第1章群的基本概念
群論是研究系統(tǒng)對(duì)稱性質(zhì)的有力工具.本章首先從系統(tǒng)對(duì)稱性質(zhì)的研究中概括出群的基本概念，通過(guò)一些簡(jiǎn)單的和物理中常見(jiàn)的群的例子，使讀者對(duì)群有較具體的認(rèn)識(shí)；然后，引入群的各種子集的概念、群的同構(gòu)與同態(tài)的概念和群的直接乘積的概念.對(duì)有限群來(lái)說(shuō)，群的全部性質(zhì)都體現(xiàn)在群的乘法表中.我們將介紹填寫群乘法表的方法和如何由群的乘法表來(lái)分析有限群性質(zhì).
1.1對(duì)稱
對(duì)稱是一個(gè)人們十分熟悉的用語(yǔ).世界處在既對(duì)稱又不嚴(yán)格對(duì)稱的矛盾統(tǒng)一之中.房屋布局的對(duì)稱給人一種舒服的感覺(jué)，但過(guò)分的嚴(yán)格對(duì)稱又會(huì)給人死板的感覺(jué).科學(xué)理論的和諧美，其中很大程度上表現(xiàn)為對(duì)稱的美.在現(xiàn)代科學(xué)研究中，對(duì)稱性的研究起著越來(lái)越重要的作用.
我們常說(shuō)，斜三角形很不對(duì)稱，等腰三角形比較對(duì)稱，正三角形對(duì)稱多了，圓比它們都更對(duì)稱.但是，對(duì)稱性的高低究竟是如何描寫的呢？
對(duì)稱的概念是和變換密切聯(lián)系在一起的，所謂系統(tǒng)的對(duì)稱性就是指它對(duì)某種變換保持不變的性質(zhì).保持系統(tǒng)不變的變換越多，系統(tǒng)的對(duì)稱性就越高.只有恒等變換，也就是不變的變換，才保持斜三角形不變.等腰三角形對(duì)底邊的垂直平分面反射保持不變，而正三角形對(duì)三邊的垂直平分面反射都保持不變，還對(duì)通過(guò)中心垂直三角形所在平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)±2jt/3角的變換保持不變.圓對(duì)任一直徑的垂直平分面的反射都保持不變，也對(duì)通過(guò)圓心垂直圓所在平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)任何角度的變換保持不變.因?yàn)楸３謭A不變的變換最多，所以它的對(duì)稱性最高.
量子系統(tǒng)的物理特征由系統(tǒng)的哈密頓量(Hamiltonian)決定，量子系統(tǒng)的對(duì)稱性則由保持系統(tǒng)哈密頓量不變的變換集合來(lái)描寫.例如，N個(gè)粒子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的哈密頓量為n
其中，rj和mj是第j個(gè)粒子的坐標(biāo)矢量和質(zhì)量，V]是關(guān)于rj的拉普拉斯(Lap?lace)算符，U是兩個(gè)粒子間的二體相互作用勢(shì)，它只是粒子間距離的函數(shù).拉普拉斯算符是對(duì)坐標(biāo)分量的二階微商之和，它對(duì)系統(tǒng)平移、轉(zhuǎn)動(dòng)和反演都保持不變.作用勢(shì)只依賴于粒子間的相對(duì)坐標(biāo)絕對(duì)值，也對(duì)這些變換保持不變.若粒子是全同粒子，哈密頓量還對(duì)粒子間的任意置換保持不變.這個(gè)量子系統(tǒng)的對(duì)稱性質(zhì)就用系統(tǒng)對(duì)這些變換的不變性來(lái)描述。
保持系統(tǒng)不變的變換稱為系統(tǒng)的對(duì)稱變換，對(duì)稱變換的集合描寫系統(tǒng)的全部對(duì)稱性質(zhì).根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性質(zhì)，通過(guò)群論方法研究，可以直接得到許多精確的、與細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)的重要性質(zhì).我們還沒(méi)有學(xué)習(xí)群論方法，還無(wú)法用群論方法對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行研究，但為了使讀者對(duì)群論方法有一個(gè)直觀的了解，下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明群論方法的基本思路.
