《黎曼幾何引論》上、下兩冊(cè)的分工是：上冊(cè)作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生課程“黎曼幾何引論”的教材，其主要內(nèi)容應(yīng)該、而且能夠在周學(xué)時(shí)為3、或4的一學(xué)期課程中講完，重點(diǎn)是黎曼幾何的基本概念和基本理論，以及大范圍黎曼幾何的主要結(jié)果和變分方法的運(yùn)用；下冊(cè)可以作為后續(xù)課程“黎曼幾何Ⅱ”的教材，或討論班的學(xué)習(xí)材料。當(dāng)前，微分幾何與數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的相互影響越來(lái)越深刻、關(guān)系越來(lái)越密切，本書(shū)的下冊(cè)則體現(xiàn)了這種緊密的聯(lián)系。例如，Kahler流形是復(fù)流形幾何以及代數(shù)幾何的主要角色，在本書(shū)我們從微分幾何的角度論述了Kahler流形上的各種結(jié)構(gòu)的相容性及其幾何意義。黎曼對(duì)稱(chēng)空間是一類(lèi)特殊的黎曼流形，有相當(dāng)豐富的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，與李群和李代數(shù)有密切的聯(lián)系，它是微分幾何的重要研究對(duì)象，也是調(diào)和分析等的演繹舞臺(tái)。微分幾何在數(shù)學(xué)各個(gè)分支中的主要應(yīng)用是，它提供了一種對(duì)于光滑切向量場(chǎng)進(jìn)行微分的結(jié)構(gòu)，所以聯(lián)絡(luò)是微分幾何的核心內(nèi)容。本書(shū)的第十章從平行移動(dòng)的角度闡述了主叢上的聯(lián)絡(luò)的由來(lái)及其幾何意義。一個(gè)約定俗成的準(zhǔn)則是，一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否屬于微分幾何的范疇，關(guān)鍵是看它是否涉及曲率的概念。曲率是圖形或某種空間結(jié)構(gòu)通過(guò)微分手段獲得的不變量，是微分幾何中最基本的概念，是衡量空間的某種結(jié)構(gòu)是否平凡的數(shù)量特征。本書(shū)各章都要講到各種結(jié)構(gòu)的曲率及其幾何意義為止。
　　翻閱本書(shū)不難發(fā)現(xiàn)，本書(shū)的選材和敘述與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)相比較都有它的獨(dú)到之處。本書(shū)是作者在北京大學(xué)學(xué)習(xí)微分幾何和長(zhǎng)期從事微分幾何教學(xué)和研究的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這里，我們特別懷念吳光磊教授，因?yàn)楸緯?shū)的有些講法出自吳先生在討論班上的演講。例如，復(fù)向量空間的對(duì)偶空間，向量叢上聯(lián)絡(luò)所誘導(dǎo)的水平分布等等都是吳先生在討論班上曾經(jīng)講過(guò)的內(nèi)容，凝集了他的學(xué)習(xí)心得。而且，他經(jīng)常要求我們用最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言把概念清晰地表達(dá)出來(lái)。我們?cè)诒緯?shū)所追求的目標(biāo)之一就是把概念的由來(lái)和意義講清楚，而不滿足于它們的形式表述。數(shù)學(xué)的概念不只是術(shù)語(yǔ)和公式的堆砌，它們都有發(fā)生、發(fā)展和推廣的過(guò)程。我們?cè)噲D努力反映這種發(fā)展的過(guò)程。例如，第十章的（2。18）式定義的標(biāo)架叢上的聯(lián)絡(luò)形式θ是主叢上的聯(lián)絡(luò)形式的特殊情形，我們還進(jìn)一步指出：實(shí)際上它是向量叢E上的活動(dòng)標(biāo)架的相對(duì)分量。在這樣理解的基礎(chǔ)上，我們才能體會(huì)到抽象概念的豐富、生動(dòng)的內(nèi)涵，而不只是一堆枯燥的公式。當(dāng)然，本書(shū)只提供了K?hler流形、黎曼對(duì)稱(chēng)空間、主纖維叢上的聯(lián)絡(luò)的基礎(chǔ)理論，并不是直接從事這些課題的前沿研究，但是它們?yōu)橛嘘P(guān)課題的前沿研究提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，我們相信這些內(nèi)容對(duì)于從事微分幾何、非線性分析、調(diào)和分析和數(shù)學(xué)物理研究的工作者是十分有用的。
　　和上冊(cè)一樣，李興校教授參與了本書(shū)的寫(xiě)作，特別是本書(shū)的習(xí)題、答案和提示以及10。6是由他執(zhí)筆的。本書(shū)的寫(xiě)作得到國(guó)家自然科學(xué)基金（項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)NSFC10271004）的資助，我們對(duì)此表示衷心的感謝。作者對(duì)責(zé)任編輯邱淑清老師的卓有成效的辛勤工作表示感謝。20年多來(lái)，她為數(shù)學(xué)書(shū)籍的出版傾注了很多心血，嚴(yán)格、細(xì)致的工作作風(fēng)有口皆碑。借此機(jī)會(huì)向她表示崇高的敬意。
　　限于作者的水平，本書(shū)中的不足之處肯定是存在的，誠(chéng)懇地希望讀者能不吝指正。