數(shù)值流形法（NMM）是以覆蓋為基礎(chǔ)的伽遼金（Galerkin）類(lèi)數(shù)值方法。本書(shū)圍繞NMM的基本原理及其對(duì)巖土力學(xué)問(wèn)題的初步應(yīng)用展開(kāi)論述，涉及Galerkin變分法和NMM解的構(gòu)造。理論部分分別討論了以有限元網(wǎng)格和移動(dòng)最小二乘法節(jié)點(diǎn)影響域作為數(shù)學(xué)覆蓋的NMM解的構(gòu)造，闡述了NMM與其他Galerkin類(lèi)現(xiàn)代數(shù)值方法之間的關(guān)系。其中，“升階”和“切割”是NMM區(qū)別于其他Galerkin類(lèi)數(shù)值方法的本質(zhì)特征。應(yīng)用部分展示了NMM在解決計(jì)算力學(xué)中幾個(gè)非共識(shí)問(wèn)題方面的能力，如高階單元質(zhì)量矩陣的對(duì)角化問(wèn)題、無(wú)網(wǎng)格Galerkin法本質(zhì)邊界條件的施加問(wèn)題、外問(wèn)題和不可壓縮問(wèn)題等，這些都是基于NMM的“升階”特征而完成的。最后，討論了無(wú)壓滲流問(wèn)題和壓剪裂紋擴(kuò)展模擬的NMM方案，這些都體現(xiàn)了NMM的“切割”特征。
本書(shū)適合對(duì)先進(jìn)數(shù)值分析方法有學(xué)習(xí)和研究興趣的所有讀者閱讀。
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作者自20世紀(jì)90年代中期就開(kāi)始關(guān)注數(shù)值流形法（
numerical manifold method，NMM）了，但真正親力
親為地研究NMM是始于2012年冬，彼時(shí)作者剛擔(dān)任了一
個(gè)“973”項(xiàng)目的課題負(fù)責(zé)人。這個(gè)課題的主要任務(wù)是
數(shù)值仿真水電工程中的高陡巖質(zhì)邊坡在全生命周期內(nèi)的
變形和穩(wěn)定性演化，其中涉及巖石破裂過(guò)程的模擬。當(dāng)
時(shí)模擬破裂的數(shù)值分析方法有很多，如無(wú)網(wǎng)格
Galerkin 法（element-free Galerkin method，EFG
）、擴(kuò)展有限元法（extended finite element
method，XFEM）、離散元法（distinct element
method，DEM）和不連續(xù)變形分析法（discontinuous
deformation analysis method，DDA），以及其他為
此目的而設(shè)計(jì)的方法和軟件，如RFPA系統(tǒng)（rock
failure process analysis system，巖石破裂過(guò)程分
析系統(tǒng)）和CDEM（continuum discontinuum element
method，連續(xù)介質(zhì)非連續(xù)單元法）等。選擇NMM完全是
出于個(gè)人的知識(shí)結(jié)構(gòu)和審美情趣，我非常慶幸這一選擇
，因?yàn)榻?jīng)過(guò)許多專(zhuān)家的共同努力，今天我們可以自豪地
說(shuō)，NMM已經(jīng)成為當(dāng)今主流的數(shù)值分析方法之一。這樣
說(shuō)的根據(jù)不僅在于近幾年NMM領(lǐng)域的論文不斷在各主流
期刊上發(fā)表且引用頻次名列前茅，而且“數(shù)值流形法”
已成為一些雜志關(guān)鍵詞庫(kù)中的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)鍵詞。
本書(shū)是基于作者對(duì)NMM的理解和所做的部分工作而
寫(xiě)就的，素材主要來(lái)源于作者近年來(lái)受邀在海內(nèi)外講授
NMM/DDA的基本講義和部分期刊論文，旨在傳播NMM這一
現(xiàn)代數(shù)值分析方法。
全書(shū)共分為三篇。