研究一個(gè)具有空間反演對(duì)稱性的量子系統(tǒng).系統(tǒng)哈密頓量對(duì)空間反演變換保持不變，因而哈密頓量的本征函數(shù)斗通過(guò)空間反演，仍是哈密頓量同一本征值的本征函數(shù).用P代表在空間反演下波函數(shù)的變換算符
則對(duì)哈密頓量，寸和P寸有相同的本征值，而且由于哈密頓量是線性算符，畛和作的任何線性組合仍有相同的本征值.取如下組合
在空間反演中按式（1.1)變換的波函數(shù)這一簡(jiǎn)單例子說(shuō)明，盡管系統(tǒng)哈密頓量可能很復(fù)雜，薛定諤方程難以精確求解，但從研究系統(tǒng)的對(duì)稱性質(zhì)著手，可以得到系統(tǒng)某些精確的與細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)(例如，根據(jù)對(duì)稱性，可確定系統(tǒng)的守恒量)，可對(duì)系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù)進(jìn)行分類，并可得出精確的躍遷選擇定則.
1.2群及其乘法表
保持系統(tǒng)不變的變換稱為系統(tǒng)的對(duì)稱變換，系統(tǒng)的對(duì)稱性質(zhì)由對(duì)稱變換的集合來(lái)描寫.我們先來(lái)研究系統(tǒng)對(duì)稱變換集合的一般性質(zhì).按照物理中的慣例，兩個(gè)變換的乘積RS定義為相繼做兩次變換，即先做S變換，再做R變換.顯然，兩個(gè)對(duì)稱變換的乘積仍是系統(tǒng)的對(duì)稱變換，三個(gè)對(duì)稱變換的乘積滿足結(jié)合律.不變的變換，即恒等變換E也是一個(gè)對(duì)稱變換，它與任何一個(gè)對(duì)稱變換R的乘積仍是該變換R.對(duì)稱變換的逆變換也是系統(tǒng)的一個(gè)對(duì)稱變換.上述性質(zhì)是系統(tǒng)對(duì)稱變換集合的共同的性質(zhì)，與系統(tǒng)的具體性質(zhì)無(wú)關(guān).把對(duì)稱變換集合的這些共同性質(zhì)歸納出來(lái)，得到群（group)的定義.
定義1.1在規(guī)定了元素的“乘積”法則后，元素的集合G如果滿足下面四個(gè)條件，則稱為群.
(1)集合對(duì)乘積的封閉性_集合中任意兩元素的乘積仍屬此集合：
(2)乘積滿足結(jié)合律：
(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持該元素不變：
(4)任何元素R的逆R-1存在于集合中，滿足
作為數(shù)學(xué)中群的定義，群的元素可以是任何客體，元素的乘積法則也可任意規(guī)定.一旦確定了元素的集合和元素的乘積規(guī)則，滿足上述四個(gè)條件的集合就稱為群.系統(tǒng)對(duì)稱變換的集合，對(duì)于變換的乘積規(guī)則，滿足群的四個(gè)條件，因而構(gòu)成群，稱為系統(tǒng)的對(duì)稱變換群.在物理中常見(jiàn)的群大多是線性變換群、線性算符群或矩陣群.如果沒(méi)有特別說(shuō)明，當(dāng)元素是線性變換或線性算符時(shí)，元素的乘積規(guī)則都定義為相繼做兩次變換；當(dāng)元素是矩陣時(shí)，元素的乘積則取通常的矩陣乘積.
在群的定義中，群元素是什么客體并不重要，重要的是它們的乘積規(guī)則，也就是它們以什么方式構(gòu)成群.如果兩個(gè)群，它們的元素之間可用某種適當(dāng)給定的方式一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，而且元素的乘積仍以此同一方式一一對(duì)應(yīng)（常稱對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)元素乘積保持不變)，那么，從群論觀點(diǎn)看，這兩個(gè)群完全相同.具有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)群稱為同構(gòu)（isomorphism).
定義1.2若群G'和G的所有元素間都按某種規(guī)則存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們的乘積也按同一規(guī)則一一對(duì)應(yīng)，則稱兩群同構(gòu).用符號(hào)表示，若i?和SeG，紀(jì)和S7eG'，R'<~>R，S'<~S，必有R'S'<~RS，則G'《G，其中符號(hào)“<~”代表一一對(duì)應(yīng)，“《”代表同構(gòu).
