近二十年來, 隨機過程由于其在數(shù)理金融等領(lǐng)域的應(yīng)用而倍受關(guān)注, Merton 和 Scholes 在期權(quán)定價方面的工作獲得諾貝爾獎之后更是如此。 因此作者覺得有必要對學生介紹隨機過程的一些基本知識。 本書是為數(shù)學系本科高年級學生開設(shè)的隨機過程選修課而寫的,目的在于讓他們對隨機過程的經(jīng)典問題和方法有一個初步的了解。 本書主要介紹Poisson過程、更新過程、隨機游動、鞅以及Markov 鏈的基本理論。作為最簡單的隨機過程, 它們的研究有悠久的歷史和直觀自然的背景。實際上, 許多連續(xù)時間的隨機過程的結(jié)論都可以在這些隨機序列的經(jīng)典結(jié)果中發(fā)現(xiàn)它們的影子。 第一章講述概率論基礎(chǔ), 包括隨機變量的收斂性以及條件期望、矩母函數(shù)、母函數(shù)等工具。 第二章介紹Poisson點過程, 主要介紹如何處理等待時間與隊列問題, 并簡單討論了復合Poisson過程的實際背景。 第三章主要介紹的是一個基本更新定理, 也為后面的Markov鏈性質(zhì)做些鋪墊。同時提出隨機游動, 也就是獨立同分布隨機變量的和, 將介紹一些經(jīng)典的方法和問題。 第四章講述隨機過程的基本理論和存在性定理,使本書建立在一個堅實的基石之上。從邏輯角度考慮, 它是后面討論 Markov 鏈所必需的,實際上給定轉(zhuǎn)移函數(shù)的 Markov 鏈的存在性在直觀上是自然的, 因此即使讀者不能很好地理解這一章, 也不會影響對其它內(nèi)容的理解。 第五章討論離散時間 Markov 鏈的基本理論和經(jīng)典方法, 它的研究一直是概率論中最為活躍的領(lǐng)域。還簡要介紹早已有所論述但最近才被人關(guān)注的 Markov 鏈與電路網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)聯(lián)系。 第六章將介紹鞅理論。從 某種意義上說, 鞅是隨機游動的一個自然推廣。比起隨機游動, 鞅是較為現(xiàn)代的理論, 它的主要發(fā)展是在20世紀下半葉。 鞅在許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用, 這里我們簡單介紹鞅在金融理論中的應(yīng)用, 也就是簡二項期權(quán)定價。雖然簡單, 但足以表達 Black-Schloes 及 Merton 理論的基本思想。 本書涉及的大部分內(nèi)容可以說是簡單直觀, 解決其中的問題也不需要太多的數(shù)學工具,對稍有基礎(chǔ)的讀者來說不難理解。
何萍，上海財經(jīng)大學數(shù)學學院教授、博士生導師。2001年3月獲日本國立金澤大學理學博士學位，之后在復旦大學數(shù)學所博士后流動站從事博士后研究工作，2003年7月入職上海財經(jīng)大學數(shù)學學院。曾訪問美國華盛頓大學數(shù)學系，也多次訪問日本參加學術(shù)會議、進行短期的學術(shù)交流。在《中國科學》《數(shù)學年刊》，美國的《概率年刊》《美國數(shù)學學會會報》，日本的《大阪數(shù)學志》等刊物發(fā)表多篇SCI檢索論文。分別于2007年與2012年獲得國家自然科學基金項目資助，均已結(jié)項。目前授課重點在本科《隨機過程引論》和研究生《概率論與隨機過程》,均獲上海財經(jīng)大學校級重點課程項目資助。
第一章 概率論述要………………………………………………………………………… 1 1.1 隨機變量 ………………………………………………………………………… 1 1.1.1 概率空間……………………………………………………………… 1 1.1.2 分布…………………………………………………………………… 4 1.1.3 期望與方差…………………………………………………………… 5 1.1.4 例……………………………………………………………………… 6 1.2 隨機向量………………………………………………………………………… 17 1.2.1 聯(lián)合分布 …………………………………………………………… 17 1.2.2 協(xié)方差與協(xié)方差矩陣 ……………………………………………… 18 1.2.3 例 …………………………………………………………………… 18 1.3 極限定理………………………………………………………………………… 28 1.3.1 可積性與不等式 …………………………………………………… 28 1.3.2 Bernoulli大數(shù)定律 ………………………………………………… 29 1.3.3 Borel大數(shù)定律……………………………………………………… 30 1.3.4 中心極限定理 ……………………………………………………… 37 1.4 矩母函數(shù)及母函數(shù)……………………………………………………………… 38 習題一 …………………………………………………………………………………… 41 第二章 隨機過程預備知識 ……………………………………………………………… 44 2.1 條件期望………………………………………………………………………… 44 2.1.1 事件域與可測性 …………………………………………………… 44 2.1.2 條件概率與條件期望 ……………………………………………… 46 2.1.3 理解條件期望 ……………………………………………………… 53 2.2 隨機過程的定義及例…………………………………………………………… 57 2.2.1 定義 ………………………………………………………………… 57 2.2.2 樣本軌道 …………………………………………………………… 