第一篇介紹數(shù)值流形法基礎(chǔ)知識(shí)，由第1章～第4章
組成。
第1章論述Galerkin類(lèi)數(shù)值方法的變分學(xué)基礎(chǔ)。固
體和結(jié)構(gòu)的有限元法（finite element method，F(xiàn)EM
）可以借助于物理直覺(jué)來(lái)建立其計(jì)算格式，如波音小組
所采用的直接剛度法。直接剛度法被有土木工程背景的
學(xué)生熟知并樂(lè)意接受。但是，直接剛度法無(wú)法用于構(gòu)建
NMM和其他Galerkin類(lèi)現(xiàn)代數(shù)值方法，它們必須以問(wèn)題
的弱形式或變分提法作為出發(fā)點(diǎn)。因此，針對(duì)一些常見(jiàn)
的邊值問(wèn)題，作者基于自己的心得，給出了建立變分提
法的具體步驟，自以為比現(xiàn)有文獻(xiàn)所介紹的方法更容易
被初學(xué)者掌握。此外，在1.5節(jié)論述了處理本質(zhì)邊界條
件的廣義罰函數(shù)法和廣義拉格朗日（Lagrange）乘子法
。稱之為“廣義”是因?yàn)椴灰筮呏祮?wèn)題有相應(yīng)的勢(shì)能
泛函或里茲（Ritz）變分提法，這對(duì)于非自伴算子和一
些非線性問(wèn)題有特殊的重要性。根據(jù)作者的授課經(jīng)驗(yàn)，
僅學(xué)過(guò)直接剛度法有限元的研究生在接受這一章內(nèi)容時(shí)
有一定的困難。但是，欲從事現(xiàn)代工程數(shù)值分析，這是
必須要邁過(guò)的坎兒。當(dāng)然，若對(duì)Galerkin變分學(xué)有相當(dāng)
的了解，這一章除1.5節(jié)外可以略過(guò)不讀。
第2章以二階問(wèn)題為例，論述了NMM的基礎(chǔ)，引入了
NMM中的一些基本概念，其中，對(duì)于數(shù)學(xué)覆蓋中的基本
構(gòu)成元件“片”的幾何形狀沒(méi)有做任何特殊的要求。希
望通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，幫助讀者克服對(duì)NMM中“流形”這
一“高大上”名詞的畏懼，了解為何要引入“數(shù)學(xué)覆蓋
”和“物理覆蓋”這些似乎令人心生敬畏的名詞。第2
章實(shí)際上是NMM的核心內(nèi)容。
第3章以我們熟知的有限元網(wǎng)格為數(shù)學(xué)覆蓋來(lái)論述
NMM。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，讀者會(huì)了解NMM與FEM的聯(lián)系和
區(qū)別，也可進(jìn)一步了解為何NMM能FEM所不能。
第4章論述非有限元覆蓋的NMM。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，
可以進(jìn)一步加深對(duì)NMM的理解，堅(jiān)信如果用NMM來(lái)審視
Galerkin類(lèi)數(shù)值分析方法，可以解決囿于這些方法難以
解決的重要問(wèn)題，這將在隨后的章節(jié)中反復(fù)看到。
NMM誕生于1991年（Shi，1991），是作者知曉的
最早基于單位分解來(lái)構(gòu)造Galerkin近似解的現(xiàn)代數(shù)值方
法。作者認(rèn)為NMM有兩個(gè)最鮮明的特點(diǎn)，即“升階”和
“切割”�！吧A”不僅僅是指在片上引入高階多項(xiàng)式
作為片上的局部逼近，而且可以是反映解在片上局部特
性的任何函數(shù)�！扒懈睢笔菫榱朔从巢贿B續(xù)，進(jìn)而使
NMM特別適用于在固定格子或數(shù)學(xué)覆蓋上求解一切涉及
運(yùn)動(dòng)界面的問(wèn)題。無(wú)“切割”的NMM實(shí)際上就是單位分
解法（partition of unity method，PUM）。本書(shū)的
第二篇和第三篇正是圍繞NMM的這兩個(gè)特點(diǎn)而組織的。
