本書由矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用、數(shù)值計(jì)算與分析、概率與統(tǒng)計(jì)和射影幾何與非歐幾何四部分內(nèi)容組成，它們是機(jī)器人學(xué)和人工智能專業(yè)涉及的一些基本數(shù)學(xué)理論和方法。矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用主要包括正交與對(duì)角化、矩陣分解、矩陣分析和線性小二乘； 數(shù)值計(jì)算與分析主要包括多項(xiàng)式插值、小二乘擬合、非線性優(yōu)化和非線性方程與微分方程的數(shù)值算法； 概率與統(tǒng)計(jì)主要包括馬爾可夫鏈、隱馬爾可夫模型、貝葉斯推斷、貝葉斯決策和期望**化算法； 射影幾何與非歐幾何主要包括平面射影幾何、空間射影幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。 本書可作為大學(xué)相關(guān)專業(yè)高年級(jí)本科生和研究生的教材或課外參考書，也可作為相關(guān)領(lǐng)域工程技術(shù)人員的自學(xué)讀本。
本書是一本關(guān)于機(jī)器人數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教材，書中不僅包括矩陣分析、插值與擬合、代數(shù)與微分方程、迭代優(yōu)化、參數(shù)估計(jì)、射影幾何和計(jì)算幾何等專題的基本方法和實(shí)際應(yīng)用，還深入淺出地介紹了在機(jī)算機(jī)和工程領(lǐng)域使用的一些高級(jí)方法。此外，本書每章還配有一定數(shù)量難度適宜的習(xí)題，便于讀者學(xué)習(xí)、鞏固與提升。
機(jī)器人除了機(jī)械本體的機(jī)構(gòu)學(xué)外，為了使其具有人類某種智能，還涉及多傳感器信息融合、自主導(dǎo)航與定位和自主路徑規(guī)劃等核心技術(shù)。這些核心技術(shù)統(tǒng)稱為機(jī)器人的智能技術(shù)。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)大和應(yīng)用要求的不斷提高，研究者和開發(fā)人員越來越重視機(jī)器人智能技術(shù)的研究與實(shí)現(xiàn)，近年來機(jī)器人的智能程度取得了長足的進(jìn)步。
在機(jī)器人學(xué)中，機(jī)構(gòu)學(xué)和智能技術(shù)的研究都需要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使用的數(shù)學(xué)方法常涉及代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、分析學(xué)、概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)值計(jì)算等眾多數(shù)學(xué)分支。對(duì)就讀機(jī)器人專業(yè)的工科學(xué)生來說，全面學(xué)習(xí)掌握這些分支的數(shù)學(xué)內(nèi)容是不現(xiàn)實(shí)的，即使數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生也未必能做到。本書的目的是提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，以便讀者能進(jìn)一步學(xué)習(xí)機(jī)構(gòu)學(xué)和深入理解機(jī)器人智能技術(shù)中的相關(guān)數(shù)學(xué)方法。全書分為以下四個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分。
(1) 矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用(第1章~第3章)： 正交與對(duì)角化、矩陣分解、矩陣分析和小線性二乘。
(2) 數(shù)值計(jì)算與分析(第4章~第7章)： 插值與擬合、非線性方程(組)、非線性優(yōu)化和微分方程。
(3) 概率與統(tǒng)計(jì)(第8章~第10章)： 貝葉斯推斷、貝葉斯決策、馬爾可夫鏈和隱馬爾可夫模型。
(4) 射影幾何與非歐幾何(第11章~第13章)： 平面射影幾何、空間射影幾何和非歐幾何學(xué)簡介。
讀者可根據(jù)專業(yè)或研究方向的需要，對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)取舍。
本書既可作為機(jī)器人專業(yè)的高年級(jí)本科生和研究生的數(shù)學(xué)教材或教學(xué)參考書，也可作為從事人工智能學(xué)術(shù)研究或技術(shù)開發(fā)人員需要了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的自學(xué)讀本。工科學(xué)生閱讀本書應(yīng)具備高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率與統(tǒng)計(jì)的初步知識(shí)。
