引言 事物在哪里？它們長什么樣子？
作為一名數(shù)學(xué)家，我經(jīng)常在公共場合談?wù)摂?shù)學(xué)，這似乎能幫助人們解開某些謎團(tuán)。他們會告訴我一些事情，我感覺那些都是他們長時(shí)間深埋心底的故事。其中一些故事與數(shù)學(xué)有關(guān)：有時(shí)它們是悲傷的，例如，一名數(shù)學(xué)老師無緣無故地踐踏了一個(gè)孩子的自尊心；有時(shí)它們是快樂的，例如，一個(gè)孩子受到啟發(fā)后茅塞頓開，或者一個(gè)成年人怎么也找不到回家的路了（事實(shí)上，這個(gè)故事也有點(diǎn)兒悲傷）。
這些故事常跟幾何學(xué)有關(guān)。在人們對中學(xué)時(shí)期的記憶中，幾何學(xué)是那么另類，猶如交響樂中冒出來的異常大聲的不和諧音調(diào)。有些人憎惡幾何學(xué)，他們告訴我，從開始學(xué)習(xí)幾何學(xué)的那一刻起，數(shù)學(xué)就超出了他們的理解范圍。但也有些人告訴我，幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中他們唯一能弄懂的部分。幾何學(xué)就像數(shù)學(xué)這道大餐中的香菜一樣，人們對它要么甘之如飴，要么避之不及。
是什么讓幾何學(xué)變得如此與眾不同呢？在某種程度上，它是原始的，根植于我們的身體。自出生之日起，我們就開始思考兩個(gè)問題：事物在哪里？它們長什么樣子？有些人會告訴你，所有與我們的內(nèi)心生活息息相關(guān)的事情，都可以追溯到非洲稀樹草原上那群狩獵采集者的需求。我不認(rèn)同這種說法，但我也無法否認(rèn)，那些原始人在學(xué)會用語言談?wù)撔螤睢⒕嚯x和地點(diǎn)之前，對這些概念就有所了解了。南美的神秘主義者（及南美以外地區(qū)的模仿者）喝下死藤水（一種宗教致幻劑）后，會在第一時(shí)間（好吧，是在不受控制地嘔吐后的第一時(shí)間）感知到一些純粹的幾何形狀，例如，像傳統(tǒng)清真寺里反復(fù)出現(xiàn)的格柵一樣的二維圖形，或者像
由六面體巢室排列而成的蜂巢一樣的三維圖形。即使在我們失去了其他推理思維的情況下，幾何學(xué)也不會拋棄我們。讀者朋友，讓我開誠布公地告訴你們：起初我對幾何學(xué)毫無興趣。這的確令人難以理解，畢竟我現(xiàn)在是一位數(shù)學(xué)家，而且我的工作就是跟幾何學(xué)打交道！
但是，自從我和其他孩子組隊(duì)參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽，一切就都變得不一樣了。是的，一場數(shù)學(xué)聯(lián)賽。我所在中學(xué)的參賽隊(duì)伍名叫地獄天使，我們每次上場比賽都穿著黑色T恤，帶著一臺手提錄音機(jī)，播放著休伊·劉易斯和新聞樂隊(duì)演唱的歌曲Hip to Be Square（《洗心革面》）。我在那場聯(lián)賽中出名了：只要遇到證明APQ = CDF之類的問題，我就會止步不前。這并不是因?yàn)槲也粫�解答這類問題，而是因?yàn)槲沂褂玫氖亲畋�、最麻煩的方法：給圖中的多個(gè)點(diǎn)逐一分配坐標(biāo)值，然后通過大量的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算，求出三角形的面積和線段的長度。事實(shí)上，只要運(yùn)用有效的幾何方法就可以避免這些煩瑣的步驟。我得出的答案有時(shí)是對的，有時(shí)是錯(cuò)的，但每次的解題過程都非常痛苦。
如果世界上有幾何天賦這種東西，那我肯定沒有。我們可以給嬰兒做幾何測試：以兩幅為一組，連續(xù)向嬰兒展示一系列圖片，其中大多數(shù)組別中的兩幅圖片展示的形狀都相同，但大約每隔三組，右邊的那幅圖片展示的形狀就會與左邊的那幅圖片相反。嬰兒會花更多的時(shí)間去看那些相反的形狀，這表明他們知道有事情發(fā)生了，他們追求新奇事物的頭腦也會迅速做出反應(yīng)。嬰兒凝視鏡像形狀的時(shí)間越長，他們在學(xué)齡前期的數(shù)學(xué)和空間推理測試中的得分就越高，也能更快、更準(zhǔn)確地想象出不同的形狀，以及這些形狀旋轉(zhuǎn)或粘在一起后的樣子。至于我，我?guī)缀跬耆�不具備這種能力。你知道加油站的刷卡機(jī)上貼的那個(gè)小圖片吧？它會告訴你刷信用卡時(shí)卡片應(yīng)該朝著哪個(gè)方向。但是，它對我毫無用處，因?yàn)槲业拇竽X無法把那幅平面圖轉(zhuǎn)化成三維動作。每次刷卡，我都不得不把 4 種可能的朝向嘗試一遍磁條向上朝右、磁條向上朝左、磁條向下朝右、磁條向下朝左直到機(jī)器開始讀卡。
