文化是思想的活動(dòng)，是對(duì)美和人文情感的接受。碎片似的信息或知識(shí)與文化無(wú)涉。在God的土地上,一個(gè)僅僅被很好地信息化了的人無(wú)用而令人厭憎。我們要成就的是既有文化又掌握某些特殊領(lǐng)域的專門知識(shí)的人才。專業(yè)知識(shí)給他們一個(gè)開(kāi)始的土壤，而文化則會(huì)引領(lǐng)他們深如哲學(xué)又高如藝術(shù)。我們必須記住，自我發(fā)展才是有價(jià)值的智力發(fā)展，而這種發(fā)展往往發(fā)生在16歲到30歲之間。而培養(yǎng)這種自我發(fā)展，最重要的是人們12歲以前從母親那里接受的教養(yǎng)。大主教坦普爾的一句名言能說(shuō)明我的意思。一個(gè)曾經(jīng)在拉格比公學(xué)讀書時(shí)成績(jī)一般的男孩，長(zhǎng)大后獲得了成就，這不禁使人感到驚喜。坦普爾大主教的回答是：“人不在于他18歲時(shí)怎樣，而在于他們經(jīng)歷過(guò)18歲之前那些事情，后來(lái)的日子里他們會(huì)如何。” 
培養(yǎng)一個(gè)兒童思想活動(dòng)時(shí)，最首要的是必須警惕那些被我稱之為“惰性觀念”（inert idea） 
這種僅為大腦所接受，沒(méi)有經(jīng)過(guò)運(yùn)用，或沒(méi)有經(jīng)過(guò)測(cè)試，或沒(méi)有與其他新穎的思想有機(jī)地融為一體的思想。 
在教育發(fā)展史上，最讓人有感觸的現(xiàn)象是： 一些學(xué)校，在某個(gè)時(shí)期富有活力，人才輩出。然而其后輩展現(xiàn)得賣弄學(xué)問(wèn)或者過(guò)于程式化，其原因就在于這些學(xué)校過(guò)載了惰性觀念。伴隨著惰性觀念的教育不僅無(wú)用，而且有害——最壞之事，即最好之物的敗壞。除了在知識(shí)蓬勃發(fā)展的少數(shù)時(shí)期外，過(guò)去的教育完全受這種呆滯思想的影響。這也說(shuō)明為什么那些未受教育的聰明女人，她們看透這世界，當(dāng)她們步入中年時(shí)便成為社會(huì)中最有文化修養(yǎng)的群體。她們免受了惰性觀念的可怕束縛。使人類走向偉大崇高的每一次知識(shí)革命無(wú)不是對(duì)惰性觀念的激烈反抗。遺憾的是，我們對(duì)人類的心理的可悲的無(wú)知，于是一些教育體制自身形成的惰性觀念重又束縛了人類。 
現(xiàn)在讓我們來(lái)談?wù)�，在我們的教育體制中，應(yīng)如何防止精神僵腐。我們先來(lái)說(shuō)明教育上的兩條戒律：首先，“不可教太多科目”；其次，“所教內(nèi)容務(wù)須透徹”。 
教授大量科目，而每個(gè)科目只教一點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果是學(xué)生對(duì)無(wú)關(guān)聯(lián)觀念的被動(dòng)接受，沒(méi)有被活力的火花啟明。那些被引入兒童教育的主要觀念，應(yīng)該少而重要，讓它們被投入每一種組合的可能性之中。兒童應(yīng)該把這些觀念化為自己的，應(yīng)該理解它們?cè)谒�現(xiàn)實(shí)生活里此時(shí)此地情境中的應(yīng)用。在教育的一開(kāi)始，兒童就應(yīng)該經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。兒童必須做出的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是一些普遍性的觀念，這些普遍性觀念將給出一種理解，理解他生命中發(fā)生的一系列事件，理解他的人生。我所指的“理解”超過(guò)邏輯分析的意思，盡管也包含了這重意思在其中。我說(shuō)的理解有法國(guó)諺語(yǔ)“理解一切，寬恕一切”的意味。 
學(xué)究們譏笑有用的教育。但是如果教育沒(méi)有用，教育是什么呢？教育要培養(yǎng)只能藏在尿片里的才能嗎？教育當(dāng)然應(yīng)該是有用的，不管你生活的目標(biāo)是什么。教育對(duì)圣奧古斯丁有用，教育對(duì)拿破侖有用。教育是有用的，因?yàn)槔斫馐怯杏玫摹?nbsp;