本書的選材得到機(jī)器人學(xué)及其應(yīng)用系列叢書編委會(huì)的審訂。在寫作過程中得到張鈸院士的大力支持與熱情鼓勵(lì)，參考了有關(guān)書籍和文獻(xiàn)，特別是韋來生教授的《貝葉斯分析》和劉次華教授的《隨機(jī)過程》。清華大學(xué)出版社對(duì)本書的出版給予了大力支持與幫助。在此一并致謝。
因作者學(xué)識(shí)水平有限，書中難免存在錯(cuò)誤或不足之處，懇請(qǐng)同行和廣大讀者批評(píng)指正。
作者
2021年6月于北京中關(guān)村
吳福朝，中國科學(xué)院自動(dòng)化研究所任研究員。長期從事數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)視覺方面的教學(xué)和科研工作，主持國家863、自然科學(xué)基金項(xiàng)目十多項(xiàng)；在數(shù)學(xué)年刊、數(shù)學(xué)雜志、計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)、自動(dòng)化學(xué)報(bào)、PAMI、IJCV、TIP、TNN和PR等重要學(xué)術(shù)期刊發(fā)表研究論文近200篇，在科學(xué)出版社和Springer-Verlag出版學(xué)術(shù)專著三部。
張鈴，長期從事數(shù)學(xué)與人工智能方面的教學(xué)和科研工作，先后獲國家自然科學(xué)獎(jiǎng)和省部級(jí)二等以上獎(jiǎng)勵(lì)十次；主持或參加國家863、973、國家攀登計(jì)劃、自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目、自然科學(xué)面上項(xiàng)目多項(xiàng)；出版學(xué)術(shù)專著三部，其中兩部獲國家出版署優(yōu)秀圖書一等獎(jiǎng)，一部獲高教出版社優(yōu)秀科技專著特等獎(jiǎng)；在計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)、PAMI、TNN等重要學(xué)術(shù)期刊發(fā)表研究論文近200篇。
部分矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用
第1章正交與對(duì)角化
1.1歐氏空間
1.1.1基本概念
1.1.2正交矩陣
1.2酉空間
1.2.1基本概念
1.2.2酉矩陣
1.3正規(guī)矩陣
1.3.1舒爾引理
1.3.2正規(guī)矩陣
1.3.3正交譜分解
1.4軛米特矩陣
1.4.1特征值的極性
1.4.2半正定軛米特矩陣
1.4.3與酉矩陣的關(guān)系
1.5反對(duì)稱矩陣
1.5.1三階反對(duì)稱矩陣
1.5.2正交相似標(biāo)準(zhǔn)形
1.5.3與旋轉(zhuǎn)矩陣的關(guān)系
習(xí)題
第2章矩陣分解
2.1正交三角分解
2.1.1吉文斯方法
2.1.2豪斯荷德方法
2.2三角分解
2.2.1喬里斯基分解
2.2.2杜利特分解
2.3奇異值分解
2.3.1正交對(duì)角分解
2.3.2奇異值分解
2.3.3奇異值的極性
2.4線性小二乘
2.4.1滿秩小二乘
2.4.2虧秩小二乘
2.4.3齊次小二乘
習(xí)題
第3章矩陣分析
3.1向量與矩陣范數(shù)
3.1.1向量范數(shù)
3.1.2矩陣范數(shù)
3.1.3矩陣條件數(shù)
3.2矩陣級(jí)數(shù)與函數(shù)
3.2.1矩陣序列
3.2.2矩陣級(jí)數(shù)
3.2.3矩陣函數(shù)
3.3矩陣導(dǎo)數(shù)
3.3.1函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)
3.3.2向量映射對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)
3.3.3函數(shù)對(duì)矩陣的導(dǎo)數(shù)
3.3.4矩陣映射對(duì)矩陣的導(dǎo)數(shù)
3.3.5矩陣的全微分
習(xí)題
第二部分?jǐn)?shù)值計(jì)算與分析
第4章插值與擬合
4.1多項(xiàng)式插值
4.1.1基本概念
4.1.2拉格朗日插值法
4.1.3牛頓插值法
4.1.4插值誤差
4.1.5切比雪夫插值法
4.2分段低次插值
4.2.1分段線性和二次插值
4.2.2分段三次軛米特插值
4.2.3分段三次樣條插值
4.3小二乘擬合
4.3.1基本概念
4.3.2線性小二乘擬合
4.3.3非線性小二乘擬合
習(xí)題
第5章非線性方程(組)
5.1非線性方程
5.1.1二分法
5.1.2牛頓法
5.1.3擬牛頓法
5.1.4不動(dòng)點(diǎn)法
5.2非線性方程組
5.2.1多元牛頓法
5.2.2多元擬牛頓法
5.2.3多元不動(dòng)點(diǎn)法
習(xí)題
第6章非線性優(yōu)化
6.1基本概念
