目　錄 第1章 天賦還是勤奮 1.1　沒(méi)什么特別的人類(lèi) 1.2　難以測(cè)量的直覺(jué) 第2章 想象力是最大的武器 2.1　哥貝克力石陣 2.2　規(guī)天矩地 2.3　數(shù)字崇拜 第3章 數(shù)字背后的邏輯 3.1　誰(shuí)更有錢(qián) 3.2　一一映射 3.3　快速計(jì)算比賽場(chǎng)次 3.4　漢字簡(jiǎn)化 3.5　基數(shù)與序數(shù) 第4章 區(qū)分抽象與還原 4.1　抽象的數(shù)學(xué)處理 4.2　生動(dòng)的數(shù)學(xué)還原 4.3　抽象與還原之爭(zhēng) 第5章 文明的進(jìn)步 5.1　古巴比倫數(shù)字 5.2　古埃及數(shù)字 5.3　古代中國(guó)的算籌 5.4　印度人的貢獻(xiàn) 5.5　一場(chǎng)生物學(xué)制造的意外 第6章 背離經(jīng)驗(yàn)的科學(xué) 6.1　相對(duì)論的拼圖 6.2　缺損棋盤(pán)問(wèn)題 6.3　失效的經(jīng)驗(yàn) 第7章 數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)（I） 7.1　邏輯感 7.2　一道解三角形題的本質(zhì) 7.3　計(jì)算三角函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)做法 7.4　“三段式”論證 7.5　你知道有幾只病狗嗎 第8章 數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)（II） 8.1　結(jié)構(gòu)感知力 8.2　回歸求知的本心 第9章 史上最大的“邏輯漏洞” 9.1　真相是什么 9.2　阿基米德的證明 9.3　數(shù)學(xué)走上神壇 第10章 無(wú)窮的困境 10.1　芝諾悖論 10.2　阿基里斯與烏龜 10.3　飛矢不動(dòng) 10.4　理性與感觀 第11章 第一次嘗試 11.1　伽利略的悖論 11.2　抽象與演繹的沖突 11.3　伽利略的選擇 第12章 無(wú)法回避的難題 12.1　封閉的疆域 12.2　幾何能做的也有限 12.3　數(shù)學(xué)界的思想解放 第13章 探尋之路 13.1　實(shí)數(shù)的模型 13.2　混亂的狀況 13.3　柯西與極限 13.4　柯西收斂準(zhǔn)則 第14章 實(shí)數(shù)軸的重生 14.1　康托爾的實(shí)數(shù)模型 14.2　 1.000等于0.999嗎 14.3　堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 第15章 芝諾悖論的數(shù)學(xué)終結(jié) 15.1　可數(shù)無(wú)窮集合 15.2　不平凡的可數(shù)集 15.3　實(shí)數(shù)集合不可數(shù) 15.4　遲到的榮耀 第16章 給長(zhǎng)度一個(gè)交代 16.1　長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)本質(zhì) 16.2　升級(jí)版長(zhǎng)度 16.3　勒貝格測(cè)度 第17章 分析學(xué)的三條路徑和一種范式 17.1　從有限到無(wú)窮 17.2　從局部到整體 17.3　以簡(jiǎn)單代替復(fù)雜 第18章 歸結(jié)原則和兩個(gè)重要極限 18.1　第一個(gè)重要極限： 18.2　從數(shù)列過(guò)渡到函數(shù) 18.3　第二個(gè)重要極限： 18.4　“收斂速度”可以求出來(lái)嗎 18.5　怎樣跑贏通貨膨脹 18.6　第二個(gè)重要極限的證明 第19章 連續(xù)性的陷阱 19.1　狄利克雷函數(shù) 19.2　無(wú)窮振蕩曲線 19.3　不可求長(zhǎng)曲線 19.4　魏爾斯特拉斯函數(shù) 第20章 微分的前世今生 20.1　切線與微分 20.2　導(dǎo)數(shù)：差商的極限 20.3　微分在今天的含義 20.4　導(dǎo)數(shù)等于微商嗎 第21章 自然的數(shù)學(xué)法則 21.1　函數(shù)[ex]的特性 21.2　指數(shù)函數(shù)與等角螺線 21.3　自然界中的等角螺線 21.4　等角螺線與地圖投影 第22章 分割的藝術(shù) 22.1　黎曼積分 22.2　性質(zhì)與實(shí)用的平衡 22.3　黎曼積分的性質(zhì) 22.4　可積性判定準(zhǔn)則 22.5　勒貝格積分 第23章 微分與積分的統(tǒng)一 23.1　面積如何求導(dǎo) 23.2　變限積分：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù) 23.3　牛頓-萊布尼茲公式 23.4　增強(qiáng)版微積分基本定理 23.5　微分中值定理與積分中值定理的統(tǒng)一 第24章 多元函數(shù)的世界 24.1　方向?qū)��?shù) 24.2　空間直線有斜率嗎 24.3　偏導(dǎo)數(shù)——方向?qū)��?shù)衍生品 24.4　從切線到切平面 24.5　梯度 24.6　積分也有方向 24.7　斯托克斯公式 第25章 泰勒展開(kāi) 25.1　微分法 25.2　密切法 25.3　插值法 25.4　冪級(jí)數(shù)的春天 第26章 傅里葉展開(kāi) 26.1　最小二乘法 26.2　正交投影法 26.3　三角級(jí)數(shù)的魅力 第27章 最小作用量原理 27.1　光的折射定律 27.2　笛卡兒的解釋 27.3　費(fèi)馬最小時(shí)間原理 第28章 最優(yōu)逼近——泰勒展開(kāi)的第四張面孔 28.1　局部與整體的再一次擁抱 28.2　最優(yōu)逼近多項(xiàng)式 28.3　逆矩陣的秘密 28.4　最優(yōu)逼近多項(xiàng)式的極限 第29章 最佳近似——超定方程組的現(xiàn)實(shí)選擇 29.1　純代數(shù)的方案 29.2　利用費(fèi)馬定理求極值點(diǎn)的方案 29.3　造福人類(lèi)的CT技術(shù) 第30章 最小損失——人工智能的決策法門(mén) 30.1　直線擬合的損失函數(shù) 30.2　梯度下降 30.3　梯度下降法的變體