第二篇由第5章～第8章組成，展示了利用NMM的“
升階”功能所解決的計(jì)算力學(xué)中的幾個(gè)著名難題，簡(jiǎn)述
如下。
現(xiàn)有的有嚴(yán)格數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)的單元質(zhì)量矩陣對(duì)角化
方法僅適用于線性單元，如果將其應(yīng)用于平面八節(jié)點(diǎn)等
參元等高階單元，會(huì)導(dǎo)致零甚至負(fù)的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，因此不
得不借助于物理直覺(jué)來(lái)生成其對(duì)角質(zhì)量矩陣。計(jì)算力學(xué)
界普遍認(rèn)為現(xiàn)有的高階單元對(duì)角質(zhì)量矩陣的生成純粹是
“tricky”。第5章以平面八節(jié)點(diǎn)等參元為例，先將FEM
看成NMM的特例，待在NMM框架下解決問(wèn)題后，再回到
FEM并用FEM的語(yǔ)言給出相應(yīng)的解決方案。在數(shù)值特性方
面，基于NMM的對(duì)角質(zhì)量矩陣甚至優(yōu)于一致質(zhì)量矩陣。
EFG等現(xiàn)代數(shù)值方法在克服了FEM的某些不足的同時(shí)
也帶來(lái)了新的問(wèn)題，其中**的一個(gè)問(wèn)題便是本質(zhì)條件
的施加變得困難了。已有大量的論文論述這一問(wèn)題
第一篇 數(shù)值流形法基礎(chǔ)
第1章 Galerkin類(lèi)數(shù)值方法的變分學(xué)基礎(chǔ)
1.1 線性向量空間概要
1.2 邊值問(wèn)題兩種提法的抽象形式
1.2.1 邊值問(wèn)題的方程提法
1.2.2 變分提法
1.2.3 非齊次本質(zhì)邊界條件
1.2.4 Ritz變分提法
1.2.5 向量場(chǎng)問(wèn)題
1.3 邊值問(wèn)題的Galerkin變分提法實(shí)例
1.3.1 Einstein求和約定
1.3.2 兩點(diǎn)邊值問(wèn)題
1.3.3 本質(zhì)邊界-界面條件和自然邊界-界面條件
1.3.4 變分提法的優(yōu)點(diǎn)
1.3.5 二階問(wèn)題
1.3.6 四階問(wèn)題
1.3.7 非自伴算子的邊值問(wèn)題
1.4 Galerkin法
1.4.1 齊次本質(zhì)邊界條件
1.4.2 非齊次本質(zhì)邊界條件的處理——精確方法
1.4.3 矢量場(chǎng)的Galerkin法——以三維彈性力學(xué)為例
1.5 廣義罰函數(shù)法和廣義Lagrange乘子法
1.5.1 再談本質(zhì)邊界-界面條件
1.5.2 罰函數(shù)法
1.5.3 Lagrange乘子法
第2章 數(shù)值流形法基礎(chǔ)——以二階問(wèn)題為例
2.1 數(shù)學(xué)覆蓋及其權(quán)函數(shù)
2.2 物理覆蓋及其權(quán)函數(shù)
2.3 局部逼近和整體逼近
2.4 NMM解的變分合法性
2.5 NMM小結(jié)
本章附錄 關(guān)于流形的直觀定義
第3章 有限元覆蓋
3.1 NMM視角下的FEM
3.2 基于有限元覆蓋的NMM
3.3 基于有限元覆蓋的NMM的實(shí)質(zhì)
3.3.1 被邊界所切割的流形單元
3.3.2 被結(jié)構(gòu)面完全切割所生成的流形單元
3.3.3 被結(jié)構(gòu)面部分切割所生成的流形單元
3.4 采用高階多項(xiàng)式局部逼近時(shí)的線性相關(guān)問(wèn)題
3.5 流形單元上的積分和總體矩陣的組裝
3.5.1 非奇異被積函數(shù)的積分
3.5.2 含1/r奇異性的被積函數(shù)的數(shù)值積分
第4章 非有限元覆蓋的數(shù)值流形法
4.1 移動(dòng)最小二乘法
4.2 關(guān)于MLS-權(quán)的選取和基于MLS的覆蓋系統(tǒng)
4.2.1 關(guān)于MLS-權(quán)的選取和生成