6.1.1非線性優(yōu)化問題
6.1.2局部極值定理
6.1.3基本迭代格式
6.2一維搜索
6.2.1精確搜索
6.2.2非精確搜索
6.3無約束優(yōu)化
6.3.1速下降法
6.3.2牛頓法
6.3.3擬牛頓法
6.3.4共軛方向法
6.3.5萊文貝格馬夸特方法
6.4約束優(yōu)化
6.4.1性條件
6.4.2懲罰法
6.4.3乘子法
習(xí)題
第7章微分方程
7.1初值問題
7.1.1基本概念
7.1.2存在性、性和連續(xù)性
7.1.3數(shù)值微積分
7.2單步方法
7.2.1歐拉法
7.2.2中點(diǎn)法與梯形法
7.2.3龍格庫塔法
7.2.4收斂性與穩(wěn)定性
7.3多步法
7.3.1阿當(dāng)姆斯法
7.3.2一般線性多步法
7.3.3預(yù)測校正法
7.4邊值問題
7.5有限差分法
7.5.1線性問題
7.5.2非線性問題
7.6有限元法
7.6.1基本思想
7.6.2線性B樣條函數(shù)
7.6.3數(shù)值解法
習(xí)題
第三部分概率與統(tǒng)計(jì)
第8章貝葉斯推斷
8.1先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布
8.1.1基本概念
8.1.2確定先驗(yàn)分布的方法
8.1.3正態(tài)參數(shù)的后驗(yàn)分布
8.1.4一些常用分布參數(shù)的后驗(yàn)分布
8.2貝葉斯估計(jì)
8.2.1點(diǎn)估計(jì)
8.2.2區(qū)間估計(jì)
8.3預(yù)測推斷
8.4假設(shè)檢測
8.4.1后驗(yàn)機(jī)會(huì)比
8.4.2貝葉斯因子
8.5模型選擇
8.5.1貝葉斯方法
8.5.2信息準(zhǔn)則
習(xí)題
第9章貝葉斯決策
9.1貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)與后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)
9.1.1決策函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)
9.1.2貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)
9.1.3后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)
9.2一般損失下的貝葉斯估計(jì)
9.2.1平方損失
9.2.2二次損失
9.2.3損失
9.2.4線性損失
9.2.501損失
9.2.6兩點(diǎn)注釋
9.3極小極大準(zhǔn)則
9.4EM和GEM算法
9.4.1EM算法
9.4.2收斂性與估計(jì)精度
9.4.3GEM算法
9.4.4混合模型
習(xí)題
第10章馬爾可夫鏈
10.1轉(zhuǎn)移概率
10.1.1基本概念
10.1.2轉(zhuǎn)移概率
10.2狀態(tài)的類型
10.2.1周期性、常返性和遍歷性
10.2.2類型的判別
10.2.3狀態(tài)空間的分解
10.3漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布
10.3.1漸近性質(zhì)
10.3.2平穩(wěn)分布
10.4隱馬爾可夫模型
10.4.1基本概念
10.4.2概率計(jì)算
10.4.3模型估計(jì)
10.4.4狀態(tài)預(yù)測
習(xí)題
第四部分射影幾何與非歐幾何
第11章平面射影幾何
11.1射影平面
11.1.1基本概念
11.1.2點(diǎn)線對(duì)偶
11.1.3交比
11.2二次曲線
11.2.1矩陣表示
11.2.2配極對(duì)應(yīng)
11.2.3對(duì)偶二次曲線
11.3二維射影變換
11.3.1基本概念
11.3.2變換群與不變量
11.4恢復(fù)場景的幾何結(jié)構(gòu)
11.4.1中心投影
11.4.2仿射結(jié)構(gòu)
11.4.3相似結(jié)構(gòu)
11.4.4歐氏結(jié)構(gòu)
習(xí)題
第12章空間射影幾何
12.1射影空間
12.1.1點(diǎn)與平面
12.1.2空間直線
12.1.3平面束的交比
12.2二次曲面
12.2.1基本概念
12.2.2二次曲線
12.2.3二次曲面的對(duì)偶
12.2.4對(duì)偶二次曲面
12.3三維射影變換
12.3.1基本概念
12.3.2二次曲面的變換
12.3.3仿射變換
12.3.4相似變換
12.3.5等距變換
12.3.6射影坐標(biāo)系
12.4攝像機(jī)幾何
12.4.1成像模型
12.4.2攝像機(jī)矩陣的元素
12.4.3投影與反投影
習(xí)題
第13章非歐幾何簡介
13.1橢圓幾何
13.1.1橢圓測度
13.1.2橢圓幾何模型
13.2雙曲幾何
13.2.1雙曲測度
13.2.2雙曲幾何模型
13.3高維非歐幾何
13.3.1高維射影空間
13.3.2高維非歐幾何
參考文獻(xiàn)
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