《21世紀高等學校數(shù)學系列教材:實變函數(shù)論》的主要內(nèi)容是介紹歐氏空間上的Lebesgue測度與積分理論,同時也介紹一般空間上的測度與積分理論的基礎(chǔ)知識。后者作為感興趣的讀者進一步學習時的參考。初學者可以跳過這部分內(nèi)容,不影響其他部分的學習。
在本書的引言部分,對Riemann積分理論的局限性和建立新積分理論的必要性,Lebesgue積分的主要思想,以及實變函數(shù)這門課程的主要內(nèi)容作了簡要介紹。在內(nèi)容安排上,將相關(guān)內(nèi)容適當集中,便于讀者對每部分的主要內(nèi)容獲得清晰完整的印象。在敘述上注意盡量做到清晰明了,加強引導(dǎo)性的論述,以幫助讀者對概念和定理的理解。對定理的證明盡量詳盡,能夠簡化的證明盡量簡化。在一些基礎(chǔ)和重要的章節(jié),給出了較多的例子,以幫助讀者理解相關(guān)的概念和定理。本書系統(tǒng)地使用了σ一代數(shù)的概念和σ一代數(shù)的證明方法。這樣做的好處是,一方面可以使得某些概念可以敘述得更簡潔更清晰,可以簡化某些定理的證明。另一方面,也便于與抽象測度論相銜接。
本書配備了較多的習題。本書的末尾對部分習題給出了提示或解答要點,供讀者參考。
本書可以作為綜合性大學,理工科大學和高等師范院校的數(shù)學各專業(yè)或其他學科部分專業(yè)本科生的教材或參考書,也可以供研究生或相關(guān)教師參考。
《21世紀高等學校數(shù)學系列教材:實變函數(shù)論》可以作為綜合性大學,理工科大學和高等師范院校的數(shù)學各專業(yè)或其他學科部分專業(yè)本科生的教材或參考書,也可以供研究生或相關(guān)教師參考。
數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。長期以來,人們在認識世界和改造世界的過程中,數(shù)學作為一種精確的語言和一個有力的工具,在人類文明的進步和發(fā)展中,甚至在文化的層面上,一直發(fā)揮著重要的作用。作為各門科學的重要基礎(chǔ),作為人類文明的重要支柱,數(shù)學科學在很多重要的領(lǐng)域中已起到關(guān)鍵性、甚至決定性的作用。數(shù)學在當代科技、文化、社會、經(jīng)濟和國防等諸多領(lǐng)域中的特殊地位是不可忽視的。發(fā)展數(shù)學科學,是推進我國科學研究和技術(shù)發(fā)展,保障我國在各個重要領(lǐng)域中可持續(xù)發(fā)展的戰(zhàn)略需要。高等學校作為人才培養(yǎng)的搖籃和基地,對大學生的數(shù)學教育,是所有的專業(yè)教育和文化教育中非;A(chǔ)、非常重要的一個方面,而教材建設(shè)是課程建設(shè)的重要內(nèi)容,是教學思想與教學內(nèi)容的重要載體,因此顯得尤為重要。
為了提高高等學校數(shù)學課程教材建設(shè)水平,由武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院與武漢大學出版社聯(lián)合倡議,策劃,組建21世紀高等學校數(shù)學課程系列教材編委會,在一定范圍內(nèi),聯(lián)合多所高校合作編寫數(shù)學課程系列教材,為高等學校從事數(shù)學教學和科研的教師,特別是長期從事教學且具有豐富教學經(jīng)驗的廣大教師搭建一個交流和編寫數(shù)學教材的平臺。通過該平臺,聯(lián)合編寫教材,交流教學經(jīng)驗,確保教材的編寫質(zhì)量,同時提高教材的編寫與出版速度,有利于教材的不斷更新,極力打造精品教材。
本著上述指導(dǎo)思想,我們組織編撰出版了這套21世紀高等學校數(shù)學課程系列教材。旨在提高高等學校數(shù)學課程的教育質(zhì)量和教材建設(shè)水平。
參加21世紀高等學校數(shù)學課程系列教材編委會的高校有:武漢大學、華中科技大學、云南大學、云南民族大學、云南師范大學、昆明理工大學、武漢理工大學、湖南師范大學、重慶三峽學院、襄樊學院、華中農(nóng)業(yè)大學、福州大學、長江大學、咸寧學院、中國地質(zhì)大學、孝感學院、湖北第二師范學院、武漢工業(yè)學院、武漢科技學院、武漢科技大學、仰恩大學(福建泉州)、華中師范大學、湖北工業(yè)大學等20余所院校。
高等學校數(shù)學課程系列教材涵蓋面很廣,為了便于區(qū)分,我們約定在封首上以漢語拼音首寫字母縮寫注明教材類別,如:數(shù)學類本科生教材,注明:SB;理工類本科生教材,注明:LGB;文科與經(jīng)濟類教材,注明:WJ;理工類碩士生教材,注明:LGS,如此等等,以便于讀者區(qū)分。
引言
第1章 集合與Rn中的點集
1.1 集合與集合的運算
1.2 映射可列集與基數(shù)
1.3 集類
1.4 Rn中的點集
習題1
第2章 Lebesgue測度
2.1 外測度
2.2 可測集與測度
2.3 可測集與測度(續(xù))
2.4 測度空間
習題2
第3章 可測函數(shù)
3.1 可測函數(shù)的性質(zhì)
3.2 可測函數(shù)的收斂
3.3 可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系
3.4 測度空間上的可測函數(shù)
習題3
第4章 Lebesgue積分
4.1 積分的定義
4.2 積分的初等性質(zhì)
4.3 積分的極限定理
4.4 Lebesgue積分與Riemann積分的關(guān)系
4.5 可積函數(shù)的逼近性質(zhì)
4.6 Fubini定理
4.7 測度空間上的積分
習題4
第5章 微分與不定積分
5.1 單調(diào)函數(shù)的可微性
5.2 有界變差函數(shù)
5.3 絕對連續(xù)函數(shù)與不定積分
習題5
第6章 廣義測度
6.1 廣義測度Hahn分解與Jordan分解
6.2 絕對連續(xù)性與Radon-Nikodym定理
習題6
第7章 Lp空間
7.1 Lp空間的定義與性質(zhì)
7.2 L2空間
7.3 Lp空間上的連續(xù)線性泛函
習題7
附錄Ⅰ 等價關(guān)系半序集與Zorn引理
附錄Ⅱ 實數(shù)集與極限論
部分習題的提示與解答要點
參考文獻