第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何
　　空間解析幾何①是多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，在解決某些實(shí)際問題時(shí)也會直接用到它.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，空間解析幾何是平面解析幾何的推廣.向量代數(shù)是研究空間解析幾何的有力工具，利用它能夠把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化?數(shù)量化.
　　本章先介紹向量的概念和運(yùn)算，然后討論空間平面和直線方程的建立，最后介紹常見的空間曲面.
　　8.1 空間直角坐標(biāo)系
　　8.1.1 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)
　　 如果在平面上建立直角坐標(biāo)系xOy，則平面上任一點(diǎn)的位置就可以用一個(gè)有序數(shù)組(x，y)來確定.因此為了確定空間中一點(diǎn)的位置，首先需要建立空間直角坐標(biāo)系.
　　在空間中取定一點(diǎn)O，以O(shè) 為公共原點(diǎn)作三條相互垂直的數(shù)軸Ox，Oy，Oz，這就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，記作Oxyz.點(diǎn)O 稱為坐標(biāo)原點(diǎn);數(shù)軸Ox，Oy，Oz 分別簡稱為x 軸(橫軸)?y 軸(縱軸)?z 軸(豎軸)，統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.坐標(biāo)軸的正向通常構(gòu)成右手系，即以右手握住z 軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從x 軸的正向以π2角度轉(zhuǎn)向y 軸的正向時(shí)，拇指的指向就是z 軸的正向(圖8-1).
　　任意兩條坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面，其中x 軸與y 軸確定的平面記為xOy 面，y 軸與z軸確定的平面記為yOz 面，z 軸和x 軸確定的平面記為zOx 面，這三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.
　　三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限.含有三個(gè)坐標(biāo)軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限，在xOy 平面上方的4個(gè)卦限依逆時(shí)針順序分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限.在xOy平面下方，與Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限相對的分別為Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(圖8-2).
　　取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.
　　設(shè)M 為空間中的一點(diǎn)，過點(diǎn)M 作垂直于3個(gè)坐標(biāo)軸的平面，它們與x 軸?y 軸?z 軸的交點(diǎn)依次為P ，Q，R，這三點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z(圖8-3)，于是空間的一點(diǎn)M就唯一地確定了一個(gè)有序數(shù)組(x，y，z).
　　反之，給定一個(gè)有序數(shù)組(x，y，z)，可以在x 軸?y 軸?z 軸上取與x，y，z 相應(yīng)的點(diǎn)P ，Q，R，然后過點(diǎn)P，Q，R 分別作平面垂直于x 軸?y 軸?z 軸，這三個(gè)垂直平面的交點(diǎn)為M ，從而由有序數(shù)組(x，y，z)唯一地確定了空間的點(diǎn)M .因此空間的所有點(diǎn)與全體有序數(shù)組(x，y，z)之間就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，有序數(shù)組(x，y，z)稱為點(diǎn)M 的坐標(biāo)，其中x 稱為點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)，y 稱為點(diǎn)M 的縱坐標(biāo)，z 稱為點(diǎn)M 的豎坐標(biāo)，記為M(x，y，z).
　　8.1.2 空間兩點(diǎn)間的距離
　　設(shè)M1(x1，y1，z1)與M2(x2，y2，z2)為空間兩點(diǎn)，過M1 和M2 分別作垂直于三條坐標(biāo)軸的平面，這六個(gè)平面圍成的長方體以M1M2 為對角線(圖8-4).
　　設(shè)M1 與M2 的距離為d，根據(jù)勾股定理，有d2= M1M2 2= M1N 2+ NM2 2= M1P 2+ M1Q 2+ M1R 2.
　　圖8-4
　　由于M1P = P1P2 = x2-x1 ，
　　M1Q = Q1Q2 = y2-y1 ，
　　M1R = R1R2 = z2-z1 ，
　　所以
　　d= M1M2 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 .
　　這就是空間中兩點(diǎn)間的距離公式.
　　特別地，點(diǎn)M(x，y，z)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0，0)的距離為
　　d= x2+y2+z2 .
　　例1 在z 軸上求與兩點(diǎn)A (-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點(diǎn).
　　解 因?yàn)樗�求的點(diǎn)在z 軸上，所以設(shè)該點(diǎn)為M(0，0，z)，有MA = MB ，
　　即(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2 = (0-3)2+(0-5)2+(z+2)2 .
　　解得z=149，所求的點(diǎn)為0，0，149
　　習(xí) 題 8-1
　　1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限?
　　A(-1，2，3)， B(2，-2，1)， C(3，-1，-4)， D(-3，-1，1)， E(-2，1，-3)， F(-1，-2，-3).
