前言
促進數(shù)學發(fā)展的力量一方面是自身矛盾運動產生的內部力量，另一方面是由人類社會實踐所產生的外部力量，在內外兩股力量的驅動下，數(shù)學正以前所未有的發(fā)展速度影響著各行各業(yè).數(shù)學分析是以極限為工具來研究實值函數(shù)的一門課程，又稱為高級微積分.微積分從萌芽到發(fā)展經歷了一個漫長的時期，被稱為人類思維的最偉大的成果之一，是一顆光輝燦爛的明珠.數(shù)學分析是現(xiàn)代數(shù)學以及其他專業(yè)最重要的基礎，如果把數(shù)學比喻成一個王國的話，那么數(shù)學分析就是這個王國的基礎語言.隨著人工智能、信息科技、科學計算以及金融數(shù)學的飛速發(fā)展，數(shù)學分析的思想和方法幾乎滲入現(xiàn)代科技的所有領域，越來越多的行業(yè)迫切需要高深的現(xiàn)代數(shù)學知識，而要運用數(shù)學來創(chuàng)造高技術，就必須掌握好數(shù)學分析這一重要的數(shù)學王國語言.現(xiàn)代科學技術正在由工程層面的創(chuàng)新轉化為基礎理論層面的研究，而基礎理論層面的研究需要抽象思維、邏輯推理、科學計算和空間想象等能力.與其他學科相比，數(shù)學分析集中體現(xiàn)了這些能力的培養(yǎng).當今誰能占領數(shù)學最高地，誰就能占領技術的最高地.數(shù)學在現(xiàn)代技術進步中扮演著越來越重要的角色.
數(shù)學分析的創(chuàng)立始于17世紀以牛頓和萊布尼茨為代表的開創(chuàng)性工作，而完成于19世紀以柯西和魏爾斯特拉斯為代表的奠基性工作.經過兩三百年的努力，數(shù)學分析的理論框架已經相當完美.盡管國內外已經出版的數(shù)學分析、高等數(shù)學、微積分教材為數(shù)頗多，但針對各類院校的教學實際和要求，對于教材的編排和內容設置，也仁者見仁，智者見智.
從2018年實施大類培養(yǎng)以來，北京理工大學徐特立書院、精工書院、求是書院以及對數(shù)學有較高要求的理工科學生都選修數(shù)學分析課程，人數(shù)成倍增加.因此，編寫一套適合當前大類培養(yǎng)需求，符合教師和學生使用要求的教材有著重要的意義.本書是我們幾位北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院的教師根據(jù)大類培養(yǎng)教學內容和課程體系改革的要求，結合自身的教學實踐編寫的數(shù)學分析教材.我們編寫此書的想法如下：
第一，注重教材體系完整和嚴謹，保證整體內容和思想上的緊湊、統(tǒng)一，強化數(shù)學基礎，以簡單、平實、自然的語言來介紹數(shù)學分析的基本知識，而不是以近代數(shù)學（集合論、拓撲、測度論、微分流形）的語言來表述，力求讓讀者容易理解數(shù)學分析的基本完整理論體系.
（1） 首先對數(shù)學分析的內容脈絡做了梳理，把集合→自然數(shù)→實數(shù)→極限→連續(xù)→微分→積分的聯(lián)系講清楚，讓初學者體會數(shù)學的嚴謹性，知道先講集合這樣安排的目的.此外，采用戴德金分割來定義實數(shù)，而不是將實數(shù)表示為一個無限小數(shù)，雖然用無限小數(shù)定義比較直觀，但缺乏數(shù)學的嚴格性.
（2） 同一個研究對象的內容放在一起，例如：對于數(shù)列，我們把描述實數(shù)集完備性的各種命題，包括單調有界數(shù)列必收斂、閉區(qū)間套定理、波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、數(shù)列柯西收斂原理放在數(shù)列極限章節(jié)中，數(shù)項級數(shù)與數(shù)列極限放在一起；對于函數(shù)，把上下極限、海涅定理、函數(shù)柯西收斂原理、一致連續(xù)這些內容放在函數(shù)極限和連續(xù)函數(shù)章節(jié)，使這些命題與其直接對象和概念銜接在一起.這樣處理的好處是內容緊湊，不會讓讀者感到分散凌亂.