在這里，我不多談理解在文學(xué)教育中該做何解，也不想去斷言經(jīng)典課程與現(xiàn)代課程的優(yōu)缺點(diǎn)。我只想說(shuō)，我們需要的理解是一種對(duì)持續(xù)的現(xiàn)在的理解。過(guò)去的知識(shí)的唯一用處就在于它們武裝我們的現(xiàn)在。給年輕的頭腦帶來(lái)傷害最大的，莫過(guò)于輕視現(xiàn)在�，F(xiàn)在涵蓋一切。現(xiàn)在是神圣的所在，因?yàn)樗�是過(guò)去，它也是未來(lái)。同時(shí)我們必須注意，一個(gè)200年前的時(shí)代與一個(gè)2000年前的時(shí)代同樣古老。不要學(xué)究式地被所謂年代而蒙蔽。莎士比亞和莫里哀的時(shí)代與索�？死账购途S吉爾的時(shí)代一樣古老。圣賢們的交流是偉大而激勵(lì)人心的盛會(huì)，但聚會(huì)只可能有一個(gè)殿堂，也就是現(xiàn)在；每一組圣賢來(lái)到這個(gè)殿堂，經(jīng)歷的時(shí)間相較起來(lái)只有微小的區(qū)別。 
當(dāng)我們考察科學(xué)和邏輯的教育時(shí)，我們應(yīng)記住，在這里不加利用的思想概念同樣是十分有害的。我所說(shuō)的利用一個(gè)觀念，是指將它與一連串復(fù)雜的、構(gòu)成我們生活的感性知覺(jué)、情感、希望、欲望以及調(diào)節(jié)思想的精神活動(dòng)聯(lián)系在一起。我可以想象那些人，他們通過(guò)被動(dòng)地復(fù)習(xí)一些互不相干的觀念來(lái)強(qiáng)化自己靈魂。但人性不是那樣構(gòu)建的——也許某些報(bào)紙的編輯除外。 
在科學(xué)訓(xùn)練中，處理一個(gè)概念的第一件事就是去證明它。但請(qǐng)?jiān)试S我先擴(kuò)展“證明”這個(gè)詞的含義： 我的意思是——證明其價(jià)值。除非一個(gè)觀念包含的命題都是真的，否則它是無(wú)價(jià)值的。因此對(duì)一個(gè)觀念的證明，最重要的是證明其相關(guān)命題的真實(shí)性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者邏輯去證明。但證明命題的真實(shí)與否并不構(gòu)成最初采用這一概念的必要條件。畢竟，可敬的教師們的權(quán)威意見(jiàn)是我們開(kāi)始討論問(wèn)題的充分根據(jù)。在我們最初接觸一系列命題時(shí)，我們總從是否更具重要性的角度入手。這是我們所有的人在后半生所做的事。嚴(yán)格地說(shuō)，我們并不試圖證明或反駁任何事物，除非其重要性值得如此。（狹義的）證明和（狹義的）評(píng)價(jià)這兩個(gè)過(guò)程在時(shí)間先后上不需嚴(yán)格劃分。二者幾乎可以同時(shí)進(jìn)行。但如果非要給兩個(gè)過(guò)程分先后，應(yīng)該優(yōu)先考量評(píng)價(jià)過(guò)程。 
此外，我們不應(yīng)該試圖孤立地運(yùn)用各種命題。我的意思絕不是用一組簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明命題一，然后證明命題一；接著用一組簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明命題二，然后證明命題二，依次類推直至?xí)�尾。再�(zèng)]有比這更枯燥的了�；ハ嚓P(guān)聯(lián)的真理應(yīng)作為整體一起加以運(yùn)用，各種不同的命題可按任何順序反復(fù)使用。從理論科目中選擇一些重要的適用知識(shí)，同時(shí)給出系統(tǒng)的理論闡述來(lái)研究它。理論闡述須短小而簡(jiǎn)單，但應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)精確。理論闡述不能太長(zhǎng)，太長(zhǎng)的闡述使人們反而不容易透徹準(zhǔn)確地理解。頭腦里裝滿大量一知半解的理論知識(shí)，結(jié)果會(huì)很糟糕。理論也不應(yīng)該與實(shí)際相混淆。在證明和利用時(shí)，兒童不應(yīng)該有疑慮。我的觀點(diǎn)是，只要可行，被證明的應(yīng)該加以利用，被利用的應(yīng)該加以證明。我絕不認(rèn)為證明和利用是一回事。 
