本書根據(jù)作者近年來多次在南開大學講授黎曼幾何的講稿寫成，可以作為黎曼幾何的入門教材，主要介紹黎曼幾何的基本概念與基本方法。全書共十四講，依次介紹黎曼流形、黎曼聯(lián)絡、測地線、曲率等基本概念;其間介紹弧長的變分公式以及Jacobi場等基本方法，并討論黎曼流形上的幾何變換、微分算子、完備性、比較定理等;最后，作為黎曼流形的重要實例，介紹了齊性黎曼流形。每一講都配有適量的例子和重要的應用，以及少量習題，以加深對相關概念和方法的理解。本書強調幾何背景，著重介紹幾何直觀比較明確的一些定理，定理的證明也以經(jīng)典微分幾何方法為主。
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目錄
前言
第一講 黎曼度量 1
1.1 黎曼度量的定義 1
1.2 黎曼流形的例子 2
1.3 黎曼流形上的變換 4
1.4 附注 6
1.5 習題 7
第二講 黎曼聯(lián)絡 9
2.1 仿射聯(lián)絡 9
2.2 Levi-Civita聯(lián)絡 11
2.3 聯(lián)絡形式 13
2.4 附注 14
2.5 習題 15
第三講 黎曼流形上的微分算子 16
3.1 梯度和散度 16
3.2 Laplace算子和Hessian算子 17
3.3 Hodge理論 18
3.4 附注 22
3.5 習題 22
第四講 平行移動和測地線 23
4.1 平行移動 23
4.2 測地線 25
4.3 射影變換 27
4.4 附注 28
4.5 習題 29
第五講 弧長的第一變分 30
5.1 指數(shù)映射 30
5.2 曲線的變分 31
5.3 兩個應用 33
5.4 附注 35
5.5 習題 35
第六講 完備性 37
6.1 距離函數(shù) 37
6.2 Hopf-Rinow定理 40
6.3 附注 43
6.4 習題 43
第七講 曲率算子和曲率形式 44
7.1 曲率算子 44
7.2 曲率形式 48
7.3 附注 52
7.4 習題 52
第八講 截面曲率 54
8.1 截面曲率的定義 54
8.2 常曲率空間 57
8.3 附注 60
8.4 習題 61
第九講 弧長的第二變分 62
9.1 第二變分公式 62
9.2 Weinstein定理和Synge定理 64
9.3 連通性 65
9.4 附注 66
9.5 習題 67
第十講 Ricci曲率和數(shù)量曲率 68
10.1 Ricci曲率 68
10.2 數(shù)量曲率 73
10.3 附注 73
10.4 習題 74
第十一講 測地變分和Jacobi場 75
11.1 測地變分 75
11.2 共軛點 79
11.3 割跡 81
11.4 附注 82
11.5 習題 82
第十二講 體積比較定理 83
12.1 相對體積比較定理 83
12.2 體積比較定理的應用 86
12.3 附注 89
12.4 習題 89
第十三講 仿射變換和射影對應 91
13.1 仿射變換 91
13.2 射影等價性 93
13.3 附注 96
13.4 習題 97
第十四講 齊性黎曼流形 98
14.1 齊性空間 98
14.2 不變黎曼度量 100
14.3 對稱空間 103
14.4 附注 105
14.5 習題 105
參考文獻 107
索引 110
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