互相同構(gòu)的群，它們?nèi)旱男再|(zhì)完全相同.研究清楚一個(gè)群的性質(zhì)，也就了解了所有與它同構(gòu)的群的性質(zhì).在群同構(gòu)的定義里，元素之間的對(duì)應(yīng)規(guī)則沒(méi)有什么限制.但如果選擇的規(guī)則不適當(dāng)，使元素的乘積不再按此規(guī)則一一對(duì)應(yīng)，并不等于說(shuō)，這兩個(gè)群就不同構(gòu).只要對(duì)某一種對(duì)應(yīng)規(guī)則，兩個(gè)群符合群同構(gòu)的定義，它們就是同構(gòu)的.
從群的定義出發(fā)，可以證明，恒元和逆元也滿足
第二個(gè)式子表明元素與其逆元是相互的.由此易證群中恒元是唯一的，即若苽只=R，則E，=E.群中任一元素的逆元是唯一的，即若SR=E，則S二R-1.于是，恒元的逆元是恒元，且{RSr1=S-^R-K作為邏輯練習(xí)，習(xí)題第1題讓讀者證明這些結(jié)論.證明中除了群的定義外，不能用以前熟悉的任何運(yùn)算規(guī)則，因?yàn)樗鼈儾灰欢ㄟm合群元素的運(yùn)算.下面我們認(rèn)為這些結(jié)論已經(jīng)證明，可以應(yīng)用了.
一般說(shuō)來(lái)，群元素乘積不能對(duì)易，RS+SR.元素乘積都可以對(duì)易的群稱為阿貝爾（Abel)群.若群中至少有一對(duì)元素的乘積不能對(duì)易，就稱為非阿貝爾群.元素?cái)?shù)目有限的群稱為有限群，元素的數(shù)目g稱為有限群的階（order).元素?cái)?shù)目無(wú)限的群稱為無(wú)限群，如果無(wú)限群的元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫，則稱為連續(xù)群.
把群的子集，即群中部分元素的集合n^{RuR2， ，Rm}，看成一個(gè)整體，稱為復(fù)元素.作為集合，復(fù)元素不關(guān)心所包含元素的排列次序，且重復(fù)的元素只取一次.兩復(fù)元素相等，即兄=的充要條件是它們包含的元素相同，即兄c《S和San.普通元素和復(fù)元素相乘仍是復(fù)元素.th是由元素TRj的集合構(gòu)成的復(fù)元素，而UT則由元素RjT的集合構(gòu)成.設(shè)5={5i，S2， ，5?}，兩復(fù)元素的乘積US是所有形如RjSk的元素集合構(gòu)成的復(fù)元素.上面出現(xiàn)的元素乘積，如TRhRiT和喻，均按群元素的乘積規(guī)則相乘.復(fù)元素的乘積滿足結(jié)合律.如果復(fù)元素的集合，按照復(fù)元素的乘積規(guī)則，符合群的四個(gè)條件，也可構(gòu)成群.
定理1.1(重排定理）設(shè)T是群G={E，E，S， }中的任一確定元素，則下面三個(gè)集合與原群G相同：
用復(fù)元素符號(hào)表達(dá)為
證明以TG=G為例證明.集合TG的所有元素都是群G的元素，故TGcG.反之，群G的任意元素R都可表成R=TiT^R)，而（T-W)是群G的元素，故R屬于rG，GcTG.證完.
對(duì)于有限群，群元素?cái)?shù)目有限，因此有可能把元素的乘積全部排列出來(lái)，構(gòu)成一個(gè)表，稱為群的乘法表(multiplicationtable)，簡(jiǎn)稱群表.為了確定起見(jiàn)，對(duì)于RS=T，今后稱R為左乘元素，S為右乘元素，而T為乘積元素.乘法表由下法建立：在表的最左面一列，把全部群元素列出來(lái)，作為左乘元素，在表的最上面一行，也把全部群元素列出來(lái)，作為右乘元素，元素的排列次序可以任意選定，但常讓左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在第一位.表的內(nèi)容有SxS格，每一格填入它所在行最左面一列的元素R(左乘元素）和它所在列最上面一行的元素S(右乘元素）的乘積RS.如果恒元排在表中第一個(gè)位置，因它與任何元素相乘還是該元素，故乘法表內(nèi)容中第一行和右乘元素相同，第一列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘積元素中每一行（或列）都不會(huì)有重復(fù)元素.乘法表完全描寫了有限群的性質(zhì)?