然而，人們通常認(rèn)為幾何學(xué)對現(xiàn)實(shí)世界的一些運(yùn)算而言至關(guān)重要。凱瑟琳·約翰遜是美國國家航空航天局（NASA）的一位數(shù)學(xué)家，她因?yàn)椤峨[藏人物》這本書及同名電影的主人公而出名。談到她早年間在飛行研究部門取得的成功時(shí)，凱瑟琳說：那些家伙都有數(shù)學(xué)碩士學(xué)位，但他們徹底忘記了他們學(xué)過的幾何知識……而我還記得我學(xué)過的幾何知識。
非凡的魅力
威廉·華茲華斯的自傳體長詩《序曲》（The Prelude）講述了一個(gè)有點(diǎn)兒令人難以置信的故事：一個(gè)人在遭遇海難后漂流到一座無人島上，他身上除了一本歐幾里得的《幾何原本》之外別無他物。大約 2 500 年前，這本書闡述的幾何公理和命題使幾何學(xué)變成了一門正式學(xué)科。對一個(gè)遭遇海難的家伙來說，他的運(yùn)氣還算不錯(cuò)：盡管他饑腸轆轆、心情沮喪，但他可以用樹枝在沙灘上作圖，通過逐一驗(yàn)證歐幾里得的證明過程，打發(fā)獨(dú)居荒島的寂寞時(shí)光。而這恰恰是步入中年的華茲華斯向往的人生年輕、敏感、富有詩意。詩人寫道：這些抽象的概念，對終日與圖形為伍、形單影只的心靈而言，是多么富有魅力�。。�飲用死藤水的人也有類似的感受，這種藥物會對大腦產(chǎn)生影響，讓自認(rèn)為陷入困境的大腦得到解脫。）
華茲華斯的海難幾何學(xué)故事的最奇怪之處在于，它基本上是真實(shí)的。華茲華斯從約翰·牛頓的回憶錄中借用了這個(gè)故事，其中有幾行詩句更是原樣照搬過來的。1745 年，年輕的奴隸販子約翰·牛頓被困在塞拉利昂附近的普蘭廷島上。他沒有遭遇海難，而是被他的老板扣留在那里，過著無所事事、食不果腹的生活。普蘭廷島也不是一座無人島，除了他以外，那里還住著一些非洲奴隸。他主要的痛苦來源是一名控制食物流通的非洲婦女，用牛頓的話說，這是一個(gè)在她的國家擁有重要地位的人。牛頓百思不得其解自己為什么會落到這步田地，他抱怨道：這個(gè)女人從一開始就對我抱有莫名其妙的偏見。
幾年后，差點(diǎn)兒死在海上的牛頓開始信奉宗教，成了一名圣公會牧師，還創(chuàng)作了基督教贊美詩《奇異恩典》（Amazing Grace，它對人們抑郁時(shí)應(yīng)該讀什么書給出了截然不同的建議）。最后，他宣布不再從事奴隸貿(mào)易，并成為大英帝國廢除奴隸制運(yùn)動的一員干將。現(xiàn)在，我們回過頭講他在普蘭廷島上的生活。沒錯(cuò)，他隨身帶著一本書艾薩克·巴羅英譯版的歐幾里得《幾何原本》。在那段黑暗的日子里，這本書中的抽象概念給了他莫大的心理安慰。他寫道：我常常沉迷其中，幾乎忘記了自己的悲傷。
華茲華斯借用了牛頓的沙灘幾何學(xué)故事，而這并不是他與該學(xué)科僅有的親密接觸。與華茲華斯同時(shí)代的托馬斯·德·昆西在《一個(gè)鴉片吸食者的懺悔錄》（Confessions of an English Opium-Eater）中寫道：華茲華斯是一個(gè)徹頭徹尾的數(shù)學(xué)崇拜者，尤其是對高深莫測的幾何學(xué)。這種崇拜源于抽象世界和激情世界之間的對立。上學(xué)期間，華茲華斯的數(shù)學(xué)成績很糟糕，但他與年輕的愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密頓建立了惺惺相惜的友誼。有些人認(rèn)為，正是因?yàn)槭艿焦�密頓的啟發(fā)，華茲華斯才會在《序曲》中寫出描述牛頓（是艾薩克·牛頓而不是約翰·牛頓）的著名詩句：一個(gè)靈魂，永遠(yuǎn)孤獨(dú)地航行在陌生的思想海洋中。