第1章 緒論 1 1.1 引言 1 1.2 誤差 2 1.2.1 誤差來源與分類 2 1.2.2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與有效 數(shù)字 3 1.3 數(shù)值算法設(shè)計(jì)原則 6 習(xí)題1 9 第2章 非線性方程與方程組的數(shù)值 解法 11 2.1 引言 11 2.2 二分法 12 2.3 簡單迭代法 14 2.3.1 簡單迭代法的構(gòu)造原理 14 2.3.2 迭代法的收斂性 16 2.3.3 局部收斂性與收斂階 18 2.3.4 迭代法的加速技巧 20 2.4 牛頓法及其變形方法 22 2.4.1 牛頓法 22 2.4.2 牛頓法的變形 25 2.5 多項(xiàng)式方程求根法 30 2.6 非線性方程組的數(shù)值解法 31 2.7 應(yīng)用案例：球體進(jìn)水深度問題 33 習(xí)題2 33 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 35 第3章 解線性方程組的直接法 36 3.1 引言 36 3.2 高斯消去法 37 3.2.1 高斯消去法的基本思想 37 3.2.2 n元線性方程組的高斯消去法 38 3.3 列主元高斯消去法 42 3.4 直接三角分解法及列主元三角 分解法 43 3.4.1 直接三角分解法 43 3.4.2 列主元三角分解法 47 3.5 特殊矩陣的三角分解法 49 3.5.1 對(duì)稱矩陣的三角分解法 49 3.5.2 對(duì)稱正定矩陣的三角分解法 50 3.5.3 三對(duì)角方程組的追趕法 52 3.6 應(yīng)用案例：食物營養(yǎng)配餐問題 54 習(xí)題3 56 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 57 第4章 解線性方程組的迭代法 58 4.1 預(yù)備知識(shí) 58 4.1.1 向量的數(shù)量積及其性質(zhì) 58 4.1.2 向量范數(shù)和向量序列的極限 59 4.1.3 矩陣范數(shù)和矩陣序列的極限 60 4.1.4 方程組的性態(tài)與矩陣的條件數(shù) 62 4.2 簡單迭代法 64 4.2.1 簡單迭代法的基本構(gòu)造 64 4.2.2 迭代法的收斂性 64 4.2.3 迭代法收斂的誤差估計(jì) 66 4.3 雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法 66 4.3.1 雅可比迭代法 67 4.3.2 高斯-賽德爾迭代法 69 4.3.3 雅可比迭代法和高斯-賽德爾 迭代法的收斂性 72 4.4 超松弛迭代法 74 4.5 共軛梯度法 76 4.5.1 等價(jià)的極值問題 77 4.5.2 最速下降法 78 4.5.3 共軛梯度法 79 4.6 應(yīng)用案例：迭代法在求解偏微分 方程中的應(yīng)用 82 習(xí)題4 84 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 86 第5章 曲線擬合與函數(shù)插值 88 5.1 曲線擬合的最小二乘法 88 5.1.1 最小二乘問題 88 5.1.2 最小二乘擬合多項(xiàng)式 90 5.2　插值問題的提出 94 5.3 拉格朗日插值 96 5.3.1 線性插值與二次插值 96 5.3.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 97 5.3.3 插值余項(xiàng) 99 5.4 差商與牛頓插值 102 5.4.1 差商的定義與性質(zhì) 102 5.4.2 牛頓插值公式 103 5.5 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 105 5.5.1 差分的定義與性質(zhì) 105 5.5.2 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 106 5.6 埃爾米特插值 108 5.7 分段低次多項(xiàng)式插值 111 5.7.1 高次多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象 111 5.7.2 分段線性插值 112 5.7.3 分段三次埃爾米特插值 112 5.8 三次樣條插值 113 5.8.1 三次樣條函數(shù) 113 5.8.2 三次樣條插值函數(shù)的計(jì)算 114 5.9 應(yīng)用案例：應(yīng)用三次樣條函數(shù)實(shí)現(xiàn) 曲線擬合 117 習(xí)題5 119 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 121 第6章 數(shù)值微積分 123 6.1　數(shù)值積分的基本概念 123 6.1.1　求積公式與代數(shù)精度 123 6.1.2　插值型求積公式 124 6.2　牛頓-柯特斯公式 125 6.2.1　牛頓-柯特斯系數(shù)及常用求 積公式 125 6.2.2　誤差估計(jì) 128 6.2.3　收斂性與穩(wěn)定性 129 6.2.4　復(fù)化求積公式 130 6.3　龍貝格算法 132 6.3.1　變步長梯形求積算法 132 6.3.2　理查森外推算法 134 6.3.3　龍貝格算法 135 6.4　高斯型求積公式 137 6.4.1　求積公式的最高代數(shù)精度 137 6.4.2　正交多項(xiàng)式 138 6.4.3　高斯型求積公式的一般理論 140 6.4.4　高斯-勒讓德求積公式 141 6.5　數(shù)值微分 143 6.5.1　中點(diǎn)方法 143 6.5.2　插值型求導(dǎo)公式 145 6.6 應(yīng)用案例：衛(wèi)星軌道長度計(jì)算問題 146 習(xí)題6 148 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 150 第7章 常微分方程的數(shù)值解法 151 7.1 引言 151 7.2 簡單數(shù)值計(jì)算方法 152 7.2.1 歐拉法 152 7.2.2 隱式歐拉法 153 7.2.3 梯形法 154 7.2.4 改進(jìn)歐拉法 155 7.3 龍格-庫塔方法 156 7.3.1 泰勒展開公式 156 7.3.2 龍格-庫塔方法的基本思想 158 7.3.3 二階龍格-庫塔公式 159 7.3.4 三階龍格-庫塔公式 160 7.3.5 四階龍格-庫塔公式 161 7.4 線性多步法 162 7.4.1 線性多步法的一般公式 162 7.4.2 阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式 163 7.4.3 阿當(dāng)姆斯預(yù)測-校正公式 166 7.5 一階方程組與高階方程 167 7.5.1 一階方程組 167 7.5.2 化高階方程為一階方程組 168 7.6 應(yīng)用案例：閉電路中電流的計(jì)算 問題 170 習(xí)題7 172 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 173 第8章 矩陣的特征值問題 174 8.1 冪法和反冪法 174 8.1.1 冪法 174 8.1.2 冪法的加速技巧 178 8.1.3 反冪法 180 8.2 對(duì)稱矩陣的雅可比方法 182 8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣 182 8.2.2 雅可比方法 184 8.3 QR方法 186 8.3.1 正交變換 186 8.3.2 矩陣的QR分解 188 8.3.3 QR算法 191 8.4 求實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣特征值的二分法 192 8.4.1 特征多項(xiàng)式序列及其性質(zhì) 192 8.4.2 求特征值的二分法 193 8.5 應(yīng)用案例：互聯(lián)網(wǎng)頁面等級(jí)計(jì)算 問題 195 習(xí)題8 197 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 198 參考文獻(xiàn) 199