對(duì)兩個(gè)階數(shù)相同的有限群，當(dāng)把群元素分別按一定次序列在乘法表上時(shí)，實(shí)際上已給出了它們?cè)�素之間的一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.如果在此對(duì)應(yīng)下，它們的乘法表完全相同，則此兩群同構(gòu).當(dāng)然，如果由于群元素排列次序選得不適當(dāng)，本來(lái)同構(gòu)的群也可能看起來(lái)似乎有不同的乘法表.當(dāng)階數(shù)確定后，重排定理大大限制了互相不同構(gòu)的有限群數(shù)目.例如，以后我們將證明，階數(shù)為相同素?cái)?shù)的有限群都同構(gòu).
我們先來(lái)看二階群和三階群的乘法表.當(dāng)把第一列和第一行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全確定了表中剩余位置的填充，如表1.1和表1.2所示.
表1.1二階群的乘法表
表1.2三階群的乘法表
在二階群中，可讓e代表恒等變換，a代表空間反演變換，則此群正是對(duì)空間反演不變的系統(tǒng)的對(duì)稱變換群，常記為V2.也可讓e代表數(shù)1，a代表數(shù)-1，按普通的數(shù)乘積，它們也構(gòu)成二階群，記為C2.這兩群是同構(gòu)的，V2《C2，從群論觀點(diǎn)看它們完全相同.三階群中，可設(shè)e=1，w=exp(-i2jt/3)和c/=exp(i2jt/3)，按復(fù)數(shù)的乘積，它們構(gòu)成三階群，記為C3.
這兩個(gè)例子有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是群中所有元素都可由其中一個(gè)元素的冪次來(lái)表達(dá).二階群中，e=a2；三階群中，o/=w2，e=oA推而廣之，由一個(gè)元素R及其冪次構(gòu)成的有限群稱為由R生成的循環(huán)群，N是循環(huán)群的階，R稱為循環(huán)群的生成元.N階循環(huán)群的一般形式是
循環(huán)群中元素乘積可以對(duì)易，因而循環(huán)群是阿貝爾群.循環(huán)群生成元的選擇不是唯
一的.例如，三階循環(huán)群中W和0/都可作為生成元.循環(huán)群的乘法表有共同的特點(diǎn)，當(dāng)表中元素按生成元的冪次排列時(shí)，表的每一行都可由前一行向左移動(dòng)一格得到，而最左面的元素移到最右面去.
循環(huán)群的一個(gè)典型例子是由繞空間固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)變換構(gòu)成的群.按右手螺旋法則，繞軸的正向旋轉(zhuǎn)2n/N角的轉(zhuǎn)動(dòng)記為Cn.由CN生成的循環(huán)群，記為CN.此軸常稱為N次固有轉(zhuǎn)動(dòng)軸，簡(jiǎn)稱N次軸，CN稱為N次固有轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱N次轉(zhuǎn)動(dòng).對(duì)二次軸不必規(guī)定軸的正向，因?yàn)镃h=C^\N次轉(zhuǎn)動(dòng)和空間反演a的乘積記為SN，SN=aCN=CNa，稱為N次非固有轉(zhuǎn)動(dòng).由SN生成的循環(huán)群記為有時(shí)也記為SN，它的階數(shù)g根據(jù)N是偶數(shù)或奇數(shù)，分別是N或2N.此轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱為N次非固有轉(zhuǎn)動(dòng)軸.
既然有限群的元素?cái)?shù)目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，當(dāng)冪次足夠高時(shí)必然會(huì)有重復(fù).由群中恒元唯一性知，有限群任一元素自乘若干次后必可得到恒元.若iT1=五，n是R自乘得到恒元的最低冪次，則n稱為元素R的階，R生成的循環(huán)群稱為R的周期.恒元的階為1，其他元素的階可以相等，也可以不相等，但都大于1.不同元素的周期也可