微積分是現(xiàn)代大學(xué)生(包括理工科學(xué)生以及部分文科學(xué)生)大學(xué)入學(xué)后的第一門課程，也是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的一門重要的基礎(chǔ)課程，其重要性已為大家所認(rèn)可.但學(xué)生對(duì)這門課仍有恐懼感.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)如何學(xué)好這門課，對(duì)教師來(lái)說(shuō)如何教好這門課，都是廣大師生關(guān)注的事情.眾多微積分教材的出版，都是為了幫助學(xué)生更好地理解、學(xué)習(xí)這門課程，也為了教師更容易地教授這門課.本書(shū)的編寫(xiě)就是這么一次嘗試.
一、 微積分的發(fā)展史
以英國(guó)科學(xué)家牛頓(Newton)和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)在17世紀(jì)下半葉獨(dú)立研究和完成的，現(xiàn)在被稱為微積分基本定理的牛頓萊布尼茨公式為標(biāo)志，微積分的創(chuàng)立和發(fā)展已經(jīng)歷了三百多年的時(shí)間.但是微積分的思想可以追溯到公元前3世紀(jì)古希臘的阿基米德(Archimedes).他在研究一些關(guān)于面積、體積的幾何問(wèn)題時(shí)，所用的方法就隱含著近代積分學(xué)的思想.而微分學(xué)的基礎(chǔ)——極限理論也早在公元前3世紀(jì)左右我國(guó)的莊周所著《莊子》一書(shū)的“天下篇”中就有記載，“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”； 在魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在他的割圓術(shù)中提到的“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,都是樸素的、也是很典型的極限概念.利用割圓術(shù)，劉徽求出了圓周率π=3.1416……的結(jié)果.
牛頓和萊布尼茨的偉大工作是把微分學(xué)的中心問(wèn)題——切線問(wèn)題和積分學(xué)的中心問(wèn)題——求積問(wèn)題聯(lián)系起來(lái).用這種劃時(shí)代的聯(lián)系所創(chuàng)立的微積分方法和手段，使得一些原本被認(rèn)為是很難的天文學(xué)問(wèn)題、物理學(xué)問(wèn)題得到解決，展現(xiàn)了微積分的威力，推動(dòng)了當(dāng)時(shí)科學(xué)的發(fā)展.
盡管牛頓和萊布尼茨的理論在現(xiàn)在看來(lái)是正確的，但他們當(dāng)時(shí)的工作是不完善的，尤其缺失數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密性.在一些基本概念上，例如“無(wú)窮”和“無(wú)窮小量”這些概念，他們的敘述十分含糊.“無(wú)窮小量”有時(shí)是以零的形式，有時(shí)又以非零而是有限的小量出現(xiàn)在牛頓的著作中.同樣，在萊布尼茨的著作中也有類似的混淆.這些缺陷，導(dǎo)致了越來(lái)越多的悖論和謬論的出現(xiàn)，引發(fā)了微積分的危機(jī).
在隨后的幾百年中，許多數(shù)學(xué)家為微積分理論做出了奠基性的工作，其中有：
捷克的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家波爾查諾(Bolzano)(1781—1848年)，著有《無(wú)窮的悖論》，提出了級(jí)數(shù)收斂的概念，并對(duì)極限、連續(xù)和變量有了較深入的了解.
法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)(1789—1857年)，著有《分析教程》、《無(wú)窮小分析教程概論》和《微積分在幾何上的應(yīng)用》，“柯西極限存在準(zhǔn)則”給微積分奠定了嚴(yán)密的基礎(chǔ)，創(chuàng)立了極限理論.
德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯(Weierstrass)(1815—1897年)，引進(jìn)“εδ”、“εN”語(yǔ)言，在數(shù)學(xué)上“嚴(yán)格”定義了“極限”和“連續(xù)”，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)理論，系統(tǒng)建立了數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ).
在微積分理論的發(fā)展之路上，還有一些數(shù)學(xué)家必須提到，他們是黎曼(Riemann)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、阿貝爾(Abel)、戴德金(Dedekind)、康托爾(Cantor)，等等，他們的名字將在我們的教材中一次又一次地被提到.
