史寧中主編的《基本概念與運(yùn)算法則》主要講述小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一些核心問題，在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上，探討實(shí)現(xiàn)“四基”課程目標(biāo)、適合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方法�！皢栴}篇”包括30個問題，大部分問題來自數(shù)學(xué)教育工作者和教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師，《基本概念與運(yùn)算法則》嘗試以回答問題的方式進(jìn)行講述，希望讀者能夠通過對這些問題的理解把握小學(xué)數(shù)學(xué)的核心�！霸掝}篇”設(shè)定了30個話題，拓展對 小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的內(nèi)容都是最基礎(chǔ)的、最本質(zhì)的。因此，本書的內(nèi)容不僅適用于小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對于中學(xué)數(shù)學(xué)教師、學(xué)生家長甚至對大學(xué)生和大學(xué)教師都有參考價值。本書還可作為校本研修的教材或參考書。
問題篇
第一部分 數(shù)的認(rèn)識
問題1 數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？
數(shù)量是對現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象／數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少
問題2 如何認(rèn)識自然數(shù)？
數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對數(shù)量關(guān)系的抽象／對應(yīng)的方法／定義的方法
問題3 表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？
表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個符號和數(shù)位／十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍／數(shù)位的名稱／自然數(shù)集合
問題4 如何認(rèn)識自然數(shù)的性質(zhì)？
依據(jù)性質(zhì)可以對自然數(shù)進(jìn)行分類／奇數(shù)與偶數(shù)／素?cái)?shù)與合數(shù)
問題5 如何認(rèn)識負(fù)數(shù)？
負(fù)數(shù)與對應(yīng)的自然數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反／絕對值符號
問題6 如何認(rèn)識分?jǐn)?shù)？
分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算／整體與等分關(guān)系／整比例關(guān)系
問題7 如何認(rèn)識小數(shù)？
問題篇
第一部分 數(shù)的認(rèn)識
問題1 數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？
數(shù)量是對現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象／數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少
問題2 如何認(rèn)識自然數(shù)？
數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對數(shù)量關(guān)系的抽象／對應(yīng)的方法／定義的方法
問題3 表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？
表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個符號和數(shù)位／十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍／數(shù)位的名稱／自然數(shù)集合
問題4 如何認(rèn)識自然數(shù)的性質(zhì)？
依據(jù)性質(zhì)可以對自然數(shù)進(jìn)行分類／奇數(shù)與偶數(shù)／素?cái)?shù)與合數(shù)
問題5 如何認(rèn)識負(fù)數(shù)？
負(fù)數(shù)與對應(yīng)的自然數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反／絕對值符號
問題6 如何認(rèn)識分?jǐn)?shù)？
分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算／整體與等分關(guān)系／整比例關(guān)系
問題7 如何認(rèn)識小數(shù)？
重新理解十進(jìn)制／線性組合／基底／用小數(shù)定義有理數(shù)和無理數(shù)
問題8 什么是數(shù)感？
數(shù)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系／抽象的核心是舍去現(xiàn)實(shí)背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實(shí)背景
第二部分 數(shù)的運(yùn)算
問題9 如何解釋自然數(shù)的加法運(yùn)算？
有兩種方法解釋自然數(shù)的加法／對應(yīng)的方法／定義的方法／如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想
問題10 為什么說減法是加法的逆運(yùn)算？
四則運(yùn)算源于加法／減法是加法的逆運(yùn)算／相反數(shù)／整數(shù)集合
問題11 乘法是加法的簡便運(yùn)算嗎？
自然數(shù)集合上的乘法／整數(shù)集合上的乘法不是加法的簡便運(yùn)算
問題12 整數(shù)集合上的乘法是如何得到的？
整數(shù)集合上的乘法運(yùn)算是自然數(shù)集合上乘法運(yùn)算的推廣／為什么負(fù)負(fù)為正／運(yùn)算與算理等價
問題13 為什么說除法是乘法的逆運(yùn)算？
