證明不是為了讓你相信某些事物是正確的，而是向你展示它為什么是正確的。
—— Andrew Gleason
一個好的證明可以使我們更聰明。
——Yu．I．Manin
許多工作都是在為那些已經有了證明方法的定理尋找新的證明方法，而這僅僅是因為現(xiàn)存的方法不夠美觀。許多數(shù)學的證明方法僅是讓人信服，借用著名的數(shù)學物理學家Lord Rayleigh的名言，“他們迫使大家同意這些證明方法”。但其實還有許多其他優(yōu)美和充滿智慧的證明方法�！八鼈冏屓藗冃老膊⑶椴蛔越麡嬀吞N含在這首詩里面。
——Morris Kline
什么是“無需語言的證明呢？”正如你將要從這套叢書的第2季上看到的，這個問題并沒有一個簡單明了的答案（叢書的第1季，Proofswithout words：Exercises in Visual Thinking，已經在1993由美國數(shù)學協(xié)會出版，中文版《數(shù)學寫真集（第1季）——無需語言的證明》由機械工業(yè)出版社出版）。一般地，無需語言的證明（PWWs）就是用一些圖和圖表來幫助讀者了解為什么一個具體的數(shù)學命題是正確的，同時也讓讀者了解怎樣去證明它是正確的。有些時候在整個證明過程中會配有一兩個等式來引導讀者。然而，關鍵之處是所提供的可視化思維能夠激發(fā)讀者的數(shù)學思想。
在由美國數(shù)學協(xié)會出版的期刊中Pwws是王牌欄目。Pwws首先是出現(xiàn)在約1975年的《數(shù)學雜志》上，十年后又出現(xiàn)在《數(shù)學�？飞�。 但無需語言的證明并不是最近的創(chuàng)新，它們已經有很長一段歷史了。在本書中你會發(fā)現(xiàn)PWWs的許多現(xiàn)代思想來自于古代中國、10世紀的阿拉伯和文藝復興時期的意大利。PWWs現(xiàn)在也會出現(xiàn)在其他的雜志和期刊里，包括美國以及海外出版的雜志，甚至還會出現(xiàn)在互聯(lián)網上。
當然，有些人就認為PWWs并不是真正的“證明” （其實它們并不是“無需語言的，”因為等式都會配有一個PWW）。在James Rober Brown最近的《數(shù)學哲學：有關證明與圖形世界的介紹》（1999年倫敦勞特利奇出版社）一書中有記載：
“數(shù)學家，就像我們中的一些人，會珍惜聰明的想法；特別地，他們會因為一個巧妙的圖形而高興。但這種欣賞并不會淹沒一個普遍的懷疑。畢竟，一個圖表（當然是最好的情況下）僅僅只是一種特殊情況，所以并不能建立一個一般的定理。更糟糕的是，它也許會成為一個徹底的誤導。即使不是很普遍，但一般的觀點就是圖畫確實沒有啟發(fā)式教育的受益多；它們在心理暗示方面和在教學方法上是很重要的，但是卻沒有證出任何結論。我要反對這種觀點并且要說明圖畫在證明過程中真的有起到一個有效的作用——是一個比啟發(fā)式教育還要好很多的角色。簡而言之，圖形能夠證明定理�！�
在PWWs的第1季的前言中，我建議老師能將PWWs介紹給學生們。第1季書的一些讀者向我咨詢，PWWs在課堂上以何種方式使用。來自各個學習水平的師生對于使用PWWs均有回復，包括在高中學習微積分的必修課程，大學教育的微積分學、數(shù)論、組合數(shù)學，以及教師的課前預習和授課中都有。PWWs經常用于補充或甚至用來代替教科書上的證明，例如：勾股定理、整數(shù)求和的公式、關于正方形以及立方體方面的問題。其他的就廣泛地使用在常規(guī)作業(yè)中、額外加分的問題中、學生在課堂的自由發(fā)言當中、甚至是在單元考卷和課堂項目中。
需要指出的是，該書如第1季一樣總有不完備的地方。它沒有包含所有的PWWs，它既沒有全部包含自1993年第1季出版后出現(xiàn)在各類出版物上的PWWs也沒有包含我編輯第1季書時搜集的所有PWWs。數(shù)學協(xié)會期刊的讀者們肯定已經發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)在出版物中新的PWWs更加頻繁了，并且它們現(xiàn)在也會出現(xiàn)在互聯(lián)網上并以優(yōu)越的形式展示出來。
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