我們?cè)诮滩闹谐尸F(xiàn)的是經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家不斷完善、發(fā)展的微積分體系.
二、 我們的教材
教材的編寫(xiě)與教學(xué)目的是緊密相關(guān)的.微積分的教學(xué)目的主要為：
工具與方法微積分是近代自然科學(xué)與工程技術(shù)的基礎(chǔ)，其工具與方法屬性是毋庸置疑的.物理、化學(xué)、生物、力學(xué)等，很少有學(xué)科不用到微積分的概念、思想方法與手段.即便是在許多人文社會(huì)科學(xué)中，也會(huì)用到微積分知識(shí).
語(yǔ)言功能“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué).” 這是俄羅斯學(xué)者斯托利亞爾說(shuō)過(guò)的.其實(shí)這里說(shuō)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，不僅僅指的是數(shù)學(xué)上用到的語(yǔ)言，還指科學(xué)上用到的語(yǔ)言.科學(xué)知識(shí)的獲取、發(fā)展及表述都需要一套語(yǔ)言，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言是應(yīng)用最廣的一種科學(xué)語(yǔ)言.微積分中所用到的語(yǔ)言，包括“εδ”、“εN”語(yǔ)言，是最重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言之一.因此數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)也是微積分課程的教學(xué)內(nèi)容.
培養(yǎng)理性思維理性思維方法是處理科學(xué)問(wèn)題所必需的一種思維方法.微積分理論中處處閃耀著歷史上一代又一代數(shù)學(xué)大師們理性思維的光芒，我們力圖在教材中向?qū)W生展現(xiàn)這些理性思維的光芒，以激發(fā)學(xué)生理性思維的潛能.同時(shí)注重理性思維訓(xùn)練，使學(xué)生在微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中有機(jī)會(huì)逐步理解、掌握解決數(shù)學(xué)以及相關(guān)科學(xué)問(wèn)題的邏輯思維方法.
實(shí)踐過(guò)程從微積分的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)，從阿基米德、劉徽的樸素微積分思想，到牛頓和萊布尼茨的微積分基本定理，再到“實(shí)數(shù)系—極限論—微積分”體系的建立，正好是一門學(xué)科從萌芽到初步建立再到完善的過(guò)程.任何一門科學(xué)的產(chǎn)生都沿襲這個(gè)過(guò)程.微積分是學(xué)生第一次完整地經(jīng)歷這一過(guò)程，而這種經(jīng)歷對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難得的.微積分的學(xué)習(xí)就是一次實(shí)踐過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)、學(xué)習(xí)如何建立一門科學(xué)，在創(chuàng)建的過(guò)程中會(huì)遇到什么問(wèn)題，如何去解決那些乍一看似乎解決不了的問(wèn)題(例如“柯西極限存在準(zhǔn)則”成功解決了數(shù)列或函數(shù)極限不存在的問(wèn)題，而這個(gè)問(wèn)題用極限的定義是無(wú)法解決的； 實(shí)數(shù)理論解決了實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)軸上的完備性問(wèn)題).盡管微積分是一門已經(jīng)成熟的課程，我們幾乎不可能有創(chuàng)新的機(jī)會(huì)，但是通過(guò)建立微積分理論體系的實(shí)踐，可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的能力.一旦有機(jī)會(huì)，他們會(huì)在各自的工作中提出自己的理論，并會(huì)完善自己的理論.就像兒時(shí)的搭積木對(duì)培養(yǎng)建筑師的重要性一樣.
隨著計(jì)算機(jī)和軟件技術(shù)的日益發(fā)展，微積分中的一些計(jì)算工作，例如求導(dǎo)數(shù)、求積分等的重要性日漸減弱，而微積分的語(yǔ)言功能和實(shí)踐過(guò)程卻越來(lái)越重要.對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生來(lái)說(shuō)，原來(lái)的微積分教材太注重微積分的工具功能，而數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析教材又太注重細(xì)節(jié)，學(xué)時(shí)太長(zhǎng)，因此我們編寫(xiě)了現(xiàn)在的教材.
