目錄
序言
數(shù)學(xué)分析引言 1
習(xí)題 9
第1章 實數(shù)系 函數(shù) 10
1.1 實數(shù)系及其簡單性質(zhì) 10
一、實數(shù)系的簡單分類 10
二、實數(shù)系的簡單性質(zhì) 12
習(xí)題1.1 15
1.2 界 最值 確界 15
一、數(shù)集的有界性 16
二、數(shù)集的最大值和最小值 21
三、確界 22
習(xí)題1.2 29
1.3 函數(shù) 30
一、映射 30
二、函數(shù) 30
三、基本初等函數(shù) 34
習(xí)題1.3 38
第2章 數(shù)列的極限 39
2.1 數(shù)列極限 41
一、數(shù)列的定義 41
二、數(shù)列極限 42
習(xí)題2.1 55
2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)及運算 57
一、數(shù)列極限的性質(zhì) 58
二、數(shù)列極限的四則運算 61
三、應(yīng)用 62
四、無窮大量和無窮小量的性質(zhì)及其關(guān)系 66
習(xí)題2.2 67
2.3 Stolz定理 68
習(xí)題2.3 76
2.4 收斂準(zhǔn)則及實數(shù)基本定理 76
一、確界的性質(zhì) 77
二、單調(diào)有界收斂定理 78
三、閉區(qū)間套定理 85
四、Weierstrass定理 86
五、Cauchy收斂定理 91
六、有限開覆蓋定理 95
七、實數(shù)系基本定理 97
習(xí)題2.4 98
2.5 實數(shù)基本定理的等價性 99
習(xí)題2.5 102
第3章 函數(shù)的極限和連續(xù)性 103
3.1 函數(shù)的極限 103
一、函數(shù)極限的各種定義 104
二、極限定義的應(yīng)用 107
三、極限定義的否定式 111
四、各種極限的聯(lián)系 111
五、函數(shù)極限的性質(zhì)和運算法則 117
六、兩個重要極限 120
習(xí)題3.1 126
3.2 無窮小量和無窮大量的階 129
一、無窮小量的階 129
二、無窮大量的階 134
習(xí)題3.2 134
3.3 連續(xù)函數(shù) 135
一、連續(xù)性的定義 135
二、運算性質(zhì) 137
三、不連續(xù)點及其類型 139
習(xí)題3.3 141
3.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 142
一、有界性定理 142
二、最值定理 144
三、方程的根或函數(shù)零點存在定理 146
習(xí)題3.4 148
3.5 一致連續(xù)性 148
一、定義 149
二、判別定理 150
三、性質(zhì) 154
四、非一致連續(xù)性 156
五、一致連續(xù)的進一步性質(zhì) 157
習(xí)題3.5 160
第4章 導(dǎo)數(shù)與微分 162
4.1 導(dǎo)數(shù)的定義 162
一、背景問題 162
二、導(dǎo)數(shù)的定義 164
三、導(dǎo)函數(shù) 165
四、可導(dǎo)與連續(xù) 166
五、導(dǎo)函數(shù)的計算 167
六、不可導(dǎo)函數(shù) 174
習(xí)題4.1 175
4.2 微分及其運算 177
一、背景 177
二、微分的定義 178
三、微分的計算法則 180
習(xí)題4.2 181
4.3 隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo) 182
一、隱函數(shù)的求導(dǎo) 182
二、參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo) 184
習(xí)題4.3 185
4.4 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分 185
一、高階導(dǎo)數(shù)及其運算 185
二、高階微分及其運算 191
三、應(yīng)用——方程的變換 192
習(xí)題4.4 195
第5章 微分中值定理及其應(yīng)用 197
5.1 微分中值定理 197
一、Fermat定理 197
二、Rolle定理 200
三、Lagrange中值定理 201
四、Cauchy中值定理 202
五、中值定理的應(yīng)用舉例 204
習(xí)題5.1 207
5.2 微分中值定理的應(yīng)用 208
一、函數(shù)的分析性質(zhì) 208
二、幾何性質(zhì) 212
習(xí)題5.2 225
5.3 Taylor公式 226
一、背景 227
二、多項式函數(shù) 228
三、Taylor公式 229
四、應(yīng)用 233
習(xí)題5.3 240
5.4 L’Hospital法則 241
一、待定型極限 241
二、L’Hospital法則 242
三、應(yīng)用 245
習(xí)題5.4 250