流形拓?fù)鋵W(xué)——理論與概念的實(shí)質(zhì)
定 價(jià)：98 元
叢書名：現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書
- 作者：馬天著
- 出版時(shí)間：2010/10/1
- ISBN：9787030285508
- 出 版 社：科學(xué)出版社
- 中圖法分類：O189.3
- 頁(yè)碼：536
- 紙張：膠版紙
- 版次：1
- 開本：16開
《流形拓?fù)鋵W(xué)：理論與概念的實(shí)質(zhì)》是一部關(guān)于流形的拓?fù)鋵W(xué)專著，較全面和系統(tǒng)地介紹了拓?fù)鋵W(xué)大多數(shù)重要領(lǐng)域中的理論與方法。內(nèi)容涉及微分拓?fù)洹⑼{(diào)論、同倫論、微分形式與譜序列、不動(dòng)點(diǎn)理論、Morse理論，以及向量叢的示性類理論。同時(shí)，書中也介紹了作者新發(fā)展的流形共軛結(jié)構(gòu)理論，主要結(jié)果包括共軛對(duì)稱性定理，上、下同調(diào)群的幾何化定理，最小共軛元球面定理.在這些定理基礎(chǔ)上，同調(diào)論和同倫論中許多重要定理與結(jié)果，如Poincare對(duì)偶，Lefschetz對(duì)偶，Kunneth公式，上、下同調(diào)群，以及Hurewicz定理等的實(shí)質(zhì)及直觀意義變得更清楚了。
《流形拓?fù)鋵W(xué)：理論與概念的實(shí)質(zhì)》適合于數(shù)學(xué)、理論物理等相關(guān)專業(yè)的高年級(jí)大學(xué)生、研究生、教師及研究人員學(xué)習(xí)和參考。
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對(duì)于數(shù)學(xué)研究與培養(yǎng)青年數(shù)學(xué)人才而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用。許多成就卓越的數(shù)學(xué)家在青年時(shí)代都曾鉆研或參考過一些優(yōu)秀書籍，從中汲取營(yíng)養(yǎng)，獲得教益。
20世紀(jì)70年代后期，我國(guó)的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)書刊的出版由于文化大革命的浩劫已經(jīng)破壞與中斷了10余年，而在這期間國(guó)際上數(shù)學(xué)研究卻在迅猛地發(fā)展著。1978年以后，我國(guó)青年學(xué)子重新獲得了學(xué)習(xí)、鉆研與深造的機(jī)會(huì)。當(dāng)時(shí)他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述。據(jù)此，科學(xué)出版社陸續(xù)推出了多套數(shù)學(xué)叢書，其中《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專著》叢書與《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》更為突出，前者出版約40卷，后者則逾80卷。它們質(zhì)量甚高，影響頗大，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)研究、交流與人才培養(yǎng)發(fā)揮了顯著效用。
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》的宗旨是面向大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)學(xué)生、研究生以及青年學(xué)者，針對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域與研究方向，作較系統(tǒng)的介紹。既注意該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，又反映其新發(fā)展，力求深入淺出，簡(jiǎn)明扼要，注重創(chuàng)新。
近年來，數(shù)學(xué)在各門科學(xué)、高新技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等方面取得了更加廣泛與深入的應(yīng)用，還形成了一些交叉學(xué)科。我們希望這套叢書的內(nèi)容由基礎(chǔ)數(shù)學(xué)拓展到應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)交叉學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域。
這套叢書得到了許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期的大力支持，編輯人員也為其付出了艱辛的勞動(dòng)。它獲得了廣大讀者的喜愛。我們誠(chéng)摯地希望大家更加關(guān)心與支持它的發(fā)展，使它越辦越好，為我國(guó)數(shù)學(xué)研究與教育水平的進(jìn)一步提高做出貢獻(xiàn)。
目錄
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
