本書分為三大篇：第一篇為常微分方程數(shù)值解，包含了2章內(nèi)容，分別介紹了常微分方程初值問題的理論基礎(chǔ)和數(shù)值方法；第二篇為偏微分方程數(shù)值解，包含了6章內(nèi)容，分別介紹了常用的有限差分、譜方法和有限元方法；第三篇為分數(shù)階微分方程數(shù)值解，包含了3章內(nèi)容，介紹了分數(shù)階微積分的相關(guān)理論和算法、分數(shù)階的常微分方程和分數(shù)階的偏微分方程數(shù)值解法。本書的內(nèi)容比較全面，基本涵蓋了"微分方程數(shù)值解"常用的各種方法，將數(shù)學理論、數(shù)值方法與應(yīng)用有機地結(jié)合起來，并以生動詳細的實例為載體，較為詳細的介紹了不同方法如何運用于不同的方程。本書可以作為普通高等院校研究生、本科生的"微分方程數(shù)值解"課程的教材，根據(jù)不同層次所需的教學學時數(shù)選擇相應(yīng)的教學內(nèi)容；同時也可以作為科研工作者應(yīng)用數(shù)學方法來解決實際問題的參考書。
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本書是為普通高等院校的研究生、大學生學習“微分方程數(shù)值解”這門課編寫的教學參考書，華南農(nóng)業(yè)大學從2005年開始設(shè)置“微分方程數(shù)值解”這門課程，選修該課程的學生來自理、工、農(nóng)、林、經(jīng)、文等多個不同學科，這些學生的數(shù)學基礎(chǔ)和計算機知識參差不齊，面對這種實際問題，我們在實際教學過程中一直在思考：如何教才能滿足各類學生學以致用的實際需求，什么樣的教材能有很好的實用性和很強的針對性，從而能夠進一步培養(yǎng)和提高學生應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的能力。面對這些存在的實際問題和所教學生的具體情況，我們從2005年開始嘗試編寫適用不同層次學生的“微分方程數(shù)值解”的講義，在校內(nèi)使用。在使用過程中歷經(jīng)多次修改，逐步完善，最終形成了這本書。
在本書編寫過程中，我們廣泛地參考了國內(nèi)外許多“微分方程數(shù)值解”的文獻和專著，吸取了國內(nèi)外許多學者和專家研究的新成果，結(jié)合自己的教學和科研的實際情況，做到取長補短。本書的內(nèi)容比較全面，基本涵蓋了“微分方程數(shù)值解”常用的各種方法，將數(shù)學理論、數(shù)值方法與應(yīng)用有機地結(jié)合起來，并以生動詳細的實例為載體，較為詳細地介紹不同方法如何運用于不同的方程，
在教材具體內(nèi)容的選取上，我們做了精心設(shè)計，以便于讀者盡快熟悉微分方程數(shù)值解的基本理論，并能結(jié)合實際算法，使讀者能在較短的時間里學會這些方法的基本概念以及求解方法，盡快能用于解決實際問題，本書分為三大篇：第1篇為常微分方程數(shù)值解，包含了兩章內(nèi)容，分別介紹了常微分方程初值問題的理論基礎(chǔ)和數(shù)值方法；第2篇為偏微分方程數(shù)值解，包含了六章內(nèi)容，分別介紹了常用的有限差分、譜方法和有限元方法；第3篇為分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解，包含了三章內(nèi)容，介紹了分數(shù)階微積分的相關(guān)概念及算法、分數(shù)階常微分方程和分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解解法。
目錄
前言
第1篇常微分方程數(shù)值解
引言3
第1章常微分方程初值問題的理論基礎(chǔ)4
第2章常微分方程初值問題的數(shù)值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1顯式Euler法5
2.1.2隱式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的構(gòu)造12
2.4單步法的收斂性與相容性17
2.4.1單步法的收斂性17
2.4.2單步法的相容性18
2.5一般線性多步法19
2.5.1顯式Adams方法(外插法)19
2.5.2隱式Adams方法(內(nèi)插法)20
2.6一般線性多步法的收斂性和穩(wěn)定性22
2.6.1線性差分方程的基本性質(zhì)22
2.6.2一般線性多步法的收斂性和穩(wěn)定性24
第2篇偏微分方程數(shù)值解
第3章基本理論及概念31
3.1偏微分方程定解問題31
3.2差分方程31
3.2.1定解區(qū)域的離散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3顯式格式與隱式格式34
3.3截斷誤差和收斂性35
3.3.1截斷誤差的概念35
3.2.2推導截斷誤差的方法36
3.3.3差分格式的收斂性37
3.3.4差分格式的穩(wěn)定性38
3.4差分格式的構(gòu)造方法38
3.4.1數(shù)值微分法38
3.4.2積分插值法39
3.4.3待定系數(shù)法40
第4章橢圓型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet邊值問題43
4.2五點差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先驗估計48
4.2.5差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性50
4.2.6數(shù)值計算與Matlab模擬51
4.3緊差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性58
第5章拋物型方程的差分方法60
5.1一維線性拋物方程60
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先驗估計63
5.2.5差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先驗估計66
5.3.4差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不穩(wěn)定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先驗估計72
5.5.4差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性72
5.6數(shù)值模擬73
第6章雙曲型方程的有限差分方法75
6.1 波動方程75
6.2顯式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性81
6.3隱式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性86
6.4數(shù)值模擬87
6.5一階雙曲方程89
6.5.1迎風格式89
6.5.2積分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4數(shù)值模擬93
第7章譜方法96
7.1Fourier譜方法96
7.1.1指數(shù)正交多項式96
7.1.2一階波動方程的Fourier譜方法97
7.2Chebyshev譜方法98
7.2.1Chebyshev多項式98
7.2.2Gauss型積分的節(jié)點和權(quán)函數(shù)99
7.2.3數(shù)值分析100
7.2.4數(shù)值模擬101
7.2.5熱傳導方程的應(yīng)用103
第8章有限元方法107
8.1邊值問題的變分形式107
8.1.1Sobolev空間Hm(I)107
8.1.2a(u,v)基本性質(zhì)110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法構(gòu)造114
8.3線性有限元法的誤差估計117
8.3.1H1估計117
8.3.2L2估計118
8.4二次元119
8.4.1單元插值函數(shù)120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5橢圓型方程邊值問題的有限元法123
8.5.1變分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6拋物型方程初邊值問題的有限元法128
第3篇分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解
引言135
第9章分數(shù)階微積分的相關(guān)概念及算法136
9.1分數(shù)階微積分定義及其相互關(guān)系136
9.2Riemann—Liouville分數(shù)階微積分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分數(shù)階導數(shù)的D算法140
9.4Riemann—Liouville分數(shù)階積分的R算法141
9.5分數(shù)階導數(shù)的L算法143
9.6分數(shù)階差商逼近的一般通式144
9.7經(jīng)典整數(shù)階數(shù)值微分、積分公式的推廣146
9.7.1經(jīng)典向后差商及中心差商格式的推廣146
9.7.2插值型數(shù)值積分公式的推廣148
9.7.3經(jīng)典線性多步法的推廣(Lubich分數(shù)階線性多步法)148
第10章分數(shù)階常微分方程數(shù)值解方法152
10.1直接法153
10.2間接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分數(shù)階預(yù)估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4誤差分析159
第11章分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解解法161
11.1空間分數(shù)階對流—擴散方程161
11.2時間分數(shù)階偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2穩(wěn)定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3誤差分析166
11.3時間—空間分數(shù)階偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2穩(wěn)定性及收斂性分析170
參考文獻173
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