本書是綜合大學、師范院校高等代數(shù)課程教學用書。本書第一版被評為“普通高等教育“十一五”國家 級規(guī)劃教材”。此教材有兩個特色：一是貼切課堂教學和學生自學的實際，由淺入深。二是以代數(shù)學的研究對象和基本思想、基本方法作為本書的主線，從而保證學生受到較充分的代數(shù)學訓練。
這次修訂的第三版，作者計劃將一些不合適的內容以及過難的內容進行一些調整。個別理論內容進行重新編寫，使得本書更易于理解。
本書第二版已經(jīng)出版12年，每年仍然能維持4000冊以上的銷量，在數(shù)學教學界的口碑極好。這次的第三版也是許多任課教師要求，在與作者商量后決定的。
藍以中
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藍以中，北京大學數(shù)學科學學院教授。1963年畢業(yè)于北京大學數(shù)學力學系，長期從事代數(shù)學和數(shù)論的科學研究和教學工作。
第六章 帶度量的線性空間………………………………………… 1
§1 歐幾里得空間的定義和基本性質 …………………………… 1
1. 歐幾里得空間的定義………………………………………… 1
2. 有限維的歐氏空間 ………………………………………… 5
3. 正交補 …………………………………………………… 13
習題一 ……………………………………………………… 14
§2 歐幾里得空間中的特殊線性變換 …………………………… 18
1. 正交變換 ………………………………………………… 18
2. 對稱變換 ………………………………………………… 26
3. 用正交矩陣化實對稱矩陣成對角形…………………………… 30
習題二 ……………………………………………………… 39
§3 酉空間 …………………………………………………… 43
1. 酉空間的基本概念 ………………………………………… 43
2. 酉變換 …………………………………………………… 48
3. 正規(guī)變換與埃爾米特變換…………………………………… 49
習題三 ……………………………………………………… 55
*§4 四維時空空間與辛空間 …………………………………… 58
1. 四維時空空間的度量 ……………………………………… 59
2. 辛空間 …………………………………………………… 64
習題四 ……………………………………………………… 70
本章小結………………………………………………………… 72
第七章 線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 74
§1 冪零線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 74
1. 循環(huán)不變子空間 …………………………………………… 75
2. 冪零線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 78
習題一 ……………………………………………………… 81
§2 一般線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 83
1. 若爾當塊與若爾當形 ……………………………………… 83
2. 若爾當標準形的存在性 …………………………………… 84
3. 若爾當標準形的唯一性 …………………………………… 87
4. 若爾當標準形的計算方法…………………………………… 91
習題二 ……………………………………………………… 92
§3 最小多項式………………………………………………… 95
1. 方陣的化零多項式 ………………………………………… 95
2. 方陣的最小多項式 ………………………………………… 97
習題三 …………………………………………………… 102
*§4 矩陣函數(shù) ………………………………………………… 104
1. 矩陣序列的極限 ………………………………………… 104
2. 矩陣函數(shù) ……………………………………………… 106
3. 歐氏空間中的旋轉 ……………………………………… 117
習題四 …………………………………………………… 119
本章小結 ……………………………………………………… 122
第八章 有理整數(shù)環(huán)……………………………………………… 124
§1 有理整數(shù)環(huán)的基本概念 …………………………………… 124
1. 整除性理論 ……………………………………………… 125
2. 有理整數(shù)環(huán)的理想 ……………………………………… 127
3. 因子分解唯一定理 ……………………………………… 130
習題一 …………………………………………………… 132
§2 同余式 …………………………………………………… 133
1. 歐拉函數(shù) ……………………………………………… 135
2. 中國剩余定理 …………………………………………… 138
習題二 …………………………………………………… 139
§3 模m 的剩余類環(huán) ………………………………………… 140
習題三 …………………………………………………… 142
本章小結 ……………………………………………………… 143
第九章 一元多項式環(huán)…………………………………………… 145
§1 一元多項式環(huán)的基本理論 ………………………………… 145
1. 整除理論 ……………………………………………… 148
2. K[x]內的理想 ………………………………………… 151
3. 在線性代數(shù)中的應用……………………………………… 154
4. 因式分解唯一定理 ……………………………………… 155
5. 重因式 ………………………………………………… 158
6. 中國剩余定理 …………………………………………… 161
習題一 …………………………………………………… 166
§2 C,R,Q上多項式的因式分解 …………………………… 169
1. C[x]與R[x]內多項式的因式分解………………………… 169
2. Q[x]內多項式的因式分解………………………………… 171
3. Z[x]內多項式的因式分解………………………………… 174
習題二 …………………………………………………… 177
*§3 實系數(shù)多項式根的分布 …………………………………… 179
習題三 …………………………………………………… 184
*§4 單變量有理函數(shù)域 ……………………………………… 185
1. 單變量有理函數(shù)域的定義 ………………………………… 185
2. 有理分式分解為準素分式 ………………………………… 188
習題四 …………………………………………………… 191
§5 群、環(huán)和域的基本概念 …………………………………… 192
1. 群的基本概念 …………………………………………… 192
2. 環(huán)和域的基本概念 ……………………………………… 196
習題五 …………………………………………………… 200
本章小結 ……………………………………………………… 201
第十章 多元多項式環(huán)…………………………………………… 204
§1 多元多項式環(huán)的基本概念 ………………………………… 204
1. 整除性與因式分解 ……………………………………… 209
2. 多變量有理函數(shù)域 ……………………………………… 210
習題一 …………………………………………………… 211
§2 對稱多項式 ……………………………………………… 213
習題二 …………………………………………………… 222
§3 結式……………………………………………………… 223
1. 結式的概念 ……………………………………………… 223
2. 結式的計算 ……………………………………………… 225
習題三 …………………………………………………… 231
本章小結 ……………………………………………………… 232
*第十一章 n 維仿射空間與n 維射影空間 …………………… 233
§1 n 維仿射空間 …………………………………………… 233
1. Rn 內的仿射變換與正交變換 ……………………………… 235
2. Rn 中二次超曲面的分類…………………………………… 238
3. 多元函數(shù)的極值 ………………………………………… 243
習題一 …………………………………………………… 247
§2 n 維射影空間 …………………………………………… 248
習題二 …………………………………………………… 256
*第十二章 張量積與外代數(shù) …………………………………… 257
§1 多重線性映射 …………………………………………… 257
1. 線性空間的對偶空間……………………………………… 257
2. 多重線性映射 …………………………………………… 259
習題一 …………………………………………………… 262
§2 線性空間的張量積 ……………………………………… 263
1. 張量積的定義 …………………………………………… 263
2. 線性變換的張量積 ……………………………………… 268
習題二 …………………………………………………… 269
§3 張量……………………………………………………… 270
1. 張量的基本概念 ………………………………………… 270
2. 張量的加法和乘法 ……………………………………… 273
習題三 …………………………………………………… 274
§4 外代數(shù) …………………………………………………… 275
習題四 …………………………………………………… 284
習題答案與提示…………………………………………………… 287
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