前言
第1章 微分流形 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 流形的概念 1
1.1.2 物理背景的流形 4
1.1.3 坐標(biāo)系與微分結(jié)構(gòu) 5
1.1.4 切空間與切映射 8
1.1.5 流形的定向 10
1.1.6 數(shù)學(xué)中的一些重要流形 12
1.2 流形的嵌入 26
1.2.1 反函數(shù)與隱函數(shù)定理 26
1.2.2 子流形的浸入與嵌入 29
1.2.3 到RN中的嵌入 31
1.2.4 Whitney嵌入定理 35
1.3 Frobenius定理 37
1.3.1 流形上的向量場(chǎng)與流 37
1.3.2 向量場(chǎng)的Poisson括號(hào)積 38
1.3.3 Frobenius定理 40
1.3.4 兩種等價(jià)的定理形式 43
1.4 正則值與橫截性 46
1.4.1 Sard定理 46
1.4.2 橫截性 51
1.4.3 Thom橫截性定理 52
1.5 向量叢與管形鄰域 54
1.5.1 向量叢 54
1.5.2 平凡叢的判別 56
1.5.3 向量叢的運(yùn)算 58
1.5.4 萬有向量叢 61
1.5.5 管形鄰域定理 64
1.6 纖維叢 66
1.6.1 纖維叢的概念 66
1.6.2 球面的Hopf纖維化 69
1.6.3 主叢與萬有叢 74
第2章 同調(diào)理論 79
2.1 同調(diào)群 80
2.1.1 同調(diào)群的實(shí)質(zhì) 80
2.1.2 可剖分空間的單純復(fù)形 87
2.1.3 單純同調(diào)群 89
2.1.4 單純同調(diào)群的拓?fù)洳蛔冃?93
2.1.5 Euler示性數(shù)及Euler-Poincare公式 98
2.1.6 奇異同調(diào)群 99
2.1.7 單純同調(diào)群與奇異同調(diào)群的同構(gòu) 105
2.2 流形的共軛結(jié)構(gòu)與同調(diào)幾何化定理 108
2.2.1 流形的共軛元 108
2.2.2 正則流形 112
2.2.3 共軛元分類與同調(diào)類的幾何化 116
2.2.4 KAunneth公式與Leray-Hirsch定理 121
2.2.5 萬有系數(shù)定理 126
2.2.6 一些流形的同調(diào)群 128
2.3 上同調(diào)論 132
2.3.1 上同調(diào)的實(shí)質(zhì) 132
2.3.2 上同調(diào)群 139
2.3.3 上同調(diào)幾何化定理的證明 143
2.3.4 同調(diào)環(huán)的結(jié)構(gòu) 148
2.4 正合同調(diào)序列 152
2.4.1 相對(duì)同調(diào)群與切除定理 152
2.4.2 相關(guān)代數(shù)理論 156
2.4.3 同調(diào)序列 161
2.4.4 Mayer-Vietoris序列 163
2.4.5 正合序列的應(yīng)用 166
2.5 流形的對(duì)稱性 175
2.5.1 引言 175
2.5.2 共軛結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性定理 179
2.5.3 Poincare對(duì)偶 182
2.5.4 帶邊流形的共軛結(jié)構(gòu)及其對(duì)稱性 183
2.5.5 Lefschetz對(duì)偶 187
2.5.6 Alexander對(duì)偶定理 188
第3章 譜序列及微分形式 191
3.1 過濾復(fù)形的譜序列 191
3.1.1 引言 191
3.1.2 Massey正合偶與譜序列的構(gòu)造 194
3.1.3 雙復(fù)形及其譜序列 199
3.2 微分形式與de Rham復(fù)形 204
3.2.1 Rn中的微分形式 204
3.2.2 流形上的de Rham復(fù)形 207
3.2.3 微分形式的積分 211
3.2.4 Stokes公式 214
3.2.5 Poincare引理 218
3.2.6 關(guān)于de Rham上同調(diào)的注記 220
3.3 Cech-de Rham復(fù)形及譜序列的應(yīng)用 223
3.3.1 背景介紹 223
3.3.2 層的概念 225
3.3.3 Cech上同調(diào) 229
3.3.4 Cech-de Rham復(fù)形 233
3.3.5 de Rham定理 236
3.3.6 de Rham上同調(diào)的幾何表示 238
3.4 微分形式的Hodge分解定理 244
3.4.1 介紹 244
3.4.2 Hodeg算子 246
3.4.3 流形上的張量場(chǎng) 249
3.4.4 Riemann流形 254
3.4.5 Laplace-Beltrami算子 258
3.4.6 Hodge定理 263
第4章 同倫論 269
4.1 同倫群 269
4.1.1 基本概念 269
4.1.2 一些基本性質(zhì) 272
4.1.3 相對(duì)同倫群 274
4.1.4 同倫群的幾何表示 275
4.1.5 正合同倫序列 278
4.1.6 直和分解公式 285
4.1.7 一些流形的同倫群 288
4.2 一些重要性質(zhì) 293
4.2.1 共軛元的球面定理 293