如何表示除法／得到的商是整數(shù)／得到的商不是整數(shù)／有理數(shù)集合／倒數(shù)
問題14 為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減？
運(yùn)算次序有兩個基本法則／所有混合運(yùn)算都是在講述兩個或兩個以上的故事
問題15 為什么要學(xué)習(xí)估算？
精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力／估算問題要有合適的實(shí)際背景／合理的量綱／許多估算問題是為了得到上界或者下界
問題16 什么是符號意識？
概念符號／用字母表示數(shù)／基于符號的運(yùn)算／符號的表達(dá)具有一般性／關(guān)系符號／代數(shù)學(xué)的開始
問題17 方程的本質(zhì)是什么？
方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系／用字母表示未知的量／解方程的基本原則是利用等式的性質(zhì)
問題18 小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些模型？
模型的現(xiàn)實(shí)性／總量模型／路程模型／植樹模型／工程模型
問題19 發(fā)現(xiàn)問題和提出問題有什么不同？
從“雙基”到“四基”／發(fā)現(xiàn)問題／創(chuàng)新意識／提出問題／創(chuàng)新能力／語言表述／符號表達(dá)
第三部分 圖形與幾何
問題20 為什么要把“空間與圖形”修改為“圖形與幾何”？
時間和空間是人們認(rèn)識世界最為基本的概念／幾何學(xué)是研究如何構(gòu)建空間度量方法的學(xué)科／歐幾里得幾何／平直的概念／直線距離
問題21 如何理解點(diǎn)、線、面、體、角？
看到的物體都是立體的／點(diǎn)、線、面、體、角是從立體圖形中抽象出來的概念／如何用描述的方法給出幾何概念
問題22 認(rèn)識圖形的教育價值是什么？
更重要的是讓學(xué)生學(xué)會對圖形分類／制訂分類標(biāo)準(zhǔn)／遵循標(biāo)準(zhǔn)／培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力
問題23 如何理解長度、面積、體積？
長度是對一維空間圖形的度量／面積是對二維空間圖形的度量／體積是對三維空間圖形的度量／度量的基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間的直線距離
問題24 如何理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱？圖形的運(yùn)動／保持任意兩點(diǎn)間直線距離不變／剛體運(yùn)動／參照物
問題25 如何理解空間觀念和幾何直觀？
空間觀念的本質(zhì)是空間想象力／直觀是對事物的直接判斷，是經(jīng)驗(yàn)層面的／
直觀能力的養(yǎng)成依賴本人參與其中的思維活動或者實(shí)踐活動／幾何直觀的作用不局限于數(shù)學(xué)
第四部分統(tǒng)計(jì)與概率
問題26 為什么要強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)分析觀念？
統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)／描述統(tǒng)計(jì)／推斷統(tǒng)計(jì)／通過樣本推斷總體
問題27 三種統(tǒng)計(jì)圖之間有什么共性和差異？
直觀地表述數(shù)據(jù)／條形統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量的多少／扇形統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量所占的比例／折線統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量的變化
問題28 如何理解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性？
隨機(jī)性與不確定性是有所區(qū)別的／減少人為干擾／減少系統(tǒng)誤差／估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要手段／最大似然估計(jì)／通過樣本頻率估計(jì)概率
問題29 平均數(shù)的意義是什么？
平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一個非常重要的概念／誤差模型／隨機(jī)性誤差會因正負(fù)抵消而大大減少／樣本平均數(shù)是真值的無偏估計(jì)
問題30 什么是概率？如何得到概率？
概率是指隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大�。怕适俏粗模烙�(jì)概率／定義概率／古典概率模型
話題篇
話題1 幾種古代的數(shù)字符號
話題2 數(shù)量的本質(zhì)
話題3 數(shù)量多少的比較
話題4 十進(jìn)制的自然數(shù)
話題5 十二進(jìn)制與六十進(jìn)制
話題6 公理體系定義的自然數(shù)
話題7 借助算術(shù)公理體系解釋加法運(yùn)算
話題8 公理體系的必要性與數(shù)學(xué)證明的形式
話題9 加法運(yùn)算和減法運(yùn)算性質(zhì)的證明
話題10 用符號表示分類
話題11 素?cái)?shù)的故事
話題12 負(fù)數(shù)的意義
話題13 有理數(shù)與無理數(shù)
話題14 利用反證法證明根號2是無理數(shù)
話題15 用小數(shù)定義有理數(shù)和無理數(shù)
話題16 數(shù)學(xué)證明的思維過程
話題17 邏輯推理的思維起點(diǎn)
話題18 數(shù)學(xué)歸納法的論證邏輯
話題19 乘法的定義
話題20 除法運(yùn)算規(guī)定0不能為除數(shù)
話題21 除數(shù)是分?jǐn)?shù)時的除法運(yùn)算
話題22 數(shù)學(xué)中的符號表達(dá)
話題23 路程模型中的絕對時間與相對時間
話題24 幾何學(xué)的由來
話題25 歐幾里得《幾何原本》
話題26 幾何基本概念的進(jìn)一步抽象
話題27 長度單位的確定
話題28 曹沖稱象與浮力
話題29 統(tǒng)計(jì)學(xué)的由來
話題30 概率的定義和估計(jì)
案例篇
