目錄
前言
第1章 誤差 1
1.1 誤差的來(lái)源 1
1.1.1 誤差分析的重要性 1
1.1.2 誤差的來(lái)源 2
1.2 誤差 4
1.2.1 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 4
1.2.2 有效數(shù)字與舍入誤差 6
1.2.3 條件數(shù)與病態(tài)問(wèn)題 7
1.3 數(shù)值計(jì)算中需要注意的問(wèn)題 9
1.3.1 避免兩個(gè)相近的數(shù)相減 9
1.3.2 防止大數(shù)“吃掉”小數(shù) 10
1.3.3 注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟, 減少運(yùn)算次數(shù) 11
1.3.4 避免誤差的傳播與積累 12
1.4 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 14
1.4.1 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù) 14
1.4.2 實(shí)數(shù)的浮點(diǎn)表示 16
1.4.3 MATLAB 計(jì)算及產(chǎn)生的誤差 19
習(xí)題1 22
數(shù)值實(shí)驗(yàn)1 23
第2章 非線(xiàn)性方程求根 25
2.1 二分法 25
2.1.1 基本概念與性質(zhì) 25
2.1.2 二分法的基本思想 28
2.1.3 誤差估計(jì)與收斂性分析 29
2.1.4 算法 30
2.1.5 算法的優(yōu)缺點(diǎn) 30
2.2 迭代法 31
2.2.1 迭代法的基本思想 31
2.2.2 迭代法的幾何解釋 32
2.2.3 收斂定理 34
2.2.4 誤差估計(jì) 35
2.2.5 算法 36
2.2.6 局部收斂定理 37
2.2.7 迭代收斂的階 38
2.2.8 迭代加速 40
2.3 Newton 法 43
2.3.1 算法介紹 43
2.3.2 Newton 法的幾何意義 44
2.3.3 算法 44
2.3.4 Newton 法的收斂速率 45
2.3.5 重根情況 46
2.3.6 Newton 下山法 48
2.4 弦截法 49
2.5 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 52
2.5.1 二分法 52
2.5.2 迭代法 55
2.5.3 Newton 法 58
2.5.4 弦截法 59
2.5.5 fzero 函數(shù) 60
2.5.6 roots 函數(shù) 62
習(xí)題2 62
數(shù)值實(shí)驗(yàn)2 64
第3章 線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法 67
3.1 消去法 68
3.1.1 順序Gauss 消去法 68
3.1.2 列主元Gauss 消去法 74
3.1.3 Gauss-Jordan 消去法 77
3.2 矩陣分解 83
3.2.1 LU 分解 83
3.2.2 Cholesky 分解 90
3.3 向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 96
3.3.1 向量范數(shù) 96
3.3.2 矩陣范數(shù) 99
3.4 方程組的性態(tài) 103
3.4.1 關(guān)于方程組解的精度 103
3.4.2 矩陣的條件數(shù) 104
3.4.3 方程組的性態(tài) 104
3.4.4 病態(tài)方程組求解 108
3.5 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 108
3.5.1 求解線(xiàn)性方程組 108
3.5.2 矩陣分解 112
3.5.3 向量與矩陣范數(shù)、條件數(shù) 118
3.5.4 病態(tài)方程組求解 119
習(xí)題3 123
數(shù)值實(shí)驗(yàn)3 126
第4章 解線(xiàn)性代數(shù)方程組的迭代法 129
4.1 Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 129
4.1.1 Jacobi 迭代法 129
4.1.2 Gauss-Seidel 迭代法 132
4.1.3 Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的進(jìn)一步討論 133
4.2 迭代法的收斂性 135
4.2.1 迭代收斂定理 135
4.2.2 迭代收斂速度 139
4.2.3 對(duì)角占優(yōu)陣 141
4.3 逐次超松弛迭代法 146
4.3.1 逐次超松弛迭代法 146
4.3.2 SOR 迭代法的收斂性 147
4.3.3 逐次超松弛迭代中最優(yōu)松弛因子的討論 149
4.4 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 150
4.4.1 有關(guān)的MATLAB 函數(shù) 150
4.4.2 Jacobi 迭代法 151