4.2.2 基于MLS的覆蓋系統(tǒng)
4.3 背景網(wǎng)格
第二篇 計(jì)算力學(xué)中幾個(gè)問(wèn)題的NMM方案
第5章 嚴(yán)格的高階單元質(zhì)量矩陣的對(duì)角化
5.1 彈性動(dòng)力問(wèn)題的變分提法
5.2 動(dòng)力問(wèn)題的有限元法
5.3 半離散格式的時(shí)間積分方案
5.3.1 直接積分法——Newmark方法
5.3.2 模態(tài)分析法
5.3.3 振型疊加法
5.4 基于流形上積分定義的集中質(zhì)量矩陣
5.5 算例
5.5.1 細(xì)長(zhǎng)桿自由振動(dòng)
5.5.2 懸臂梁自由振動(dòng)
5.5.3 圓柱殼受迫振動(dòng)
5.6 結(jié)論與討論
第6章 本質(zhì)邊界-界面條件的精確滿足
6.1 問(wèn)題的定義
6.2 物理片上的局部逼近
6.3 勢(shì)問(wèn)題的整體逼近和NMM
6.4 關(guān)于NMM和FEM的進(jìn)一步討論
6.5 算例
6.6 仍待解決的問(wèn)題
第7章 不可壓縮彈性材料問(wèn)題的求解
7.1 與壓縮性無(wú)關(guān)的彈性本構(gòu)
7.2 不可壓縮材料邊值問(wèn)題的弱形式
7.3 數(shù)值流形法逼近
7.3.1 位移的逼近
7.3.2 壓力的逼近
7.4 弱形式的離散格式
7.4.1 平衡方程的離散
7.4.2 不可壓縮條件的離散
7.5 算例
7.5.1 懸臂梁?jiǎn)栴}
7.5.2 Cook梁
7.6 結(jié)論與討論
第8章 外問(wèn)題
8.1 FEM中的無(wú)界元技術(shù)
8.1.1 映射無(wú)界元
8.1.2 位移衰減無(wú)界元
8.2 外問(wèn)題的NMM
8.2.1 由有限元網(wǎng)格生成的覆蓋
8.2.2 NMM逼近
8.2.3 弱形式的數(shù)值積分
8.3 FEM和NMM的進(jìn)一步比較
8.4 算例
8.4.1 位勢(shì)問(wèn)題
8.4.2 彈性半無(wú)限空間問(wèn)題
8.4.3 有限深度無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域的彈性力學(xué)問(wèn)題
8.5 結(jié)論與討論
第三篇 運(yùn)動(dòng)邊界問(wèn)題的數(shù)值流形法
第9章 無(wú)壓滲流問(wèn)題
9.1 引言
9.2 問(wèn)題的微分方程提法
9.3 混合形式的變分提法
9.4 數(shù)值流形法近似
9.5 自由面調(diào)整策略
9.6 算例
9.6.1 均質(zhì)矩形壩
9.6.2 非均質(zhì)矩形壩
9.6.3 梯形截面溝滲流
9.6.4 心墻土石壩滲流
9.7 結(jié)論與討論
第10章 多體系統(tǒng)動(dòng)態(tài)接觸問(wèn)題的解法
10.1 接觸問(wèn)題的微分方程提法
10.2 接觸條件
10.2.1 接觸條件的精確表述
10.2.2 罰形式的接觸本構(gòu)
10.3 變分提法
10.4 被提前的時(shí)間離散
10.4.1 經(jīng)典離散方式所遇到的挑戰(zhàn)
10.4.2 時(shí)間積分
10.5 空間離散——數(shù)值流形法
10.5.1 NMM逼近
10.5.2 外力的虛功
10.5.3 內(nèi)力的虛功
10.6 與接觸相關(guān)的虛功
10.6.1 接觸類(lèi)型與剪切力強(qiáng)度
10.6.2 接觸力的虛功
10.7 迭代求解
10.7.1 總體方程組
10.7.2 開(kāi)-閉迭代
10.8 關(guān)于罰參數(shù)的選取
第11章 壓剪裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的模擬
11.1 問(wèn)題的提法
11.2 基于強(qiáng)度的裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則
11.2.1 引言
書(shū)單推薦
