本書不僅詳細(xì)敘述了拓?fù)渚�性空間，包括若干子類局部凸空間、賦范空間、內(nèi)積空間的公理系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)屬性及其之上的強(qiáng)弱拓?fù)�、共軛性，還深入論述了該學(xué)科離不開的幾個(gè)專題，即形式上更為一般的三大基本定理與泛函延拓定理,Banach代數(shù)特別是Gelfand變換的基本理論，緊算子及其譜理論，自伴算子的譜理論，無界正常算子的譜理論以及Bonsall的閉值域定理，不變子空間的Lomonosov定理等；而且給出了以上基本理論的豐富多彩的應(yīng)用，包括完整的關(guān)于廣義函數(shù)、Fourier變換及其偏微分方程基本解的論述，對于Tauber型定理的應(yīng)用，vonNeumann的平均遍歷定理，算子半群的Hille-Yosida定理并應(yīng)用于發(fā)展方程等。
本書是國際教材，在材料的取舍和處理手法上很有特色，對某些公理進(jìn)行了準(zhǔn)確描述，并精彩地討論了一些深入的專題，還介紹了在其他數(shù)學(xué)分支（如微分方程）中有價(jià)值的應(yīng)用。用作者自己的話來講，他并不期望寫一部百科全書，而是為進(jìn)一步的探索打開通道。
本書敘述清楚，論證嚴(yán)謹(jǐn)，不少地方的注釋相當(dāng)精辟并具有啟發(fā)性，可作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)高年級本科生和研究生的教材和參考書。
泛函分析是一門研究某些拓?fù)浯鷶?shù)結(jié)構(gòu)以及如何把關(guān)于這些結(jié)構(gòu)的知識(shí)應(yīng)用于分析問題的學(xué)科.
關(guān)于這門學(xué)科的一本好的入門教科書應(yīng)該包含其公理系統(tǒng)(即拓?fù)湎蛄靠臻g的一般理論)的介紹，至少應(yīng)該講解某些具有一定深度的專題，應(yīng)該包括對于其他數(shù)學(xué)分支的有價(jià)值的應(yīng)用.我希望這本書符合這些準(zhǔn)則.
這門學(xué)科是龐大的，而且正在迅速發(fā)展(［4］的第一卷中參考文獻(xiàn)就有96頁，還只到1957年).為了寫一本中等規(guī)模的書，有必要選擇某些領(lǐng)域而舍棄其他的方面.我充分意識(shí)到,幾乎任何一個(gè)看過目錄的行家都會(huì)發(fā)現(xiàn)見不到他(和我)所喜愛的某些專題，而這似乎是不可避免的.寫成一部百科全書并不是我的目的，我想寫一本能夠?yàn)檫M(jìn)一步探索打開通道的書.
因此，本書略去了拓?fù)湎蛄靠臻g的一般理論中許多更深?yuàn)W的專題.例如，沒有關(guān)于一致空間、MooreSmith收斂性、網(wǎng)和濾子的討論.完備性概念僅僅出現(xiàn)在度量空間的內(nèi)容中.囿空間沒有提到，桶空間也沒有.雖然提到了共軛性，但不是以最一般的形式出現(xiàn)的.向量值函數(shù)的積分是作為一種工具論述的.我們將重點(diǎn)放在連續(xù)的被積函數(shù)上，其值在Fréchet空間中.
然而，第一部分的材料對于具體問題的幾乎所有應(yīng)用是足夠的.這其實(shí)就是這門課程應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的：抽象和具體之間緊密的相互作用不僅是這整個(gè)學(xué)科最有用的方面，而且也是最迷人的地方.
這里對于材料的取舍還具有以下特色.一般理論的相當(dāng)一部分是在沒有局部凸性的假設(shè)下敘述的.緊算子的基本性質(zhì)是從Banach空間的共軛理論導(dǎo)出的.第5章里關(guān)于端點(diǎn)存在性的KreinMilman定理有著多種形式的應(yīng)用.廣義函數(shù)理論和Fourier變換是相當(dāng)詳盡的，并且(以很簡短的兩章)應(yīng)用于偏微分方程的兩個(gè)問題以及Wiener的Tauber定理及其兩個(gè)應(yīng)用中.譜定理是從Banach代數(shù)理論(特別地，從交換B*代數(shù)的GelfandNaimark特征)導(dǎo)出的，這也許不是最簡捷的方法，但卻是容易的.此外，相當(dāng)詳細(xì)地討論了Banach代數(shù)中的符號演算，對合與正泛函也是如此.
我假定讀者熟悉測度理論和Lebesgue積分理論(包括像Lp空間的完備性的知識(shí))，全純函數(shù)的某些基本性質(zhì)(如Cauchy定理的一般形式和Runge定理)，以及與這兩個(gè)分析問題相關(guān)的基礎(chǔ)拓?fù)渲R(shí).另外一些拓?fù)渲R(shí)在附錄A中簡要介紹，除了什么是同態(tài)之類的知識(shí)外，幾乎不需要什么代數(shù)背景.
歷史性的參考文獻(xiàn)匯集在附錄B中.其中一些是關(guān)于初始來源的，一些是較近時(shí)期的書、文章或者可以從中找到進(jìn)一步參考文獻(xiàn)的闡述性文章.當(dāng)然還有許多條目根本沒有提供文獻(xiàn).當(dāng)缺少具體的參考文獻(xiàn)時(shí)，絕不意味著我意欲將那些成果攫為己有.
大部分應(yīng)用放在第5、8、9章中，有些在第11章和250多道習(xí)題里.許多習(xí)題備有提示.章與章之間的內(nèi)在聯(lián)系見下圖.
包含在第5章那些應(yīng)用中的大多數(shù)內(nèi)容都在前4章講述了.一旦建立了所需要的理論背景，立即給出它們的應(yīng)用想必是一種好的教學(xué)方法.但是，為了不打亂書中理論的敘述，我代之以在第5章開頭簡短地指出每個(gè)問題需要的背景，這就使得必要時(shí)容易盡早學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用.
在第1版中，第10章主要討論Banach代數(shù)中的微分.20年前(直到現(xiàn)在)這些材料看上去是有價(jià)值且有發(fā)展余地的，但多年來似乎沒有取得進(jìn)展，因此我刪除了這些內(nèi)容.另一方面，我加入了一些更容易融入現(xiàn)有課文的論述：von Neumann的平均遍歷定理，算子半群的HilleYosida定理，兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理，Bonsall關(guān)于閉值域定理的出人意料的應(yīng)用，Lomonosov的引人注目的不變子空間定理.我還重寫了某些章節(jié)以便闡明某些細(xì)節(jié).此外還簡化了某些證明.
這些改動(dòng)多數(shù)源于幾位朋友和同事的十分熱心的建議.我特別要提到的是Justin Peters和Ralph Raimi,他們對于第1版給出了詳細(xì)的評述.還有第1版的俄文譯者，他加入了不少與課文有關(guān)的腳注.我感謝他們所有人!
Walter Rudin
沃爾特·魯丁（Walter Rudin） 1953年于杜克大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。曾先后執(zhí)教于麻省理工學(xué)院、羅切斯特大學(xué)、威斯康星大學(xué)麥迪遜分校、耶魯大學(xué)等。他的主要研究興趣集中在調(diào)和分析和復(fù)變函數(shù)上。除本書外，他還著有《Real and Complex Analysis》（實(shí)分析與復(fù)分析）和《Principles of Mathematical Analysis》（數(shù)學(xué)分析原理）等名著。這些教材已被翻譯成十幾種語言，在世界各地廣泛使用。
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