4.4.3 Gauss-Seidel 迭代法 153
4.4.4 逐次超松弛迭代法 154
4.4.5 稀疏系數(shù)矩陣方程組的計(jì)算 155
4.5 求解線(xiàn)性方程組的共軛梯度法 157
4.5.1 共軛梯度法 157
4.5.2 算法 158
4.5.3 共軛梯度法的性質(zhì) 159
4.5.4 MATLAB 程序 159
習(xí)題4 160
數(shù)值實(shí)驗(yàn)4 162
第5章 非線(xiàn)性方程組數(shù)值解與最優(yōu)化方法 165
5.1 非線(xiàn)性方程組與最優(yōu)化問(wèn)題 165
5.1.1 非線(xiàn)性方程組 165
5.1.2 最優(yōu)化問(wèn)題 166
5.2 求解非線(xiàn)性方程組的數(shù)值方法 167
5.2.1 Newton 法 167
5.2.2 擬Newton 法 170
5.3 最優(yōu)化問(wèn)題 172
5.3.1 Newton 法 172
5.3.2 擬Newton 法 174
5.3.3 非線(xiàn)性最小二乘問(wèn)題 176
5.4 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 177
5.4.1 求解非線(xiàn)性方程組 177
5.4.2 求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 179
5.4.3 MATLAB 軟件中的優(yōu)化工具箱 183
習(xí)題5 187
數(shù)值實(shí)驗(yàn)5 188
第6章 插值方法 190
6.1 Lagrange 插值 190
6.1.1 Lagrange 插值多項(xiàng)式 190
6.1.2 Lagrange 插值公式的計(jì)算 192
6.1.3 插值余項(xiàng) 196
6.2 Newton 插值 199
6.2.1 均差 199
6.2.2 Newton 基本插值公式 202
6.2.3 差分 204
6.2.4 等距節(jié)點(diǎn)的Newton 插值公式 207
6.3 Hermite 插值 210
6.3.1 兩點(diǎn)二次插值公式 210
6.3.2 兩點(diǎn)三次Hermite 插值公式 213
6.3.3 Hermite 插值公式 216
6.3.4 Newton 形式的Hermite 插值公式 217
6.4 分段低次插值 219
6.4.1 高次插值多項(xiàng)式的問(wèn)題 219
6.4.2 分段線(xiàn)性插值 220
6.4.3 分段三次Hermite 插值 222
6.5 三次樣條插值 224
6.5.1 三次樣條插值函數(shù) 224
6.5.2 三次樣條插值函數(shù)的求法 225
6.5.3 三次樣條插值的收斂性 235
6.6 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 237
6.6.1 自編程序 237
6.6.2 有關(guān)插值運(yùn)算的MATLAB 函數(shù) 241
6.6.3 高維插值函數(shù) 245
習(xí)題6 250
數(shù)值實(shí)驗(yàn)6 253
第7章 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近 255
7.1 數(shù)據(jù)擬合及最小二乘原理 255
7.1.1 最小二乘原理與線(xiàn)性擬合 255
7.1.2 多項(xiàng)式擬合 257
7.1.3 可化為線(xiàn)性擬合 259
7.2 用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合 262
7.2.1 基本概念 262
7.2.2 一般形式的最小二乘擬合 263
7.2.3 正交多項(xiàng)式擬合 264
7.3 多變量的數(shù)據(jù)擬合 267
7.3.1 多變量的數(shù)據(jù)擬合 267
7.3.2 不相容方程組求解 269
7.4 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近 271
7.4.1 最佳平方逼近的概念及計(jì)算 272
7.4.2 正交多項(xiàng)式 274
7.4.3 用正交函數(shù)作最佳平方逼近 278
7.5 三角多項(xiàng)式與快速Fourier 變換 280
7.5.1 最佳平方逼近 280
7.5.2 離散Fourier 變換 283
7.5.3 快速Fourier 變換 285
7.5.4 用Fourier 變換構(gòu)造三角插值多項(xiàng)式 287
7.6 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 289
7.6.1 最小二乘擬合多項(xiàng)式 289
7.6.2 數(shù)據(jù)擬合的MATLAB 實(shí)現(xiàn) 291
7.6.3 非線(xiàn)性數(shù)據(jù)擬合的MATLAB 實(shí)現(xiàn) 293
7.6.4 快速Fourier 變換 295