敘述至此，我可以用一種表面看似離題的方式更進(jìn)一步闡明我的論點(diǎn)。我們剛剛開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，教育的藝術(shù)和科學(xué)需要天賦，也需要對(duì)這種藝術(shù)及科學(xué)進(jìn)行研究；我們認(rèn)識(shí)到，這種教育的天賦和科學(xué)不僅僅是某種科學(xué)的或文學(xué)的知識(shí)。上一代人只是部分地認(rèn)識(shí)這個(gè)道理；中學(xué)和小學(xué)里那些稍欠火候的校長(zhǎng)們，往往要求同事們玩左手保齡球，要求他們對(duì)足球感興趣，以此來(lái)取代僅僅研究教育的藝術(shù)與科學(xué)。然而，文化比保齡球豐富，比足球豐富，文化也比廣博的知識(shí)更為豐富。 
教育是教人們掌握如何運(yùn)用知識(shí)的藝術(shù)。這是一種很難傳授的藝術(shù)。一旦有人寫出一本具有真正教育價(jià)值的教科書，保準(zhǔn)就會(huì)有某位評(píng)論家說(shuō)這本教材很難用，無(wú)論什么時(shí)候都如此。有價(jià)值的教材當(dāng)然不容易教。倘若容易，就應(yīng)該將它都燒了，因?yàn)樗�不可能有教育的價(jià)值。在教育領(lǐng)域中，或在其他領(lǐng)域中也一樣，那些看似寬廣實(shí)則危險(xiǎn)的路往往通往糟糕的境地。這條邪惡之路由一本書或一系列講座來(lái)鋪就，書和講座幾乎能使學(xué)生記住下一次校外考試中可能出現(xiàn)的所有問(wèn)題。順便說(shuō)一句，一個(gè)學(xué)生在任何考試中要直接回答的每一個(gè)問(wèn)題都該由他的老師設(shè)計(jì)或修改，否則這種教育制度是沒(méi)有發(fā)展前途的。校外評(píng)審員可以就課程的情況或?qū)W生的表現(xiàn)做出報(bào)告，但絕不應(yīng)拿未經(jīng)學(xué)生自己的教師嚴(yán)格審閱的問(wèn)題來(lái)問(wèn)詢學(xué)生。校外評(píng)審員問(wèn)學(xué)生的問(wèn)題，至少是經(jīng)過(guò)與學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間的討論而引發(fā)出來(lái)的。會(huì)有一些例外情況出離這條規(guī)則，但它們僅僅是例外，而且這些例外因?yàn)楹嫌谝话阋?guī)則而尚能夠容易被允許。 
現(xiàn)在回到我前面提到的論點(diǎn)，即各種理論觀念在學(xué)生的課程中應(yīng)該永遠(yuǎn)具有重要的應(yīng)用性。這并不是一個(gè)容易付諸實(shí)踐的教義，而是很難實(shí)行。它本身便涉及這樣的問(wèn)題： 要使知識(shí)充滿活力，不能使知識(shí)變成惰性的，而這是一切教育的核心難題。 
最好的做法取決于幾個(gè)不可或缺的因素： 教師的天賦，學(xué)生的智力類型及他們生活的前景，學(xué)校周圍環(huán)境提供的機(jī)會(huì)，以及與此相關(guān)的各種因素。正因?yàn)槿绱耍�統(tǒng)一的校外考試是極其有害的。我們指責(zé)這種考試，并非因?yàn)槲覀兪悄欠N熱衷于指責(zé)已經(jīng)確定的事物的怪人。我們沒(méi)那么幼稚。當(dāng)然，這類考試在檢查學(xué)生的怠惰方面也有用處。我們討厭這種考試的理由是十分明確而又具有實(shí)際意義的，因?yàn)樗�扼殺了文化里最好的部分。