目錄
前言
第1章 微分流形 1
1.1 流形的定義和例子 1
1.2 子流形 7
1.3 單位分解 15
1.4 切空間和切映射 21
1.5 Sard定理及應(yīng)用 29
1.6 Lie群初步 37
第2章 流形上的微積分 45
2.1 切叢和切向量場 45
2.2 可積性定理及應(yīng)用 56
2.3 向量叢和纖維叢 63
2.4 張量叢 72
2.5 微分形式 80
2.6 帶邊流形 93
2.7 Stokes積分公式 97
第3章 流形的幾何 105
3.1 度量回顧 105
3.2 聯(lián)絡(luò) 111
3.3 曲率 122
3.4 聯(lián)絡(luò)和曲率的計(jì)算 130
3.4.1 活動(dòng)標(biāo)架法 130
3.4.2 正規(guī)坐標(biāo) 135
3.5 子流形幾何 140
3.5.1 第二基本形式 140
3.5.2 活動(dòng)標(biāo)架法 143
3.5.3 極小子流形 144
3.5.4 黎曼淹沒 152
3.6 齊性空間 156
3.6.1 Lie群和不變度量 156
3.6.2 棄性空間 160
3.6.3 對稱空間 163
3.7 主叢及其聯(lián)絡(luò) 170
3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式 180
3.8.1 向量場的指標(biāo) 181
3.8.2 單位球叢上的計(jì)算 184
3.9 Chern-Weil理論 190
第4章 流形的上同調(diào) 205
4.1 Poincare引理 205
4.1.1 Poincare引理 205
4.1.2 映射度回顧 210
4.2 de Rham上同調(diào)群的計(jì)算 215
4.2.1 群作用與上同調(diào) 215
4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列 222
4.3 Thom類和相交數(shù) 229
4.3.1 Thom類 229
4.3.2 相交數(shù) 233
4.4 Hodge理論 240
4.4.1 Hodge星算子 240
4.4.2 Bochner技巧 246
4.5 Dirac算子 253
4.5.1 Clifford代數(shù) 253
4.5.2 Clifford叢 262
第5章 流形上的橢圓算子 270
5.1 Sobolev空間 270
5.2 Hodge定理的證明 277
5.3 熟方程與熱核 284
5.4 跡與指標(biāo)公式 296
5.5 指標(biāo)公式的證明 304
5.5.1 諧振子 309
5.5.2 Atiyah-Singer指標(biāo)定理 312
參考文獻(xiàn) 318
索引 320