本章討論了折紙操作的7個公理及其性質(zhì),是全書折紙操作的基礎(chǔ).前6個公理分別是由JustinJacques在1989年和HumiakiHuzita在1991年提出的[1,2],我們在此6個公理的基礎(chǔ)上給出了折紙操作的第7公理及其性質(zhì).前5個折紙公理的結(jié)果都能用歐氏幾何尺規(guī)作圖完成,第6和第7公理是折紙幾何學(xué)所特有的操作,其最大的特點是翻折“紙―平面”的時候借用了三維空間.本章中,前5個折紙公理的應(yīng)用舉例,全部選用歐氏幾何的相關(guān)問題,作為第5公理的應(yīng)用,例舉了經(jīng)過兩次折疊三等分直角的方法,即得到含30.的直角三角形的操作過程,而作為第6公理的應(yīng)用,則介紹了阿部恒在1980年發(fā)表的三等分任意銳角和解倍立方問題的折紙方法[3],我們用第7公理描述了芳賀和夫關(guān)于三等分線段的第三定理的折紙步驟[4].
1.1兩點折線
歐幾里得《幾何原本》的第1公設(shè)：“任意一點到另外任意一點可以畫直線”,在折紙幾何中這一公設(shè)仍然成立.
折一折
操作1過長方形ABCD的A,C兩點折疊,折痕AC即為長方形ABCD的對角線AC,如圖1-1所示.
公理1(兩點折線)

圖1-1A.C
設(shè)P1,P2為已知兩點,則過P1,P2能折且只能折一條直線.我們將過P1,P2折疊的操作用記號
P1.P2表示,如圖1-2所示.
想一想
在長方形紙ABCD的BC邊上取一點E,過D,E兩點折疊,折痕為DE,點C的落點為F.

圖1-3D.E
因為折疊以后點C的落點是F,.CDE與.DEF重合,有EF=CE,DF=CD,DE=DE,且∠CED=∠FED,∠DFE=∠DCE,∠EDF=∠EDC,也即.CDE的三條邊和三個角與.DEF相對應(yīng)的三條邊和三個角分別相等,因而可以說.CDE≌.DEF.
這里,將折疊以后重合的兩點稱為對應(yīng)點.關(guān)于對應(yīng)點有下列性質(zhì)成立.
性質(zhì)1-1過已知兩點折疊,一對對應(yīng)點分別與已知兩點構(gòu)成的兩個三角形全等.
2

如圖
1-4,過點P1,P2折疊,點P的對應(yīng)點為
P.,則.P1PP2≌.P1P.P2.
性質(zhì)1-2如圖1-5,過點P1,P2折疊,設(shè)P的對應(yīng)點為Q,M的對應(yīng)點為N,則四邊形P1MPP2與四邊形P1NQP2全等.
事實上,在圖1-5中,過點P1,P2折疊后,四邊形P1MPP2與四邊形P1NQP2重合,即四邊形P1MPP2的四條邊與四個角分別與四邊形P1NQP2所對應(yīng)的四條邊與四個角相等,也就是說四邊形P1MPP2與四邊形P1NQP2全等.
做一做
1)怎樣將長方形紙分解為四個形狀和大小都相同的直角三角形.
圖1-4圖1-5
操作2設(shè)E,F分別是長方形ABCD的邊AD和BC上的中點,利用公理1,分別過E,F兩點,A,F兩點和D,F兩點折疊,可將長方形ABCD分成四個全等的直角三角形,如圖1-6所示.
2)如何在面積為1的正方形ABCD中折面積為15的正方形.
操作3如圖1-7所示,設(shè)E,F,G,H分別是正方形ABCD各邊上的中點,分別過A,G兩點,B,H兩點,C,E兩點,D,F兩點折疊(公理1),則折痕所圍成
的四邊形MNPQ為面積為51的正方形.
由.ABH≌.ADG(兩邊及夾角對應(yīng)相等),有∠ABH=∠DAG,而∠BAM+∠DAG=90.,所以∠BAM+∠ABM=90.,即AG⊥BH.同理可以證明每兩條折痕相互垂直,由此可得.ADQ≌.ABM≌.CBN≌.CDP,因此,AQ=BM=CN=DP.又因為E,F,G,H分別是正方形ABCD各邊上的中點,所以M,N,P,Q分別是AQ,BM,CN,DP的中點,因此四邊形MNPQ是正方形.容易
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