�?dāng)你憑據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)分析教育的中心任務(wù)時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓滿完成任務(wù)取決于對(duì)多種可變因素做精妙的調(diào)整。因?yàn)槲覀兪窃谂c人的大腦打交道，而不是與僵死的事物打交道。學(xué)生的求知欲和判斷力，以及控制復(fù)雜情況的能力，他們?cè)谔厥馇闆r下應(yīng)用理論知識(shí)對(duì)前景作出預(yù)見(jiàn)——所有這些能力不是靠一套體現(xiàn)在各科目考試中的既定規(guī)則所能傳授的。 
我提請(qǐng)你們這些有經(jīng)驗(yàn)的教師們注意。在課堂紀(jì)律良好的情況下，確有可能向?qū)W生們灌輸一定量的惰性知識(shí)。你拿一個(gè)教材，讓他們自己學(xué)習(xí)。似乎很棒。然后學(xué)生們知道了如何求解二次方程。但我們教會(huì)學(xué)生解二次方程的關(guān)鍵點(diǎn)是什么呢？對(duì)這個(gè)問(wèn)題有一種傳統(tǒng)的回答是這么說(shuō)的： 人的大腦是一種工具，你先要把它磨鋒利了，然后才好使用它；掌握解二次方程的本領(lǐng)便是一種磨礪大腦的過(guò)程。這個(gè)回答具有一定的真實(shí)性，因此幾代人都接受了它。盡管如此，但它包含一種根本性的錯(cuò)誤，可能因此扼殺我們這個(gè)世界的天才。我不知道是誰(shuí)最先把人的大腦比作一種無(wú)生命的工具。我猜這也許是希臘七賢中的一位提出的，也或者是他們集體認(rèn)可的看法。不管發(fā)明者是誰(shuí)，歷代杰出人物紛紛贊同，從而使它具有的權(quán)威性不容懷疑。然而，不管這種說(shuō)法多么權(quán)威，不管什么樣的名人對(duì)此表示過(guò)贊同，我都會(huì)毫不猶豫地抨擊這種說(shuō)法，這是迄今存在于教育理論中的最致命、最錯(cuò)誤因而也是最危險(xiǎn)的一種觀點(diǎn)。人的大腦從來(lái)不是消極被動(dòng)地接受知識(shí)；它處于一種永恒的活動(dòng)中，精細(xì)而敏銳，接受外界的刺激并做出反應(yīng)。你不能延遲大腦的生命，把大腦像工具一樣先磨好然后再使用它。不管學(xué)生對(duì)你的主題有什么興趣，必須此時(shí)此境就被激起；不管你要加強(qiáng)學(xué)生什么樣的能力，必須此時(shí)此境就進(jìn)行；不管你想帶給學(xué)生的精神生活什么可能性，你必須此時(shí)此境就展現(xiàn)。這是教育的金規(guī)則，也很難遵守。
困難在于： 對(duì)于一般概念的理解，以及大腦智力活動(dòng)的習(xí)慣，還有取得智力成就的快樂(lè)，這些都無(wú)法用任何形式的言語(yǔ)喚起，也無(wú)論你怎樣正確地調(diào)整。凡有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，教育是一種掌握種種細(xì)節(jié)的過(guò)程，需要耐心，一分鐘又一分鐘，一小時(shí)又一小時(shí)，一天又一天。學(xué)習(xí)沒(méi)有捷徑，不可能通過(guò)虛幻之路獲得高明概括。有一句諺語(yǔ)“見(jiàn)樹(shù)不見(jiàn)林”，這種困難正是我要強(qiáng)調(diào)的。教育需要解決的問(wèn)題就是使學(xué)生通過(guò)樹(shù)木看見(jiàn)森林。 
我主張的解決方法是，要根除各科目之間那種致命的分離狀況，因?yàn)樗�扼殺了我們現(xiàn)代課程的活力。教育只有一個(gè)主題，那就是各呈其貌的生活。但我們沒(méi)有向?qū)W生展現(xiàn)生活這個(gè)統(tǒng)一體，取而代之的是教他們——代數(shù)，然后就什么都沒(méi)有了；幾何，然后就什么都沒(méi)有了；科學(xué)，然后就什么都沒(méi)有了；歷史，然后就什么都沒(méi)有了；教他們學(xué)兩三種語(yǔ)言，但他們卻從來(lái)沒(méi)有真正掌握；最后，是最令人乏味的文學(xué)，常常是莎士比亞的一些戲劇作品，配有語(yǔ)言方面的注釋和簡(jiǎn)短的劇情人物分析，實(shí)際上是為了讓學(xué)生背誦的。以上這些能說(shuō)是代表了生活嗎？能代表我們身處生活之中所領(lǐng)會(huì)的那種生活嗎?最好的說(shuō)法，那是神在創(chuàng)世時(shí)腦海中飛快瀏覽的一個(gè)目錄表，那時(shí)他還沒(méi)有想好如何將它們?nèi)诤蠟橐弧?nbsp;