　　2.在坐標(biāo)面上和在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征? 指出下列各點(diǎn)的位置:
　　A(2，0，1)， B(0，-1，1)， C(1，-4，0)， D(-2，0，0)， E(0，2，0)， F(0，0，-1).
　　3.求點(diǎn)M0(x0，y0，z0)關(guān)于各坐標(biāo)軸?坐標(biāo)面和坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).
　　4.求兩點(diǎn)A(2，-1，3)，B(3，1，-1)之間的距離.
　　5.求點(diǎn)A(4，-3，5)到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸的距離.
　　6.在yOz 面上，求與三個(gè)已知點(diǎn)A(3，1，2)，B(4，-2，-2)和C(0，5，1)等距離的點(diǎn).
　　8.2 向量代數(shù)
　　8.2.1 向量的概念
　　 在研究力學(xué)?物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí)所遇到的量，一般可分為兩類.一類是只有大小的量，稱為數(shù)量，如時(shí)間?長度?質(zhì)量等;另一類是不僅有大小而且還有方向的量，稱為向量，如力?位移?速度等.
　　定義8.1 既有大小又有方向的量稱為向量.
　　我們用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的長度，有向線段的方向表示向量的方向.以A 為起點(diǎn)?B 為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB→(圖8-5).有時(shí)也用a，b，r或黑體字母a，b，r 來表示向量.
　　定義8.2 如果兩個(gè)向量的大小相等?方向相同，就稱這兩個(gè)向量是相等的.
　　從定義8.2可知，一個(gè)向量平移后仍與原來的向量相等，所以向量的起點(diǎn)可以在空間的任意一點(diǎn).與起點(diǎn)無關(guān)的向量稱為自由向量.我們研究的向量均為自由向量.
　　定義8.3 向量的大小稱為向量的模，向量AB→，a 的模分別記作|AB→|，|a|.
　　模等于1的向量稱為單位向量，模等于零的向量稱為零向量，記作0.零向量沒有確定的方向，也可以認(rèn)為它的方向是任意的.
　　定義8.4 與向量a 的大小相等而方向相反的向量稱為a 的負(fù)向量，記作-a.
　　 顯然，|-a|=|a|，-(-a)=a，-AB→=BA→.
　　定義8.5 設(shè)a，b 為兩個(gè)非零向量，任取空間一點(diǎn)O，作OA→=a，OB→=b，則∠AOB(0≤∠AOB≤π)稱為向量a 與b 的夾角(圖8-6)，記作(a，b) ∧ .
　　如果(a，b) ∧ =0或π，則稱向量a 與b 平行，記作a∥b.如果(a，b) ∧ =π2，則稱向量a 與b垂直，記作a⊥b.
　　8.2.2 向量的加減法
　　根據(jù)力學(xué)中力的合成法則，我們給出兩個(gè)向量加法運(yùn)算的定義.
　　定義8.6 設(shè)a，b 為兩個(gè)非零向量，平移a，b 使它們的起點(diǎn)重合于點(diǎn)A ，并以a，b 為邊作平行四邊形，則其對角線向量AC→(圖8-7)稱為向量a，b 的和，記作a+b.
　　這樣用平行四邊形的對角線來定義兩個(gè)向量和的方法稱為平行四邊形法則.從圖8-7
　　可以看出，a+b 也可以按下列方法得出:以向量a 的終點(diǎn)作為向量b 的起點(diǎn)，由a 的起點(diǎn)到b 的終點(diǎn)的向量就是a+b，這個(gè)方法稱為三角形法則(圖8-8).
　　圖8-7
　　圖8-8
　　顯然a+0=a， a+(-a)=0.
　　向量的加法符合下列運(yùn)算律:
　　(1)交換律 a+b=b+a;
　　(2)結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c).
　　向量的減法可以看成向量加法的逆運(yùn)算.
　　 圖8-9
　　定義8.7 若b+c=a，則稱c為a 與b 的差，記作c=a-b(圖8-9).
　　由圖8-9可以看出，把向量a 與b 的起點(diǎn)放在一起，則由b 的終點(diǎn)到a 的終點(diǎn)的向量即為a 與b 的差向量a-b.
　　利用負(fù)向量，可以把向量的減法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算.
　　如果c=a-b，即b+c=a，在等式兩邊各加b 的負(fù)向量-b，利用b+(-b)=0，得c=a+(-b)，即a-b=a+(-b).
　　這表明向量a 與b 的差等于a 與-b 的和.
