我們知道幾何無(wú)處不在。然而，還有許多人沒(méi)有機(jī)會(huì)欣賞到令人驚奇的幾何關(guān)系和它們的美。美國(guó)高中課程通常規(guī)定用一年的時(shí)間來(lái)學(xué)習(xí)幾何，模仿數(shù)學(xué)家的工作方式，從公理和假設(shè)開始建立一個(gè)研究領(lǐng)域，然后以邏輯推理來(lái)證明各條定理。不過(guò)，這種注重定理證明的做法忽視了許許多多不尋常的關(guān)系。本書試圖在不讓這些證明使人分心的情況下展示那些幾何奇觀。
英語(yǔ)中對(duì)幾何學(xué)的理解始于18世紀(jì)，當(dāng)時(shí)蘇格蘭數(shù)學(xué)家西姆森(Robert Simson)用英語(yǔ)出版了歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》(Elements)中的大部分內(nèi)容。到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(Adrien-Marie Legendre,17521833)進(jìn)一步完善了這些知識(shí)。首先將幾何學(xué)引入美國(guó)的則是美國(guó)的數(shù)學(xué)家戴維斯(Charles Davies,17981876),他編寫了一本教科書，該書以定義、公理和假設(shè)為起點(diǎn)，進(jìn)而引出定理。這原本是一門大學(xué)課程，而從20世紀(jì)開始，這一課程通常在高中十年級(jí)教授。在大多數(shù)人的記憶中，這門課都是在證明定理，而這些定理最終會(huì)以數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的方式建立起一個(gè)知識(shí)體系。
在建立起一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的知識(shí)體系的過(guò)程中，有著顯而易見(jiàn)的美。不過(guò)，這種做法往往不能讓學(xué)生充分體會(huì)滲透在平面幾何這一學(xué)科中的種種令人驚嘆的關(guān)系。在完全出乎意料的情況下，你能發(fā)現(xiàn)三條或多條線共點(diǎn)或者三個(gè)或多個(gè)點(diǎn)共線�；蛘�，如果你知道任意三個(gè)非共線點(diǎn)確定一個(gè)唯一的圓，那么在什么情況下四個(gè)或更多的點(diǎn)會(huì)在同一個(gè)圓上?這些例子只是一些經(jīng)常被忽視的、令人驚訝的幾何元素。我希望在本書中能彌補(bǔ)這種疏忽。
除了這些不同尋常的特性之外，由于受表達(dá)方式的限制，幾何學(xué)的許多方面可能在無(wú)意中被忽略了。在處理直線圖形時(shí)，三角形自然是占主導(dǎo)地位的。不過(guò)，四邊形也值得考慮，我們將在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候介紹四邊形。為了激起你的興趣，請(qǐng)畫一個(gè)四邊形，它沒(méi)有任何平行邊，也沒(méi)有任何邊等長(zhǎng)。如果你將這個(gè)不規(guī)則的四邊形的各邊中點(diǎn)相繼連起來(lái)，從而畫出另一個(gè)四邊形，那么你最后得到的總是一個(gè)平行四邊形(如圖0.1所示)。這顯然不在意料之中，但卻是事實(shí)!在我們的幾何學(xué)之旅中，你將會(huì)看到，除此之外還有許許多多類似的新奇的幾何事物在等待著我們。
幾何學(xué)知識(shí)不僅是許多有趣的發(fā)現(xiàn)，也是幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)杰出的數(shù)學(xué)家們辛勤工作的結(jié)果。本書基于他們所研究的幾何關(guān)系，探究其中的意義。
幾何中存在著美，黃金矩形就是一例。在本書中，我們將同時(shí)從美學(xué)和數(shù)學(xué)的角度欣賞它。當(dāng)然，黃金矩形也遍布在數(shù)學(xué)的許多分支中，因此我們將順便關(guān)聯(lián)其中的幾個(gè)分支，以突出其重要性。
幾何也具有趣味性，有些錯(cuò)誤往往在不知不覺(jué)間產(chǎn)生，直到演變出一個(gè)荒謬的結(jié)果才被發(fā)現(xiàn)。然后我們就會(huì)充滿興趣，并試圖去糾正在研究或假設(shè)中可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方。
本書從直線的共點(diǎn)性出發(fā)，開啟我們的幾何之旅，并帶你領(lǐng)略各種幾何奇觀。我們感興趣的主要是那些既定事實(shí)的關(guān)系，因此本書的闡述不會(huì)受到證明過(guò)程的干擾。如前所述，高中幾何課程主要是在幾何體系內(nèi)部建立起一個(gè)邏輯系統(tǒng)，它對(duì)證明過(guò)程的重視多于由證明得出的結(jié)果。相比之下，本書著眼于這些結(jié)果，并欣賞那些令人驚嘆的關(guān)系。這將貫穿始終。本書的目標(biāo)是讓作為讀者的你能欣賞幾何學(xué)，而不必分心去證明每一個(gè)發(fā)現(xiàn)。
當(dāng)你看到這些意想不到的、相當(dāng)有趣的關(guān)系時(shí)，你可能會(huì)忍不住到你的幾何工具箱里去挖掘一番，并試圖證明它們�；蛘吣阋苍S會(huì)用一把沒(méi)有刻度的直尺和一副圓規(guī)來(lái)作出一個(gè)幾何圖形。不過(guò)，如今我們可以通過(guò)使用動(dòng)態(tài)幾何軟件來(lái)驗(yàn)證這種關(guān)系確實(shí)成立，如幾何畫板或Geogebra。簡(jiǎn)而言之，通過(guò)使用這些軟件來(lái)演示本書中出現(xiàn)的許多意想不到的關(guān)系，幾乎可以像一個(gè)嚴(yán)格意義上的邏輯證明一樣令人信服。坦率地說(shuō)，在探究本書中所展示的這些奇跡時(shí)，你應(yīng)該會(huì)經(jīng)常驚呼：哇，真是一個(gè)驚人的結(jié)果啊!我們現(xiàn)在邀請(qǐng)你與我們一起通過(guò)這種相當(dāng)不尋常的方法，不受證明拖累地來(lái)充分領(lǐng)會(huì)幾何學(xué)的力量和美。