現(xiàn)在讓我們回到二次方程的話題上來(lái)，我們還沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題。為什么要教兒童二次方程的解法?除非二次方程適合一套互有相關(guān)性的課程，否則我們沒(méi)有理由去教與它有關(guān)的任何知識(shí)，這是當(dāng)然的。此外，因?yàn)閿?shù)學(xué)在整個(gè)文化中的位置應(yīng)該涉及很廣的范圍，我甚至有點(diǎn)懷疑對(duì)許多類型的兒童來(lái)說(shuō)，二次方程的代數(shù)解法不該取決于數(shù)學(xué)的專業(yè)化的一面。在此我提醒你們，到目前為止我還沒(méi)有對(duì)心理學(xué)或?qū)ｉT化內(nèi)容作任何評(píng)論，它們是理想教育的必要組成部分。但評(píng)說(shuō)它們是對(duì)我們的真問(wèn)題的回避，我提這些只是為了使我下面的回答不致引起誤解。 
二次方程是代數(shù)學(xué)的一部分，而代數(shù)學(xué)是人們創(chuàng)造出來(lái)用以清晰量化世界的一種智力工具。我們無(wú)法回避數(shù)量，世界自始至終都受到數(shù)量的影響，我們說(shuō)感受就是用數(shù)量來(lái)說(shuō)話。說(shuō)這個(gè)國(guó)家大——有多大？說(shuō)鐳很缺乏——缺多少？你不能回避數(shù)量的概念。也許你可以轉(zhuǎn)向詩(shī)歌和音樂(lè)的王國(guó)，但在節(jié)奏和音階方面你仍會(huì)遇到數(shù)量和數(shù)字。那些看似優(yōu)雅卻蔑視數(shù)量理論的學(xué)者是不健全的。與其指責(zé)他們，不如憐憫他們，他們?cè)趯W(xué)校中學(xué)到的那些零碎的莫名其妙的被稱為代數(shù)的知識(shí)應(yīng)該受到輕視。 
代數(shù)學(xué)無(wú)論在辭令上還是事實(shí)上，都退化得亂七八糟，這為我們提供了一個(gè)可悲的例子，如果我們希望在兒童生動(dòng)活潑的頭腦里喚起美好品性，可是我們自己對(duì)要喚起的美好品性缺乏清晰的概念，則改革教育的計(jì)劃表是沒(méi)有價(jià)值的。幾年前，人們強(qiáng)烈要求改革學(xué)校中的代數(shù)課，多數(shù)人都同意圖表可以解決一切問(wèn)題。于是，學(xué)校開(kāi)始推行圖表法，淘汰了其他所有的方法。但就我所看到的，僅僅是圖表而已，根本沒(méi)有思想�，F(xiàn)在每次考試總有一兩道圖表題。我個(gè)人是圖表法的積極擁護(hù)者，但我不知道我們是否贏得了什么。生活與所有智力或情感認(rèn)知能力的某種基本特點(diǎn)之間存在著關(guān)系，如果你不能成功地展現(xiàn)這種關(guān)系，你也就無(wú)法將生活融入任何普通教育的計(jì)劃中。這個(gè)說(shuō)法很難，但是這個(gè)是真的。我不知道怎么能更容易。在做這種小小的形式的改動(dòng)時(shí)，你恰恰被事物的本質(zhì)難倒。你的對(duì)手技術(shù)老練，他能使豌豆永遠(yuǎn)在另一個(gè)杯子下。 
改革必須從另一邊開(kāi)始。首先，你必須確認(rèn)世上有哪些簡(jiǎn)單到足以進(jìn)入普通教育中的數(shù)量關(guān)系。然后，應(yīng)該制訂一份代數(shù)課程計(jì)劃，這個(gè)計(jì)劃將在這些數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用中找到例證。我們不必害怕那些圖表，當(dāng)我們開(kāi)始把代數(shù)當(dāng)作研究世界的重要手段時(shí)，圖表會(huì)大量出現(xiàn)。 