　　由三角形兩邊之和大于第三邊，有
　　|a+b|≤|a|+|b| 及 |a-b|≤|a|+|b|，
　　其中等號在a 與b 同向或反向時(shí)成立.
　　8.2.3 向量與數(shù)的乘法
　　定義8.8 設(shè)λ 是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量a 與λ 的乘積(簡稱數(shù)乘)是一個(gè)向量，記作λa，它的模為|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa 與a 同向;當(dāng)λ<0時(shí)，λa 與a 反向.
　　特別地，0a=0， 1a=a， (-1)a=-a.
　　向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律(λ，μ 為實(shí)數(shù)):
　　(1)結(jié)合律 λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a;
　　(2)分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.
　　向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.
　　設(shè)a0 表示與非零向量a 同方向的單位向量，則不難得到a=|a|a0.
　　由此也有a0= aa，即一個(gè)非零向量a 除以它的模，其結(jié)果是一個(gè)與a 同方向的單位向量，這個(gè)過程稱為將向量a 單位化.
　　顯然，向量λa 與a 平行，因此可以用向量的數(shù)乘來描述向量平行的關(guān)系.
　　定理8.1 若向量a≠0，則向量b∥a 的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.
　　圖8-10
　　例1 在平行四邊形ABCD 中，M 是平行四邊形對角線的交
　　點(diǎn)(圖8-10)，設(shè)AB→=a，AD→=b，試用a 和b 表示向量MA→，MB→，MC→和MD→.
　　解 由于平行四邊形的對角線互相平分，所以
　　a+b=2AM→，2MA→=-(a+b)，
　　于是MA→=-12(a+b)，MC→=-MA→=12(a+b).
　　又因?yàn)閍-b=2MB→，所以MB→=12
　　(a-b)， MD→=-MB→=-12(a-b).
　　8.2.4 向量的坐標(biāo)表示
　　用幾何方法討論向量及其運(yùn)算比較直觀，但是計(jì)算不方便，而且有些問題僅靠幾何方法是很難解決的.我們現(xiàn)在引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示法，用代數(shù)方法討論向量及其運(yùn)算.
　　在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，以i，j，k 分別表示沿x 軸?y 軸?z 軸正向的單位向量，這三個(gè)單位向量稱為基本單位向量.
　　圖8-11
　　設(shè)r 是一個(gè)給定的向量，若將r 的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)O 處，此
　　時(shí)r 的終點(diǎn)在點(diǎn)M 處，即r=OM→.設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(x，y，z)，過M
　　作三個(gè)平面分別垂直于三條坐標(biāo)軸，依次交坐標(biāo)軸與P，Q，R 三點(diǎn)
　　(圖8-11)，不難看出
　　OP→=xi， OQ→=yj， OR→=zk，
　　根據(jù)向量的加法定義，有
　　OM→=OP→+PN→+NM→=OP→+OQ→+OR→=xi+yj+zk，
　　所以
　　r=OM→=xi+yj+zk.
　　上式稱為向量r 的坐標(biāo)分解式，xi，yj，zk 稱為向量r 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.當(dāng)向量
　　r 給定時(shí)，分解式中的x，y，z 是唯一確定的，稱x，y，z 為向量r 的坐標(biāo)，記為r=(x，y，z).
　　向量r=OM→稱為點(diǎn)M 的向徑.上述定義表明，一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo).
　　例2 設(shè)向量a=M1M2 →，點(diǎn)M1 和M2 的坐標(biāo)分別為M1=(x1，y1，z1)和M2=(x2，y2，z2)，求向量a 的坐標(biāo).
　　圖8-12
　　解 由于M1M2 →=OM2 →-OM1 →(圖8-12)，而
　　r1=OM1 →=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k，
　　r2=OM2 →=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k，
　　所以a =M1M2 →=OM2 →-OM1 →
　　=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)
　　=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，
　　即a=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).
　　由此可知，對于起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量，其坐標(biāo)恰好等于向量終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)之差.
　　8.2.5 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算
　　利用向量的坐標(biāo)表達(dá)式，可得向量的加法?減法以及數(shù)乘的運(yùn)算如下.
　　設(shè)a=(ax，ay，az)， b=(bx，by，bz)，
　　即a=axi+ayj+azk， b=bxi+byj+bzk.
　　利用向量加法的交換律與結(jié)合律以及數(shù)乘向量的結(jié)合律與分配律，有
　　a±b =(axi+ayj+azk)±(bxi+byj+bzk)
　　=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k，
　　λa=λ(axi+ayj+azk) (λ 為實(shí)數(shù))
　　=(λax)i+(λay)j+(λaz)k，