（3） 由于一些數(shù)學概念，例如方向導數(shù)，不同的教材和參考書中有不同的定義形式和描述形式，學生很容易在學習過程中產生困惑，因此對于概念的引入和定義，本書采用多種定義方式.教學實踐表明，這樣做直觀易懂，使得學生對概念的理解更透徹，且在看其他參考書時易于融會貫通.
（4） 對形異實同的教學內容進行統(tǒng)一化處理.例如，24種函數(shù)極限的統(tǒng)一表述.對形同實異的內容進行比較處理.例如，一致連續(xù)和柯西收斂原理的區(qū)別和聯(lián)系.
第二，重視培養(yǎng)學生在抽象思維、邏輯推理、空間想象、科學計算等諸方面的數(shù)學能力，加強書中內容與其他學科領域的交叉融合.在篇幅允許的前提下，書中通過與其他學科密切相關的典型例題的引入，介紹了數(shù)學分析與其他學科專業(yè)（物理、力學、化學、材料、生物、航空航天、計算機、經濟、機電、機械）的聯(lián)系，為其他工科專業(yè)提供現(xiàn)代數(shù)學的接口，開拓學生的視野，加強數(shù)學模型的思想和訓練，增加應用實踐能力，并且使得讀者理解自然現(xiàn)象一直是數(shù)學發(fā)展的重要源泉.
第三，插入有關的數(shù)學史和辯證的數(shù)學思想，以“人物注記”和“歷史注記”的欄目形式，把數(shù)學內容和歷史事實以及科學家的一些評述附在欄目當中，這樣做的好處是多方面的：①學生能夠從歷史和數(shù)學家的思想和精神中得到激勵與啟發(fā)，調動學生學習數(shù)學的興趣，同時也將思政元素自然地融入教材和課堂教學中；②從數(shù)學史的角度來學習數(shù)學分析，能夠讓學生了解數(shù)學發(fā)展的概貌，提升綜合科學素養(yǎng)，感悟數(shù)學的魅力，從而能夠俯視數(shù)學王國；③抽象的數(shù)學內容體現(xiàn)了辯證的人生哲理，將數(shù)學分析與人生哲理有機地結合在一起.
第四，本書與線上樂學、慕課（MOOC）資源相結合，配套有可供手機或者計算機觀看的樂學平臺課程和數(shù)學分析慕課，綜合運用這些線上資源實現(xiàn)讀者和作者的全方位交流.借助這種線上資源，可以學會在樂學平臺提問題并得以及時解決.
第五，與國內一般高等數(shù)學、微積分教材相比，本書對隨著計算機的發(fā)展而日益淡化的內容（如函數(shù)作圖、復雜的積分技巧）進行了適度淡化，而對日益重要的數(shù)值微分、數(shù)值積分、傅里葉變換和微分方程（包括偏微分方程）進行了適當加強.與傳統(tǒng)的數(shù)學分析教材相比，本書增加了與其他學科密切相關的解析幾何、線性代數(shù)和微分方程（包括偏微分方程）章節(jié).
第六，權衡內容取舍以及斟酌講述重點，凡屬于分析學中的基本概念、基本理論，書中不惜篇幅和筆墨，講深，講通俗.
全書分為上下兩冊.本書為下冊，由李�？�、閆志忠、沈良編寫.其中，閆志忠編寫第8、9、13章，李�？�編寫第11、12章，沈良編寫第7、10章.
本書的完成得到了眾多支持和無私幫助，在此，我們對大家的幫助表示衷心的感謝！鑒于我們的水平有限，書中難免有錯誤或不妥之處，懇請廣大讀者批評指正.