在對(duì)社會(huì)學(xué)進(jìn)行最簡(jiǎn)明的研究時(shí)，我們可以用某些最簡(jiǎn)單的圖表來(lái)進(jìn)行量化描述。歷史課里那些圖表曲線要比枯燥的人名、日期一覽表更生動(dòng)直觀，但枯燥的人名和日期一覽表卻構(gòu)成了我們學(xué)校枯燥的學(xué)習(xí)中的主要內(nèi)容。平庸的國(guó)王和王后的一覽表能達(dá)到什么目的？湯姆、迪克，或哈里，他們都死了。一般的復(fù)活是失敗的，最好還是推遲。 
現(xiàn)代社會(huì)中各種勢(shì)力的變化，可以用數(shù)量這種極簡(jiǎn)明的方法來(lái)顯示。同時(shí)，關(guān)于變量的概念，關(guān)于函數(shù)、變化速率、方程及其解法的概念，還有數(shù)學(xué)中消元的概念，都可以按照它們自身的特點(diǎn)被作為一種純概念的科學(xué)來(lái)進(jìn)行研究。當(dāng)然，研究的時(shí)候不是用此刻我提到它們時(shí)所用的這些華麗的詞，而是用那些適合教學(xué)的簡(jiǎn)單而特殊的實(shí)例來(lái)反復(fù)教。 
如果這個(gè)思路可以被繼續(xù)下去，那么從喬叟到黑死病，從黑死病到現(xiàn)代勞工問(wèn)題，這條線索將把中世紀(jì)朝圣者們的傳說(shuō)與代數(shù)這門抽象科學(xué)聯(lián)系起來(lái)，兩者都從諸多不同的方面反映了同一主題，即： 生活。我知道你們大多數(shù)人對(duì)我所持這一點(diǎn)的看法。你們認(rèn)為我所勾勒出的這條進(jìn)程并不是你們想選擇的，甚至也不是你們要看它如何起作用的。對(duì)此我相當(dāng)贊同。我不宣稱說(shuō)我可以自己做這點(diǎn)。但你們的反對(duì)恰恰說(shuō)明了為什么統(tǒng)一的校外考試制度對(duì)教育是極其有害的。知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程若要取得成功，必須首先取決于學(xué)生的特點(diǎn)和教師的天賦。當(dāng)然，我有意地忽略了尋常我們大多數(shù)人都比較熟悉的最簡(jiǎn)單的應(yīng)用。我指的是那些涉及量的科學(xué)，如機(jī)械學(xué)和物理學(xué)。 


同樣地，我們用社會(huì)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)資料與時(shí)間來(lái)打點(diǎn)做圖表曲線，然后清除圖表上一對(duì)類似事件之間的時(shí)間。我們能夠推斷我們?cè)诙啻蟪潭壬险宫F(xiàn)了一種真正的因果關(guān)系，或多大程度上僅僅是時(shí)間上的巧合。我們注意到，對(duì)不同國(guó)家，我們可能使用了不同的社會(huì)事件統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與時(shí)間對(duì)照表，這樣，通過(guò)對(duì)主題的適當(dāng)選擇，就可能得到一些肯定僅僅是展現(xiàn)巧合的圖表。同樣，其他圖表可能會(huì)顯示明顯的因果關(guān)系。我們想要知道如何區(qū)分兩者間的不同，因此繼續(xù)按照我們的意愿來(lái)畫圖表。 
在考慮這種描述時(shí)，請(qǐng)你們務(wù)必記住我始終堅(jiān)持的論點(diǎn)。首先，一種思維訓(xùn)練方式不會(huì)適合各種類型的所有兒童。例如，我想，手工靈巧的兒童會(huì)需要比我列舉的更實(shí)在、更敏捷的東西。也許我錯(cuò)了，但我應(yīng)該做這種推測(cè)。其次，我并不認(rèn)為一次出色的講座就能一勞永逸地激勵(lì)出一個(gè)令人羨慕的班級(jí)。這不是教育進(jìn)展的方式，絕不是！學(xué)生們始終在努力地解題，畫圖表，做實(shí)驗(yàn)，直到他們完全掌握了整個(gè)課題。我在描述各種解釋，即在思維方面應(yīng)給予孩子們指導(dǎo)。必須讓學(xué)生們感到他們?cè)趯W(xué)習(xí)某種東西，而不僅僅是在表演智力的小步舞。 