4.2.2 πn(Sn)的計(jì)算與Hopf同倫分類 294
4.2.3 Hurewicz定理 298
4.2.4 基本群的性質(zhì) 301
4.2.5 Whitehead乘積 305
4.2.6 三聯(lián)組同倫群 308
4.2.7 道路空間ΩX(A，B)上的同倫群 311
4.3 障礙理論 314
4.3.1 映射的延拓問題 314
4.3.2 n單式空間 315
4.3.3 映射的障礙類 317
4.3.4 同倫延拓定理 322
4.3.5 (n-1)連通空間的同倫分類 324
4.4 纖維叢上的譜序列及其應(yīng)用 326
4.4.1 Leray譜序列定理 326
4.4.2 奇異鏈的雙復(fù)形 330
4.4.3 一些應(yīng)用 332
4.4.4 Gysin序列與王憲鐘序列 337
4.4.5 Hurewicz定理譜序列的證明 340
4.5 球面同倫群的計(jì)算 342
4.5.1 Eilenberg-MacLane空間 342
4.5.2 Postnicov纖維化序列與π4(S3)的計(jì)算 344
4.5.3 Whitehead纖維化與π5(S3)的計(jì)算 349
4.5.4 球面同倫群的Serre定理 353
4.5.5 Freudenthal同緯像定理 358
4.5.6 部分πn+k(Sn)的結(jié)果 362
第5章 奇點(diǎn)理論與指標(biāo)公式 365
5.1 不動(dòng)點(diǎn)及其指數(shù) 367
5.1.1 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理 367
5.1.2 Lefschetz數(shù) 369
5.1.3 映射的Brouwer拓?fù)涠?372
5.1.4 流形上不動(dòng)點(diǎn)指數(shù) 378
5.2 奇點(diǎn)的指標(biāo)公式 381
5.2.1 Lefschetz不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)公式 381
5.2.2 緊流形上向量場(chǎng)的Poincare-Hopf指標(biāo)定理 387
5.2.3 向量場(chǎng)邊界奇點(diǎn)的指標(biāo) 389
5.2.4 帶邊流形的向量場(chǎng)指標(biāo)公式 391
5.3 不動(dòng)點(diǎn)類理論 395
5.3.1 一般介紹 395
5.3.2 流形上的不動(dòng)點(diǎn)類及Nielsen數(shù) 397
5.3.3 S1上映射的提升類 400
5.3.4 映射的提升類與Reidemeister數(shù) 402
5.3.5 姜伯駒群與Nielsen數(shù)的計(jì)算公式 409
5.4 Morse理論(I) 414
5.4.1 基本概念 414
5.4.2 Morse理論的基本定理 417
5.4.3 流形的CW復(fù)形倫型 424
5.4.4 Morse不等式 426
5.4.5 最少臨界點(diǎn)數(shù)與流形分解 430
5.4.6 h配邊定理與n≥5的Poincare猜想 434
5.5 Morse理論(II) 439
5.5.1 能量泛函及其臨界點(diǎn)的Morse指標(biāo) 439
5.5.2 Riemann流形上的測(cè)地線 441
5.5.3 能量泛函的二次變分與Jacobi場(chǎng) 445
5.5.4 指標(biāo)定理 448
5.5.5 ΩM的CW復(fù)型結(jié)構(gòu) 452
5.5.6 Bott周期定理 455
第6章 示性類 463
6.1 基本概念與框架 463
6.1.1 向量叢的示性類 463
6.1.2 Grassmann流形與示性類的關(guān)系 465
6.1.3 Thom同構(gòu)定理 470
6.1.4 可定向Rm叢的Euler類 473
6.2 Stiefel-Whitney類 475
6.2.1 實(shí)向量叢上Z2系數(shù)示性類的構(gòu)造 475
6.2.2 Stiefel-Whitney數(shù)與流形的配邊 479
6.2.3 Z2示性類的基本性質(zhì) 481
6.2.4 流形M×M的對(duì)角上同調(diào)類 485
6.2.5 切叢上Stiefel-Whitney類的吳文俊公式 489
6.2.6 吳文俊公式的應(yīng)用 492
6.3 陳省身示性類 494
6.3.1 Chern類的構(gòu)造 494
6.3.2 Chern數(shù)與Euler示性數(shù) 497
6.3.3 復(fù)Grassmann流形的上同調(diào)環(huán) 499
6.3.4 一些Chern類的計(jì)算 504
6.4 Pontrjagin類 507
6.4.1 Rn叢的實(shí)系數(shù)示性類 507
6.4.2 Pontjagin數(shù)與可定向配邊環(huán) 512
6.4.3 Thom配邊理論 515
6.4.4 Hirzebruch符號(hào)定理 519
6.4.5 Hirzebruch-Riemann-Roch定理 526
參考文獻(xiàn) 530
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 532
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