目錄
前言
數(shù)學家的話
緒論 1
一、線性代數(shù)的發(fā)展簡史 1
1. 了解數(shù)學史的重要意義 1
2. 代數(shù)學的歷史發(fā)展情況 1
3. 線性代數(shù)主要概念的形成 3
二、本書中使用的主要符號簡介 8
第1章 行列式 11
1.1 二階與三階行列式 11
1.1.1 二階行列式的概念 11
1.1.2 三階行列式的概念 12
1.2 全排列及其逆序數(shù) 13
1.2.1 逆序的概念 13
1.2.2 偶排列與奇排列的概念 14
1.3 階行列式的定義 14
1.4 對換 16
1.5 行列式的性質(zhì) 18
1.6 行列式按行（列）展開 23
1.7 克拉默法則——用行列式求解n元線性方程組 29
習題A 32
習題B 34
上機實驗實習題 35
第2章 矩陣及其運算 36
2.1 矩陣的概念 36
2.2 矩陣的運算 39
2.2.1 矩陣的加法 39
2.2.2 數(shù)與矩陣相乘 40
2.2.3 矩陣與矩陣相乘 40
2.2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置 42
2.2.5 方陣的行列式 44
2.2.6 共軛矩陣 46
2.3 方陣的逆矩陣 46
2.4 分塊矩陣與矩陣的分塊運算 51
2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣 58
2.6 矩陣的秩 66
習題A 71
習題B 73
上機實驗實習題 74
第3章 向量組的線性相關性 75
3.1 維向量的概念 75
3.1.1 n維向量的概念 75
3.1.2 維向量的計算 75
3.2 向量組及其線性組合 76
3.2.1 向量組及線性組合的概念 76
3.2.2 向量組和矩陣之間的關系 76
3.2.3 兩個向量組之間的關系及向量組的等價性 78
3.2.4 向量組等價的幾何解釋 78
3.3 向量組的線性相關性及其簡單性質(zhì) 78
3.3.1 向量組線性相關性定義 78
3.3.2 向量組的線性相關性判定 79
3.3.3 向量組的線性相關和線性無關的幾何意義 82
3.4 向量組的秩及和矩陣的秩的關系 83
3.4.1 向量組的秩及最大無關組的定義 83
3.4.2 向量組的最大無關組的性質(zhì) 83
3.4.3 向量組的秩和矩陣的秩的關系 84
3.4.4 向量組的秩的幾何意義 88
3.5 向量的內(nèi)積、長度及正交性 89
3.5.1 向量的內(nèi)積、長度、夾角的定義 89
3.5.2 正交向量組 90
3.5.3 施密特正交化方法 90
3.6 正交矩陣及其性質(zhì) 91
3.6.1 正交矩陣的定義和性質(zhì) 91
3.6.2 正交矩陣與正交變換 92
3.7 向量空間 93
3.7.1 向量空間的定義 93
3.7.2 向量空間舉例 93
3.7.3 向量組生成的向量空間 93
3.7.4 向量空間的基、維數(shù)和坐標 94
3.7.5 基變換與坐標變換 95
3.7.6 向量空間的幾何意義 99
習題A 99
習題B 101
上機實驗實習題 102
第4章 線性方程組 103
4.1 線性方程組的有解定理 103
4.1.1 線性方程組的表示形式 103
4.1.2 線性方程組的有解判別定理 104
4.2 齊次線性方程組的基礎解系 109
4.2.1 齊次線性方程組解的性質(zhì) 109
4.2.2 齊次線性方程組的解空間、基礎解系及通解結構 110
4.3 非齊次線性方程組解的結構及求解方法 115
4.3.1 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 115
4.3.2 非齊次線性方程組解的結構 115
4.3.3 初等行變換求非齊次線性方程組通解的方法 116
習題A 120
習題B 121
上機實驗實習題 123
第5章 矩陣的相似及二次型化簡 125
5.1 方陣的特征值與特征向量 125
5.1.1 特征值和特征向量的概念 125
5.1.2 特征值和特征向量的求解 127
5.1.3 特征值和特征向量的幾何解釋 129
5.1.4 特征值和特征向量的性質(zhì) 130
5.2 相似矩陣 130
5.2.1 相似矩陣的概念和性質(zhì) 130
5.2.2 方陣可相似對角化的充要條件 133
5.3 對稱矩陣的對角化 135
5.3.1 實對稱矩陣的特征值和特征向量 135
5.3.2 實對稱矩陣的正交相似對角化 136
5.4 二次型及其標準形 138
5.4.1 二次曲面的化簡問題 138
5.4.2 二次型概念及其矩陣表示 139
5.4.3 二次型的標準形和規(guī)范形 140
5.5 正交相似變換化簡二次型 141
5.5.1 正交變換化二次型為標準形的意義 141
5.5.2 正交變換化二次型為標準形 142
5.6 用配方法化簡二次型為標準形 144
5.6.1 合同變換的性質(zhì) 144
5.6.2 配方法化二次型為標準形 145
5.7 正定二次型與正定矩陣 147
5.7.1 慣性定理及二次型的定性問題 147
5.7.2 二次型的定性概念及判定方法 148
習題A 150
習題B 152
上機實驗實習題 153
第6章 線性空間與線性變換 154
6.1 線性空間及基與維數(shù) 154
6.1.1 線性空間的概念和性質(zhì) 154
6.1.2 線性空間的基與維數(shù) 157
6.2 基變換與坐標變換 160
6.3 線性變換及矩陣表示 163
6.3.1 線性變換 163
6.3.2 線性變換的矩陣表示式 167
6.3.3 雙線性函數(shù) 170
習題A 171
習題B 172
土機實驗實習題 174
參考文獻 175
附錄一 基于軟件Matlab的線性代數(shù)實驗 176
一、Matlab基礎簡介 176
1. Matlab簡介 176
2. Matlab進行數(shù)學運算的基本方法及M文件的創(chuàng)建 176
3. Matlab對使用變量名稱的規(guī)定 177
4. Matlab程序控制語句 177
二、常見線性代數(shù)相關問題的Matlab函數(shù) 179
三、典型例題解析 180
附錄二 線性代數(shù)模型在實際問題中的應用 191
一、模型與數(shù)學模型 191
1. 模型 191
2. 數(shù)學模型 191
二、數(shù)學建模 192
三、線性代數(shù)模型在實際問題中的應用案例 192
1. 過定點的曲線與曲面方程的建立 192
2. 求多元函數(shù)的極值 193
3. 人口比例的變化 195
4. 最小二乘法建立離散數(shù)據(jù)的擬合曲線 195
5. 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定 199
6. 平衡溫度分布的數(shù)學建模 200
附錄三 自測題及參考答案 203
自測題（一） 203
自測題（一）參考答案 205
自測題（二） 206
自測題（二）參考答案 208
附錄四 各章習題參考答案 211