最后，如果你教的學(xué)生要參加某種統(tǒng)一的普通考試，那么如何實(shí)施完美的教學(xué)就成了一個(gè)極其復(fù)雜的問(wèn)題。你是否注意過(guò)諾曼式拱形結(jié)構(gòu)上那彎曲的花紋？古代的作品精美絕倫，現(xiàn)代的作品則粗陋不堪。其原因就在于，現(xiàn)代作品按精確的尺寸設(shè)計(jì)制作，而古代的作品則隨工匠的風(fēng)格而各自變化�，F(xiàn)代局促，古代舒展�，F(xiàn)在的學(xué)生要通過(guò)考試，就要對(duì)教學(xué)的各個(gè)科目都給予同等的重視。但人類天生是一個(gè)適應(yīng)并局限于一定生存模式的具有個(gè)體特殊性的物種。某個(gè)人看見(jiàn)的是整個(gè)課題，而另一個(gè)人則可能只發(fā)現(xiàn)一些獨(dú)立的例證。我知道，在為一種廣博的文化而設(shè)計(jì)的課程中為個(gè)體特殊性留出余地似乎是矛盾的。但沒(méi)有矛盾，世界會(huì)變得更簡(jiǎn)單，也許更單調(diào)。我確信，在教育中如果排斥個(gè)體特殊性，你就是在毀掉生活。 
現(xiàn)在我們來(lái)看看普通數(shù)學(xué)教育中的另一個(gè)偉大的分支： 幾何學(xué)。同樣的原理也適用于這門學(xué)科。理論部分應(yīng)該層次分明，嚴(yán)密，簡(jiǎn)潔，有重要意義。對(duì)顯示各種概念之間主要聯(lián)系的一切非必要論點(diǎn)都應(yīng)刪除，僅應(yīng)保留所有重要的基本概念。不應(yīng)刪除基本的概念，比如相似性和比例。我們必須記住，由于圖形的視覺(jué)效果提供的幫助，在訓(xùn)練大腦推理演繹能力方面，幾何是無(wú)與倫比的學(xué)科。當(dāng)然，隨后就能幾何制圖，它訓(xùn)練人的手和眼睛。 
然而，幾何與幾何制圖必須超越幾何概念的范疇，跟代數(shù)一樣。在相近的工業(yè)領(lǐng)域，機(jī)械和車間操作實(shí)踐可作為幾何學(xué)知識(shí)的適當(dāng)延伸。例如，倫敦工藝�？茖W(xué)校在這方面取得了引人矚目的成就。對(duì)許多中等學(xué)校來(lái)說(shuō)，我建議使用測(cè)量和繪圖法。尤其是平板測(cè)量法可以使學(xué)生對(duì)幾何原理的直接應(yīng)用產(chǎn)生一種生動(dòng)的理解。簡(jiǎn)單的繪圖工具，一條測(cè)鏈，一個(gè)測(cè)繪羅盤儀，這些東西可以引導(dǎo)學(xué)生從勘測(cè)和丈量一塊場(chǎng)地進(jìn)而繪制一個(gè)小區(qū)域的地圖。最優(yōu)秀的教育在于能夠用最簡(jiǎn)單的工具獲得最多的知識(shí)。我反對(duì)給學(xué)生提供精制的工具儀器。繪制出一小塊區(qū)域的地圖，悉心考慮該區(qū)的道路、輪廓、地質(zhì)情況、氣候，該區(qū)與其他地區(qū)的關(guān)系，以及對(duì)該區(qū)居民地位的影響，這些會(huì)比任何關(guān)于珀金?沃貝克的知識(shí)使學(xué)生懂得更多的歷史和地理。我的意思是指，就一個(gè)課題，不是做一場(chǎng)含糊不清的演講，而是要進(jìn)行認(rèn)真的調(diào)查研究，這種調(diào)查通過(guò)準(zhǔn)確無(wú)誤的理論知識(shí)來(lái)確定真切的事實(shí)。一個(gè)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)該是： 如此這般測(cè)量某一塊場(chǎng)地，如此這般按某種比例尺繪制出它的平面圖，并找到了它。這是一種很好的程序，即提出必要的幾何命題卻不進(jìn)行證明。然后在進(jìn)行測(cè)量的同時(shí)學(xué)會(huì)證明。