案例1 關(guān)于問題2“如何認(rèn)識自然數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例2 關(guān)于問題3“表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例3 關(guān)于問題4“如何認(rèn)識自然數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例4 關(guān)于問題5“如何認(rèn)識負(fù)數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例5 關(guān)于問題6“如何認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例6 關(guān)于問題7“如何認(rèn)識小數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例7 關(guān)于問題8“什么是數(shù)感”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例8 關(guān)于問題9“如何解釋自然數(shù)的加法運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例9 關(guān)于問題1 1“乘法是加法的簡便運(yùn)算嗎”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例10 關(guān)于問題13“為什么說除法是乘法的逆運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例11 關(guān)于問題14“為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例12 關(guān)于問題15“為什么要學(xué)習(xí)估算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例13 關(guān)于問題16“什么是符號意識”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例14 關(guān)于問題17“方程的本質(zhì)是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例15 關(guān)于問題18“小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些模型”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例16 關(guān)于問題21“如何理解點(diǎn)、線、面、體、角”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例17 關(guān)于問題23“如何理解長度、面積、體積”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例18 關(guān)于問題24“如何理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例19 關(guān)于問題27“三種統(tǒng)計(jì)圖之間有什么共性和差異”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例20 關(guān)于問題29“平均數(shù)的意義是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
問題15 為什么要學(xué)習(xí)估算？
在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，人們遇到的大量計(jì)算都是估算，因此應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生知道估算。此外，精算在本質(zhì)上是對于數(shù)的運(yùn)算，估算在本質(zhì)上是對于數(shù)量的運(yùn)算，因此，學(xué)習(xí)估算對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是有好處的。法國腦科學(xué)家研究了人們在進(jìn)行精算和估算時大腦的反射部位，研究結(jié)果表明：精算主要激活腦左額葉下部，與大腦的語言區(qū)有明顯重疊；估算主要激活腦雙側(cè)頂葉下部，與大腦運(yùn)動知覺區(qū)聯(lián)系密切。因此，就教育價值而言，根據(jù)腦科學(xué)家的研究成果，很可能會有這樣的區(qū)分：精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力。顯然，抽象能力與直觀能力是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中必不可少的兩種能力，這兩種能力都是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容不僅要有精算也要有估算。同時，根據(jù)上面所說的道理還可以推斷：估算不是近似計(jì)算，更不是精算以后的四舍五入。此外，估算也不是估計(jì)：估算也是需要算的。據(jù)此，我們可以得到一個基本結(jié)論：小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育，估算問題要有合適的實(shí)際背景，否則就失去了估算的教育意義。
首先，估算往往要涉及在哪個數(shù)位上進(jìn)行計(jì)算的問題，因此，需要在計(jì)算之前針對實(shí)際背景選擇合理的量綱。選擇量綱的過程可以讓學(xué)生感悟估算是對現(xiàn)實(shí)問題的度量，進(jìn)而感悟如何進(jìn)行估算才是合理的。所謂量綱就是問題8中所說的數(shù)量單位，比如，我們考慮距離的度量：如果要度量北京到紐約的距離，那么用萬公里比較合適；如果要度量長春到北京的距離，那么用百公里比較合適；如果要度量教室的大小，那么用米比較合適；如果要度量書桌的大小，那么用厘米比較合適。確定了量綱以后，在具體計(jì)算時，就可以在量綱的整數(shù)位上進(jìn)行估算，至多以量綱為基準(zhǔn)取小數(shù)點(diǎn)后一位進(jìn)行計(jì)算，一個類似的例子可以參見《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的例6。
其次，對于已經(jīng)給定了數(shù)量，許多估算問題是為了得到上界或者下界，為此，需要對給定的數(shù)量進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小，然后湊整計(jì)算。
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