本書內(nèi)容以我們編寫的《高等代數(shù)學(xué)》第2版的章為基準(zhǔn), 分為三大部分: 基礎(chǔ)內(nèi)容(第1~6章), 深入內(nèi)容(第7~9章), 選學(xué)內(nèi)容(第10~12章). 各章內(nèi)容基本分為4個(gè)板塊: (1)定義與定理; (2)解題方法介紹; (3)《高等代數(shù)學(xué)》(第2版)中習(xí)題與解答; (4)補(bǔ)充題與解答.
此次再版, 新增加的內(nèi)容和習(xí)題, 有以下幾方面:
1. 增加了兩章, 即正交幾何與辛幾何(第10章), Hilbert空間(第11章). 這是《高等代數(shù)學(xué)》第2版新增的兩章. 分別是歐幾里得空間和酉空間的發(fā)展. 前者的基域可以是任意域(如二元域), 內(nèi)積可以是奇異的、交錯(cuò)的. Hilbert空間即是無限維的完備的酉空間. 這些內(nèi)容在數(shù)學(xué)和許多科學(xué)技術(shù), 例如信息和編碼、量子物理等中都很重要. 連同張量積與外積(第12章), 此3章作為選讀參考,不在基礎(chǔ)課內(nèi)講授. 這部分收入的習(xí)題, 有些也是信息編碼、物理應(yīng)用(如 Minkowski 四維時(shí)空)的基礎(chǔ).
2. 解答了《高等代數(shù)學(xué)》第2版增加的習(xí)題.
3. 新補(bǔ)充了一批習(xí)題及其解答, 除了普通習(xí)題, 還有一些問題是課堂內(nèi)容的發(fā)展、延伸和補(bǔ)充. 介紹了一些不便于寫入教材的(因?yàn)槠�幅限制或不在基礎(chǔ)課主線上等原因), 但又很有價(jià)值和趣味的內(nèi)容. 這類補(bǔ)充題主要如下:
第1章: 多項(xiàng)式方面, 關(guān)于正根個(gè)數(shù)的“笛卡兒符號(hào)判則”, 關(guān)于實(shí)根個(gè)數(shù)的“施圖姆(Sturm)定理”, 根的范圍估計(jì); 方程的模素?cái)?shù)冪解, 即p\|adic數(shù)和Hensel提升的萌芽; 形式冪級(jí)數(shù)的性質(zhì); 古希臘直尺圓規(guī)作圖問題, 立方倍積、三等分角不可能性的證明; 多元多項(xiàng)式因式分解示例等.
第3章: 結(jié)式的次數(shù), Bezout 定理(關(guān)于兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)).
第4章: 矩陣的各類廣義逆與方程組的解.
第5章: 線性映射的分解.
第6章: 正合序列介紹.
第8章: 無限維空間中對(duì)偶和伴隨映射的關(guān)系; 二次型與多元二次多項(xiàng)式的分解.
第9章: 線性變換族(群表示和特征)基礎(chǔ); 對(duì)偶和伴隨變換的各種關(guān)系; 射影空間介紹; Frobenius 定理(即R 上有限維可除代數(shù)必為R,C,H之一).
第10章: 代數(shù)編碼基礎(chǔ)知識(shí), Singleton界, Griesmer界等.