
1.1.3 數(shù)學(xué)物理方程的一般性問題 2
1.2 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 3
1.2.1 波動方程的導(dǎo)出 4
1.2.2 輸運(yùn)方程的導(dǎo)出 10
1.2.3 穩(wěn)定場方程的導(dǎo)出 15
1.3 定解條件與定解問題 17
1.3.1 初始條件 17
1.3.2 邊界條件 19
1.3.3 三類定解問題 23
1.4 本章小結(jié) 23
習(xí)題 24
第2章 行波法 27
2.1 一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式 27
2.1.1 達(dá)朗貝爾公式的導(dǎo)出 27
2.1.2 達(dá)朗貝爾公式的物理意義 29
2.1.3 依賴區(qū)間和影響區(qū)域 31
2.2 半無限長弦的自由振動 32
2.3 三維波動方程的泊松公式 35
2.3.1 平均值法 36
2.3.2 泊松公式 36
2.3.3 泊松公式的物理意義 39
2.4 強(qiáng)迫振動 41
2.4.1 沖量原理 41
2.4.2 純強(qiáng)迫振動 43
2.4.3 一般強(qiáng)迫振動 44
2.5 三維無界空間的一般波動問題 46
2.6 本章小結(jié) 48
習(xí)題 49
第3章 分離變量法 53
3.1 雙齊次問題 53
3.1.1 有界弦的自由振動 53
3.1.2 均勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題 57
3.1.3 穩(wěn)定場分布問題 60
3.2 本征值問題 63
3.2.1 斯特姆-劉維型方程 63
3.2.2 斯特姆-劉維型方程的本征值問題 64
3.2.3 斯特姆-劉維型方程本征值問題的性質(zhì) 67
3.3 非齊次方程的處理 72
3.3.1 本征函數(shù)展開法 72
3.3.2 沖量原理法 76
3.4 非齊次邊界條件的處理 77
3.4.1 邊界條件的齊次化原理 77
3.4.2 其他非齊次邊界條件的處理 79
3.5 正交曲線坐標(biāo)系下的分離變量法 82
3.5.1 圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題 82
3.5.2 正交曲線坐標(biāo)系下分離變量法的基本概念 84
3.5.3 正交曲線坐標(biāo)系中的分離變量法 87
3.6 本章小結(jié) 90
習(xí)題 92
第4章 特殊函數(shù) 95
4.1 二階線性常微分方程的級數(shù)解 95
4.1.1 二階線性常微分方程的常點(diǎn)與奇點(diǎn) 95
4.1.2 方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的級數(shù)解 95
4.1.3 方程正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的級數(shù)解 99
4.2 勒讓德多項(xiàng)式 103
4.2.1 勒讓德多項(xiàng)式 104
4.2.2 勒讓德多項(xiàng)式的微分和積分表示 107
4.3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 108
4.3.1 勒讓德函數(shù)的母函數(shù) 108
4.3.2 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式 110
4.3.3 勒讓德多項(xiàng)式的正交歸一性 111
4.3.4 廣義傅里葉級數(shù)展開 113
4.4 勒讓德多項(xiàng)式在解數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用 114
4.5 連帶勒讓德函數(shù) 116
4.5.1 連帶勒讓德函數(shù)本征值問題 117
4.5.2 連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì) 119
4.5.3 連帶勒讓德函數(shù)在解數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用 121
4.6 球函數(shù) 122
4.6.1 一般的球函數(shù)定義 122
4.6.2 球函數(shù)的正交歸一性 122
4.6.3 球函數(shù)的應(yīng)用 123
4.7 貝塞爾函數(shù) 125
4.7.1 三類貝塞爾函數(shù)（貝塞爾方程的解） 125
4.7.2 貝塞爾方程的本征值問題 128
4.8 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 129
4.8.1 貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)和積分表示 129
4.8.2 貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系 130
4.8.3 貝塞爾函數(shù)的正交歸一性 132
4.8.4 廣義傅里葉-貝塞爾級數(shù)展開 133
4.9 其他柱函數(shù) 136
4.9.1 球貝塞爾函數(shù) 136
4.9.2 虛宗量貝塞爾函數(shù) 139
4.10 貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用 141
4.11 本章小結(jié) 146
習(xí)題 149
第5章 積分變換法 154
5.1 傅里葉變換 154
5.1.1 傅里葉積分 154
5.1.2 傅里葉變換 155
5.1.3 傅里葉變換的物理意義 157
5.1.4 傅里葉變換的性質(zhì) 157
5.1.5 δ函數(shù)的傅里葉變換 162
5.1.6 n維傅里葉變換 162
5.2 傅里葉變換法 162
5.2.1 波動問題 162
5.2.2 輸運(yùn)問題 164
5.2.3 穩(wěn)定場問題 165
5.3 拉普拉斯變換 167
5.3.1 拉普拉斯變換 167
5.3.2 拉普拉斯變換的基本定理 167
5.3.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 171
5.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 174
5.4.1 用拉普拉斯變換解常微分方程 174
5.4.2 用拉普拉斯變換解偏微分方程 176
5.5 本章小結(jié) 182
習(xí)題 184
第6章 格林函數(shù)法 188
6.1 δ函數(shù) 189
6.1.1 δ函數(shù)的定義 189
6.1.2 δ函數(shù)的性質(zhì) 189
6.1.3 δ函數(shù)的應(yīng)用 193
6.2 泊松方程邊值問題的格林函數(shù)法 194
6.2.1 格林函數(shù)的一般概念 194
6.2.2 泊松方程的基本積分公式 195
6.3 格林函數(shù)的一般求法 201
6.3.1 無界空間的格林函數(shù) 201
6.3.2 一般邊值問題的格林函數(shù) 203
6.3.3 電像法 204
6.3.4 電像法和格林函數(shù)的應(yīng)用 212
6.4 格林函數(shù)的其他求法 214
6.4.1 用本征函數(shù)展開法求解邊值問題的格林函數(shù) 214
6.4.2 用沖量法求解含時(shí)間的格林函數(shù) 216
6.5 本章小結(jié) 219
習(xí)題 222
第7章 數(shù)學(xué)物理方程的其他解法 224
7.1 延拓法 224
7.1.1 半無界桿的熱傳導(dǎo)問題 224
7.1.2 有界弦的自由振動 225
7.2 保角變換法 226
7.2.1 單葉解析函數(shù)與保角變換的定義 226
7.2.2 拉普拉斯方程的解 229
7.3 積分方程的迭代解法 231
7.3.1 積分方程的幾種分類 231
7.3.2 迭代解法 232
7.4 變分法 234
7.4.1 泛函和泛函的極值 234
7.4.2 里茲方法 237
7.5 本章小結(jié)240
第8章 數(shù)學(xué)物理方程的可視化計(jì)算 241
8.1 分離變量法的可視化計(jì)算 241
8.1.1 矩形區(qū)泊松方程的求解 241
8.1.2 直角坐標(biāo)系下的分離變量法在電磁場中的應(yīng)用 243
8.2 特殊函數(shù)的應(yīng)用 247
8.2.1 平面波展開為柱面波的疊加 247
8.2.2 平面波展開為球面波的疊加 251
8.2.3 特殊函數(shù)在波動問題中的應(yīng)用 255
8.2.4 球體雷達(dá)散射截面的解析解 259
8.3 積分變換法的可視化計(jì)算 274
8.4 格林函數(shù)的可視化計(jì)算 276
8.5 本章小結(jié)279
參考文獻(xiàn) 280