59 2.2.3 常見的隨機過程 …………………………………………………… 61 習題二 …………………………………………………………………………………… 64 第三章 離散時間馬氏鏈 ………………………………………………………………… 67 3.1 隨機游動………………………………………………………………………… 67 3.1.1 格點軌道與反射原理 ……………………………………………… 68 3.1.2 對稱簡單隨機游動 ………………………………………………… 70 3.2 馬氏鏈的基本定義……………………………………………………………… 75 3.3 Chapman-Kolmogorov方程與狀態(tài)的分類 …………………………………… 82 3.3.1 Chapman-Kolmogorov方程 ……………………………………… 82 3.3.2 狀態(tài)之間的關(guān)系 …………………………………………………… 83 3.3.3 狀態(tài)的分類 ………………………………………………………… 84 3.4 P n 的極限性質(zhì)與平穩(wěn)分布 …………………………………………………… 96 3.4.1 基本極限定理 ……………………………………………………… 96 3.4.2 平穩(wěn)分布 …………………………………………………………… 97 3.5 Galton-Watson分支過程 …………………………………………………… 104 習題三…………………………………………………………………………………… 108 第四章 Poisson過程 …………………………………………………………………… 114 4.1 預備知識 ……………………………………………………………………… 114 4.2 Poisson過程的定義…………………………………………………………… 116 4.3 來到間隔與等待時間的分布 ………………………………………………… 118 4.4 來到時間的條件分布 ………………………………………………………… 121 4.5 非齊次Poisson過程* ………………………………………………………… 126 4.6 復合Poisson過程 …………………………………………………………… 130 習題四…………………………………………………………………………………… 135 第五章 更新過程………………………………………………………………………… 140 5.1 基本定義 ……………………………………………………………………… 140 5.2 N(t)的分布與更新函數(shù) ……………………………………………………… 141 5.2.1 N(t)的分布 ……………………………………………………… 141 5.2.2 更新函數(shù)…………………………………………………………… 142 5.3 極限定理與停時 ……………………………………………………………… 143 5.3.1 停時………………………………………………………………… 144 5.3.2 基本更新定理……………………………………………………… 146 5.4 關(guān)鍵更新定理及其應(yīng)用* …………………………………………………… 148 5.4.1 更新定理…………………………………………………………… 148 5.4.2 關(guān)鍵更新定理的應(yīng)用……………………………………………… 150 習題五…………………………………………………………………………………… 152 第六章 鞅………………………………………………………………………………… 155 6.1 公平游戲與鞅 ………………………………………………………………… 155 6.2 鞅基本定理 …………………………………………………………………… 158 6.2.1 停時………………………………………………………………… 160 6.2.2 Wald等式 ………………………………………………………… 161 6.2.3 首次通過時………………………………………………………… 162 6.3 在金融中的應(yīng)用 ……………………………………………………………… 168 6.3.1 模型無關(guān)的定價定理……………………………………………… 168 6.3.2 二叉樹模型………………………………………………………… 173 6.3.3 美式買入期權(quán)……………………………………………………… 175 習題六…………………………………………………………………………………… 176 第七章 Brown運動 ……………………………………………………………………… 178 7.1 Brown運動的定義 …………………………………………………………… 180 7.2 Brown運動的性質(zhì) …………………………………………………………… 180 7.3 Brown運動的其他性質(zhì) ……………………………………………………… 187 7.3.1 首中時與最大值變量……………………………………………… 187 7.3.2 反正弦律…………………………………………………………… 189 7.4 例 ……………………………………………………………………………… 190 7.5 粗糙軌道 ……………………………………………………………………… 193 7.6 Brown運動與鞅 ……………………………………………………………… 197 習題七…………………………………………………………………………………… 201 參考文獻…………………………………………………………………………………… 203
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