習(xí)題7 297
數(shù)值實(shí)驗(yàn)7 299
第8章 數(shù)值積分和數(shù)值微分 302
8.1 Newton-Cotes 求積公式 302
8.1.1 數(shù)值求積公式的構(gòu)造及其代數(shù)精確度 302
8.1.2 梯形求積公式 304
8.1.3 Simpson 求積公式 306
8.1.4 Cotes 求積公式 308
8.1.5 Newton-Cotes 求積公式 309
8.1.6 數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性問(wèn)題 311
8.2 復(fù)化求積公式 312
8.2.1 復(fù)化梯形公式 312
8.2.2 復(fù)化Simpson 公式 314
8.2.3 復(fù)化Cotes 公式 315
8.3 Romberg 求積法 318
8.3.1 變步長(zhǎng)的梯形公式 318
8.3.2 Romberg 求積公式 319
8.3.3 Romberg 求積法 320
8.3.4 Richardson 外推加速法 323
8.4 Gauss 求積公式 325
8.4.1 Gauss 點(diǎn) 326
8.4.2 Gauss-Legendre 公式 327
8.4.3 Gauss-Legendre 公式的使用 329
8.4.4 Gauss 型求積公式的余項(xiàng)及穩(wěn)定性 330
8.4.5 Lobatto 求積公式 331
8.5 數(shù)值微分 332
8.5.1 數(shù)值微分的兩點(diǎn)公式 333
8.5.2 數(shù)值微分的三點(diǎn)公式 333
8.5.3 步長(zhǎng)h 的選取 334
8.5.4 用樣條函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 335
8.6 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 335
8.6.1 求積公式編程 335
8.6.2 數(shù)值積分的MATALB 實(shí)現(xiàn) 341
8.6.3 反常積分的數(shù)值方法 344
8.6.4 數(shù)值微分 347
習(xí)題8 351
數(shù)值實(shí)驗(yàn)8 353
第9章 常微分方程的數(shù)值解 355
9.1 Euler 方法 355
9.1.1 Euler 方法 355
9.1.2 梯形公式和改進(jìn)Euler 方法 360
9.2 Runge-Kutta 方法 363
9.2.1 Runge-Kutta 方法的基本思想 363
9.2.2 二階Runge-Kutta 法 364
9.2.3 四階Runge-Kutta 法 366
9.2.4 變步長(zhǎng)的Runge-Kutta 法 368
9.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 368
9.3.1 單步法的收斂性 368
9.3.2 單步法的穩(wěn)定性 371
9.3.3 穩(wěn)定性的意義 374
9.4 線(xiàn)性多步法 375
9.4.1 線(xiàn)性多步法的一般公式 375
9.4.2 Adams 外推公式 377
9.4.3 Adams 內(nèi)插公式 379
9.4.4 預(yù)報(bào){ 校正公式 380
9.5 常微分方程組和高階微分方程的數(shù)值方法 381
9.5.1 常微分方程組 381
9.5.2 高階方程 382
9.5.3 剛性方程組 383
9.6 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 384
9.6.1 自編程序 384
9.6.2 算法的穩(wěn)定性 387
9.6.3 初值問(wèn)題計(jì)算的MATLAB 實(shí)現(xiàn) 388
習(xí)題9 392
數(shù)值實(shí)驗(yàn)9 394
第10章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 397
10.1 冪法和反冪法 397
10.1.1 冪法 397
10.1.2 加速方法 401
10.1.3 反冪法 402
10.2 Jacobi 方法 405
10.2.1 Jacobi 方法的基本思想 405
10.2.2 Jacobi 方法 406
10.2.3 算法的收斂性質(zhì) 407
10.2.4 有關(guān)公式的計(jì)算與簡(jiǎn)化 408
10.2.5 Jacobi 過(guò)關(guān)法 411
10.3 QR 方法 412
10.3.1 QR 方法 412
10.3.2 Householder 矩陣 413
10.3.3 上Hessenberg 陣 414
10.3.4 矩陣的QR 分解 416
10.4 科學(xué)計(jì)算與MATLAB 程序 418
10.4.1 自編程序 418
10.4.2 求矩陣特征值的MATLAB 實(shí)現(xiàn) 422
習(xí)題10 424
數(shù)值實(shí)驗(yàn)10 425
答案 426
參考文獻(xiàn) 445