在本教材中，我們?cè)诓挥绊懣倢W(xué)時(shí)的情況下,適當(dāng)加強(qiáng)了極限理論的內(nèi)容和訓(xùn)練,為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)好微積分理論打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí),將確界原理作為平臺(tái)(基本假設(shè))，給出了關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)基本定理,使之滿足微積分體系的需要.而對(duì)于初學(xué)學(xué)生不容易理解和掌握的內(nèi)容,如有限覆蓋定理等,則不作過(guò)多的論述與要求，從而避免冗長(zhǎng)的論證和過(guò)于學(xué)究化的深究.我們比較詳細(xì)地介紹了積分理論，證明了一元函數(shù)可積的等價(jià)定理以及二重積分的可積性定理，得到了只要函數(shù) “比較好”(函數(shù)的間斷點(diǎn)為零長(zhǎng)度集(一元函數(shù)定積分)或零面積集(二元函數(shù)的二重積分))，積分區(qū)域邊界也“比較好”(積分區(qū)域邊界為零面積集(二元函數(shù)的二重積分))，一元函數(shù)定積分(二元函數(shù)的二重積分)一定存在.至于三重積分和曲線、曲面積分，我們采取了簡(jiǎn)化的方法，沒(méi)有探究細(xì)節(jié).
我們將常微分方程的內(nèi)容放到上冊(cè)，以便于其他學(xué)科(比如物理學(xué))的學(xué)習(xí).而級(jí)數(shù)則放到本書(shū)的最后.作為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的應(yīng)用，我們?cè)诒緯?shū)的最后證明了常微分方程初值問(wèn)題解的存在唯一性定理.
微積分教材的理性與直觀的關(guān)系一直是比較難處理的問(wèn)題.過(guò)多地強(qiáng)調(diào)理性，可能會(huì)失去微積分本來(lái)的意圖； 而過(guò)多地強(qiáng)調(diào)直觀，又會(huì)使這么優(yōu)秀的大學(xué)生失去了一次難得的理性思維訓(xùn)練，這種訓(xùn)練是高層次人才所必須經(jīng)歷的，而且我們的學(xué)生也非常愿意接受這種訓(xùn)練. 與國(guó)外的微積分教材比較強(qiáng)調(diào)直觀相比，我們兼顧了數(shù)學(xué)的理性思維訓(xùn)練.與國(guó)內(nèi)的微積分教材相比，我們結(jié)合了學(xué)生的實(shí)際情況(學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，學(xué)習(xí)熱情高)，適當(dāng)?shù)丶訌?qiáng)了教材與習(xí)題的難度，并考慮到理工科學(xué)生的背景，加強(qiáng)了應(yīng)用.
本教材作為講義已經(jīng)在清華大學(xué)的很多院系使用過(guò)數(shù)次.上冊(cè)與下冊(cè)的基本內(nèi)容分別使用75學(xué)時(shí)講授,各輔以20~25學(xué)時(shí)的習(xí)題課.
本書(shū)是根據(jù)編者在清華大學(xué)微積分課程的講義整理而成的.上冊(cè)主要由劉智新編寫(xiě),下冊(cè)主要由章紀(jì)民編寫(xiě),教材中的習(xí)題主要由北京郵電大學(xué)閆浩編寫(xiě).在編寫(xiě)的過(guò)程中，得到了“清華大學(xué)‘985工程’三期人才培養(yǎng)項(xiàng)目”的資助和清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心與幫助.編者的同事蘇寧、姚家燕、郭玉霞、扈志明、楊利軍、崔建蓮、梁恒等老師在本書(shū)的編寫(xiě)過(guò)程中也給予了很多幫助和關(guān)心,借此機(jī)會(huì),向他們一一致謝.
三、 關(guān)于微積分的學(xué)習(xí)
我們的學(xué)生經(jīng)過(guò)小學(xué)、中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和技能，但是面對(duì)微積分這門嚴(yán)謹(jǐn)和理性的課程，多少都會(huì)有一些不適應(yīng).對(duì)學(xué)生而言，毅力和堅(jiān)持是唯一的途徑.對(duì)教師而言，耐心和細(xì)致也是必要的前提.任何教材都只是知識(shí)的載體，缺少了學(xué)生的毅力和教師的耐心，學(xué)好微積分是不可能的.
祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步！
編者
2014年7月于清華園